Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=1$, cực đại tại $x=2$ với $y(2)=5$; khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đạo hàm có hai nghiệm $0$ và $2$: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=3ax(x-2)=3a{x}^2-6ax$, suy ra $b=-3a$, $c=0$. Vì $y(0)=d=1$ và $y(2)=8a+4b+d=8a-12a+1=-4a+1=5$ nên $a=-1$, do đó $b=3$. Vậy $y=-x^3+3x+1$, đáp án D. Kiểm tra: $y^{\prime }=-3x^2+3$ âm khi $x<-1$... thực ra $y^{\prime }=-3x(x-2)$: âm trên $(-\infty ,0)$, dương trên $(0,2)$, âm trên $(2,+\infty )$ — khớp bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có hệ số a>0 (đi lên từ trái sang phải), đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, và cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án còn lại: B có $y(0)=-1$; C, D có $a<0$ (đi xuống từ trái sang phải) nên loại. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy: tiệm cận đứng $x=2$; trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến; trên nhánh trái hàm số đi từ $2$ (khi $x\to -\infty$, tiệm cận ngang $y=2$) xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$; trên nhánh phải hàm số từ $+\infty$ khi $x\to 2^{+}$ giảm xuống tiệm cận ngang $y=2$ khi $x\to +\infty$.

Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (đáp án C):
- $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. ✓
- Tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. ✓
- Khi $x\to 2^{-}$: tử $\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$. ✓
- Khi $x\to 2^{+}$: $y\to +\infty$. ✓

Loại các đáp án khác:
- A: $y=\frac{2x-7}{x-2}$, khi $x\to 2^{-}$ tử $\to -3<0$ nên $y\to +\infty$, không khớp bảng.
- B: $y=\frac{2x+1}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$, sai.
- D: $y=\frac{1-2x}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ nên đồng biến, sai.

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{2x+1}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+(4-a)}{(x-2{)}^2}$. Bảng biến thiên yêu cầu $y^{\prime }>0$ trên mỗi khoảng và trên mỗi nhánh hàm số đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, tức là khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$.
- A: $y=\frac{x^2-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}$; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ (không phù hợp).
- B: $y=\frac{x^2-4x+2}{x-2}=x-2-\frac{2}{x-2}$; $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ mọi $x\ne 2$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$; khi $x\to 2^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to 2^{+}$, $y\to -\infty$. Hoàn toàn khớp bảng biến thiên.
- C: $y=x+1+\frac{2}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
- D: $y=x-2+\frac{1}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, đồ thị đi qua $(0;2)$, cắt trục hoành tại $x=1$, và có điểm $(3;-\frac{5}{2})$ (theo đường nét đứt).

Kiểm tra từng đáp án tại $x=0$:
- A: $y=\frac{4}{1}=4$ (loại)
- B: $y=\frac{3}{1}=3$ (loại)
- C: $y=\frac{2}{1}=2$ (thỏa)
- D: $y=\frac{-1}{1}=-1$ (loại)

Chỉ có đáp án C thỏa giao điểm với trục $Oy$. Kiểm tra thêm với $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$:
- $y(1)=\frac{-1-1+2}{2}=0$ ✓ (cắt trục hoành tại $x=1$)
- $y(3)=\frac{-9-3+2}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$ ✓ (điểm $(3;-\frac{5}{2})$)
- Tiệm cận đứng $x=-1$ ✓, tiệm cận xiên $y=-x$ (vì $-x^2-x+2=(x+1)(-x)+2$), phù hợp nhánh đồ thị đi xuống khi $x\to \pm \infty$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=\frac{-(x-1)+1}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$. Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, với $a=-1<0$ nên nhánh với $x>1$ nằm phía trên tiệm cận ngang (giảm dần) và nhánh với $x<1$ nằm dưới $y=-1$. Đồ thị khớp với hình ở phương án D (có ghi các mốc $1$, $-1$, $2$). Các phương án A, B là đồ thị hàm bậc ba, C là đồ thị hàm chứa căn, không phải hyperbol.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-4$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=0$. Vì $y^{\prime \prime }=6x+6$ nên $x=-2$ là điểm cực đại, $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=-4$ (cực tiểu nằm trên trục tung tại điểm $(0;-4)$). Phân tích: $x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2{)}^2$, nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ (nghiệm đơn) và tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (nghiệm kép). Đồ thị đi lên từ $-\infty$, đạt cực đại tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành), xuống cực tiểu $(0;-4)$ rồi đi lên qua $x=1$. Hình 2 khớp: cực đại bên trái trục tung, cực tiểu tại $(0;-4)$, cắt trục hoành tại $x=1$. Hình 4 có cực tiểu bên phải trục tung nên sai; Hình 1 và Hình 3 là đồ thị hàm phân thức. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$, nhánh trái đi xuống từ gần $y=2$ (đi từ trên xuống dưới khi $x$ tăng). Xét $y=\frac{2x-3}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$: có TCĐ $x=2$, TCN $y=2$; với $x<2$ thì $\frac{1}{x-2}<0$ nên nhánh trái nằm dưới tiệm cận ngang và giảm dần (đi xuống), phù hợp hình vẽ. Với $y=\frac{2x-1}{x-2}=2+\frac{3}{x-2}$, nhánh trái nằm trên $y=2$ và tăng dần, không phù hợp. $y=\frac{x^2-3x-1}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$, không có TCN. $y=2x^3+x^2+1$ là hàm bậc ba, không có tiệm cận. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: nhánh trái đi xuống vô cực và nhánh phải đi xuống vô cực (có cực đại bên phải, cực tiểu bên trái) nên $a<0$. Tại $x=0$, đồ thị cắt trục tung dưới gốc $O$ nên $d=y(0)<0$. Đồ thị đi lên qua trục tung (đang tăng) nên $y^{\prime }(0)=c>0$. Vậy $a<0,c>0,d<0$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tâm đối xứng là $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh (nhánh phải giảm từ $+\infty$ về $1$, nhánh trái giảm từ $1$ về $-\infty$). Xét các phương án: A và B có tiệm cận đứng $x=-1$ (loại); C có $y=\frac{-2x+1}{x-1}$ với tiệm cận ngang $y=-2$ và đồng biến (loại). D: $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn với đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x<0$ (giá trị dương nhỏ), điểm cực đại tại $x>0$, cắt trục $Oy$ tại điểm dương và cắt trục $Ox$ tại $x\approx 2$. Xét $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x+1$: có $y^{\prime }=-x^2+1=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực tiểu với giá trị $y=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}>0$ (cực tiểu nằm bên trái trục $Oy$, phía trên trục hoành), tại $x=1$ đạt cực đại với $y=-\frac{1}{3}+1+1=\frac{5}{3}$ (bên phải trục $Oy$). Nghiệm của $-\frac{x^3}{3}+x+1=0$ tức $x^3-3x-3=0$ là $x\approx 2,1>0$, khớp với đồ thị. Các phương án khác: $y=-x^3+3x^2-1$ có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1<0$) và cực đại tại $x=2$; $y=x^3-3x^2+1$ có cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$; $y=x^3-2x+1$ có cực đại tại $x=-\sqrt{2/3}$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{2/3}$ — đều không khớp. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba (có 2 điểm cực trị), hệ số của $x^3$ âm vì đồ thị đi lên ở bên trái và đi xuống ở bên phải. Loại B, C (hàm phân thức, có tiệm cận). So sánh A và D: cả hai đều có $y(0)=-1$ khớp giao điểm với trục tung. Với $y=x^3-3x-1$ (D), hệ số $x^3$ dương nên đồ thị đi lên khi $x\to +\infty$, trái với hình. Với $y=-x^3+3x-1$ (A): $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực tiểu $y=-3$, tại $x=1$ đạt cực đại $y=1$, đồ thị đi xuống khi $x\to +\infty$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8 (Phần I): Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi từ $+\infty$ (khi $x\to -\infty$) xuống $-\infty$ (khi $x\to +\infty$), có một điểm cực tiểu ở dưới trục hoành (bên trái) và một điểm cực đại ở trên trục hoành (bên phải), cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (gần $-1$).
- A. $y=-x^3+3x-1$: hệ số $a=-1<0$ nên $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$; $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$ (hai cực trị); $y(0)=-1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.
- B. $y=\frac{x-1}{x+2}$ và C. $y=\frac{-x^2+2x+3}{x-5}$: hàm phân thức, có tiệm cận, không phải đường cong bậc ba như hình, loại.
- D. $y=x^3-3x-1$: khi $x\to -\infty$, $y\to -\infty$ (ngược với hình), loại.
Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, và đi qua điểm $(0;-2)$. Xét $y=\frac{-x-2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; vì bậc tử bằng bậc mẫu với hệ số $-1/1=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$; tại $x=0$ có $y=\frac{-2}{1}=-2$. Ngoài ra $y=0\iff x=-2$ khớp với đồ thị cắt trục hoành tại $-2$. Tất cả khớp với hình vẽ, nên đáp án là B. (A có tiệm cận đứng $x=1$; C có $y(0)=-2$, tiệm cận ngang $y=1$; D có tiệm cận đứng $x=1$ — đều loại.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x-1}{x+m}=1-\frac{m+1}{x+m}$ (với $m\ne -1$). Đồ thị $(C)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=-m$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên tâm đối xứng của $(C)$ là $(-m;1)$. Để tâm đối xứng là $I(2;1)$ thì $-m=2\iff m=-2$ (thỏa mãn $m\ne -1$). Vậy $m=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong bậc ba đi lên từ trái sang phải, có cực đại tại $x<0$, cực tiểu tại $x>0$, và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B $y=-x^3+3x+1$ có hệ số $a<0$ nên đi xuống từ trái, cực đại bên phải, sai; A là parabol bậc hai; C là hàm trùng phương dạng W. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở đầu trang 14 (Câu 41) là đồ thị hàm bậc ba đi lên từ trái, giảm xuống đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ âm (dưới trục hoành), tăng lên đạt cực đại tại điểm có hoành độ dương, rồi giảm; đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=-6x$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1<0$ và cực đại tại $x=1$ với $y(1)=3>0$; $y(0)=1>0$. Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=x^3-3x+1$ (C) có cực đại bên trái, cực tiểu bên phải (ngược hình); các hàm trùng phương A và D có đồ thị đối xứng qua trục tung, không khớp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm đạt cực đại tại điểm $(0;5)$, đi qua điểm $(1;3)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;1)$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: có $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$; đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ cho cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, đúng như hình vẽ. Các phương án khác: A có $y(1)=7$; B có $y(0)=5$ nhưng $y(1)=1$, $y(2)=-3$; D có $y(1)=3$, $y(2)=7$ và cực trị tại $x=\pm 1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x^3+3x^2-4$ có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Tại $x=-2$: $y=-8+12-4=0$ (cực đại, điểm $(-2;0)$ trên trục hoành); tại $x=0$: $y=-4$ (cực tiểu, điểm $(0;-4)$ trên trục tung). Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, có nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn) và $x=-2$ (nghiệm kép). Đồ thị đúng phải có cực đại tại $(-2;0)$ và cực tiểu tại $(0;-4)$, tăng - giảm - tăng: đây là hình A.