Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tổng hiệu và tích vectơ với số (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án là C.

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $\vec{b}=-2\vec{a}$ cùng phương nhưng ngược hướng), nên mệnh đề A sai. Mệnh đề B đúng vì hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng nên cùng phương. Mệnh đề C đúng vì hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề D đúng vì cùng hướng kéo theo cùng phương. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng. B) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. C) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$, nên khẳng định D sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$, $AD=12$, góc $A$ vuông nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$. Theo định lí Pythagoras: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=5^2+12^2=25+144=169$, suy ra $\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=13$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}$ và $-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$. Vì phép cộng vectơ có tính giao hoán, $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$, nên đáp án B đúng. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ (A sai); $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{AB}$ (C, D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ (O là trung điểm hai đường chéo).
a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ (do $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Vậy $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA}$: ĐÚNG.
b) Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AO}\ne \overrightarrow{BO}$: SAI.
c) $\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$. Mặt khác trong hình bình hành $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}$: SAI.
d) Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$, do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BD}$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$ vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ trong hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}\ne \overrightarrow{BO}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$, nên hai véc tơ khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $BI=IC$, do đó $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$ → sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ (chỉ có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$) → sai.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{C}-\vec{A})=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\vec{B}-\vec{A}-(\vec{C}-\vec{B})=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}=\vec{A}-\vec{C}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BC}$; đúng ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với tam giác $ABC$:
A) $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, nên A sai.
B) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên B sai.
C) Cộng một vecto với vecto $\vec{0}$ được chính nó: $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}$, nên C đúng.
D) Theo quy tắc trừ hai vecto cùng điểm đầu: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$, nên D sai.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình lưới ô vuông, vecto $\overrightarrow{AB}$ đi từ $A$ sang $B$ với độ dài 2 đơn vị theo chiều ngang sang phải, tức $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}$. Vecto $\overrightarrow{CD}$ đi từ $C$ sang $D$ với độ dài 6 đơn vị theo chiều ngang sang trái, tức $\overrightarrow{CD}=-6\vec{i}$. Suy ra $\overrightarrow{CD}=-3(2\vec{i})=-3\overrightarrow{AB}$. Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}=(3;2)$, $\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}=(1;-1)$. a) Mệnh đề nói $\vec{b}=(-1;1)$ là sai vì $\vec{b}=(1;-1)$ → Sai. b) $\vec{a}+\vec{b}=(3+1;2-1)=(4;1)$ → Đúng. c) $4\vec{a}-5\vec{b}=(12;8)-(5;-5)=(7;13)$ → Đúng. d) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi $3\cdot (-1)-2\cdot 1=-5\ne 0$, nên không cùng phương → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(3;2)$ đúng, nhưng $\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}=(1;-1)\ne (-1;1)$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(3+1;2+(-1))=(4;1)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4\vec{a}-5\vec{b}=(12;8)-(5;-5)=(7;13)$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra: $3\cdot (-1)-2\cdot 1=-5\ne 0$ nên $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $\hat{A}=60^{\circ }$, tâm $O$ là giao hai đường chéo. Đường chéo $AC=2a\cos 30^{\circ }=a\sqrt{3}$, đường chéo $BD=2a\sin 30^{\circ }=a$. Vì $O$ là trung điểm mỗi đường chéo nên $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$. Do đó A đúng; B sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$; C sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a}{2}$; D sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.