Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Chào mừng tháng Thanh niên, Đoàn trường THPT X tổ chức cải tạo một khoảng đất trong khuôn viên nhà trường có hình dạng là một đường tròn có đường kính $8\text{ m}$. Để tăng tính thẩm mỹ, khi thực hiện cải tạo đã chia mảnh đất đó thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$, phần gạch chéo dùng để trồng hoa và phần còn lại dùng để trồng cỏ, được mô hình hóa trong hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới đây:

Biết đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ có tâm đối xứng trùng với gốc tọa độ; đi qua các điểm $E,F$ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung $BC,DA$ và đi qua các giao điểm của đường tròn với trục $Ox$.

Sông Đak Bla là một dòng sông nên thơ, hiền hoà, dòng chảy uốn lượn mềm mại bao quanh thành phố Kon Tum. Sông Đak Bla không chỉ mang vẻ đẹp thơ mộng mà còn là biểu tượng văn hóa, gắn bó sâu sắc với đời sống của người dân nơi đây. Hai bên bờ sông có hai mảnh vườn, bằng cách gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là 100 m) và mô hình hoá, người ta thấy rằng hai mảnh vườn có diện tích lần lượt là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên dưới.



Hai bờ sông tại khu vực quanh khu vườn được mô tả bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và đồ thị hàm số $y=f(x)+2$. Biết rằng hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba; sau khi tính toán (theo hệ trục $Oxy$) người ta thấy rằng $S_2-S_1=\frac{11}{2}$; điểm $B(a;b)$ là một điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)+2$ và $AB$ song song với trục hoành. Người ta muốn xây một cây cầu để nối hai mảnh vườn này. Để chi phí xây dựng thấp nhất thì độ dài cây cầu phải ngắn nhất. Hãy tính giúp độ dài ngắn nhất của cây cầu (đơn vị là mét, kết quả làm tròn đến hàng chục).

Anh Thái và bác Nguyên có hai mảnh vườn có diện tích $S_1,S_2$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ như hình vẽ bên. Đơn vị của mỗi trục toạ độ là $5\text{ m}$ và nằm cạnh bên một con suối nhỏ được tạo bởi hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x)+2$, biết rằng $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+4$ có $S_1-S_2=\frac{64(\sqrt{2}-1)}{15}$. Từ năm 2025 hai nhà kết thông gia nên anh Thái muốn xây một cây cầu bắc từ nhà mình sang nhà bác Nguyên cho tiện đi lại. Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu trên theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x^2-2x+6}$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: