Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ lục giác đều cạnh đáy $a=8$ cm. Diện tích xung quanh: $6\cdot a\cdot h=48h=1536\Rightarrow h=32$ cm. Diện tích đáy (lục giác đều): $S_{đ\acute{a}y}=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot 64\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}$ cm². Thể tích: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=96\sqrt{3}\cdot 32=3072\sqrt{3}\approx 5321,4$ cm³, làm tròn đến hàng đơn vị: $5321$ cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=B\cdot h=7a^2\cdot 2a=14a^3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy hình thoi cạnh 4 với góc $\widehat{BAD}=120^{\circ }$: $S=4\cdot 4\cdot \sin 120^{\circ }=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ (cm²). Gọi $O$ là tâm hình thoi, $O$ là hình chiếu của $B^{\prime }$ nên $B^{\prime }O\perp (ABCD)$ và $B{B}^{\prime }=B^{\prime }O$. Góc giữa $B{B}^{\prime }$ và đáy là góc $\widehat{B^{\prime }OB}=45^{\circ }$, suy ra chiều cao $h=B^{\prime }O=BO\cdot \tan 45^{\circ }=BO$. Tam giác $ABD$ có $AB=AD=4$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$ nên $B{D}^2=16+16-2\cdot 16\cdot \cos 120^{\circ }=48\Rightarrow BD=4\sqrt{3}$, do đó $BO=2\sqrt{3}$ và $h=2\sqrt{3}$ cm. Thể tích: $V=S\cdot h=8\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=48$ (cm³).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $a=2cm$ là $V=a^3=2^3=8c{m}^3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\cdot \sin 150^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3{\text{cm}}^2$. Thể tích lăng trụ đứng: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 5=15{\text{cm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=8\cdot 5=40$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 9: $S=\frac{9^2\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{4}$. Thể tích lăng trụ $V=S\cdot h=\frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 2=\frac{81\sqrt{3}}{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $\sqrt{15}a$ là $V=(\sqrt{15}a{)}^3=15\sqrt{15}{a}^3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khối hộp chữ nhật có ba kích thước: $AB=2a$, $AD=A^{\prime }{B}^{\prime }=a$, $D{D}^{\prime }=5a$. Thể tích $V=AB\cdot AD\cdot D{D}^{\prime }=2a\cdot a\cdot 5a=10a^3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABC)$ là $A$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AM\perp BC$. Ta có $BC\perp AM$ và $BC\perp A{A}^{\prime }$ nên $BC\perp (A^{\prime }MA)$, do đó $BC\perp A^{\prime }M$. Vậy góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }MA}=30^{\circ }$.

Trong tam giác $A^{\prime }AM$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=AM\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2}$.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích khối lăng trụ:
$$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao khối lăng trụ. Vì là lăng trụ tam giác đều nên $A^{\prime }B=A^{\prime }C=\sqrt{a^2+h^2}$, tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ với đáy $BC=a$, đường cao từ $A^{\prime }$ xuống $BC$ bằng $\sqrt{a^2+h^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Suy ra $S_{A^{\prime }BC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3a^2+4h^2}=\frac{a}{4}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Thể tích khối lăng trụ: $V=d(A,(A^{\prime }BC))\cdot S_{A^{\prime }BC}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{4}\sqrt{3a^2+4h^2}=\frac{a^2}{8}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Mặt khác $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h$. Suy ra $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=\frac{a^2}{8}\sqrt{3a^2+4h^2}\Rightarrow 2\sqrt{3}h=\sqrt{3a^2+4h^2}\Rightarrow 12h^2=3a^2+4h^2\Rightarrow 8h^2=3a^2\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. Vậy $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{16}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 500 lít = 500 dm³. Diện tích đáy bể là $10\times 5=50$ dm². Chiều cao mực nước (khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể) là $V/S=500:50=10$ dm. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $AB$ và $A^{\prime }H\perp (ABC)$ nên tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$ với $AH=\frac{AB}{2}=a$, $A{A}^{\prime }=3a$. Chiều cao lăng trụ $A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A{H}^2}=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a$, nên câu a) sai (không phải $a\sqrt{10}$). Diện tích đáy $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(2a)(a)=a^2$, câu b) đúng. Thể tích $V=S\cdot A^{\prime }H=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$, câu c) sai. Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$: đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $H(a,0,0)$, $A^{\prime }(a,0,2\sqrt{2}a)$; $HC=a\sqrt{2}$ nên $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{A^{\prime }H}{HC}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2$, suy ra góc $\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$, câu d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$, $AH=a$, $A{A}^{\prime }=3a$ nên chiều cao $A^{\prime }H=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a\ne a\sqrt{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta ABC$ vuông tại $A$: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$ với $HC=a\sqrt{2}$, $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CH}\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a\sqrt{3}$, nên $AB=AC=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A^{\prime }{C}^2=A{A}^{\prime 2}+A{C}^2\Rightarrow A{A}^{\prime 2}=9a^2-\frac{6a^2}{4}=\frac{15a^2}{2}\Rightarrow A{A}^{\prime }=a\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{a\sqrt{30}}{2}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a\sqrt{30}}{2}=\frac{3a^3\sqrt{30}}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2$ nên diện tích đáy $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích lăng trụ đứng $V=S\cdot A{A}^{\prime }=2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx 2,828\approx 2,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=5\cdot 3=15$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=5\cdot 3=15$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước $a,b,c$ là $V=abc$ (diện tích đáy $ab$ nhân với chiều cao $c$). Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 1102, câu 1: A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước: 120000 lít = 120 m${}^3$. Diện tích đáy hồ: $6\times 12,5=75$ m${}^2$. Chiều cao mực nước: $120:75=1,6$ m. Khoảng cách từ mực nước đến mặt hồ: $2-1,6=0,4$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ đứng, hình chiếu của $B^{\prime }$ xuống đáy $(ABC)$ là $B$, nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và đáy là $\widehat{B^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $AB=a$, suy ra chiều cao lăng trụ $B{B}^{\prime }=AB\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vậy $V=S\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$. Chọn C.