Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=Sh$. Đáp án trùng với bảng đáp án (mã đề 629, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong khối hộp chữ nhật, $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{C^{\prime }AC}=60^{\circ }$, nên $A{A}^{\prime }=AC\cdot \tan 60^{\circ }=5\sqrt{3}$. Thể tích $V=AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 4\cdot 5\sqrt{3}=60\sqrt{3}$. Khớp với đáp án A của mã đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Trong khối hộp chữ nhật, $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\angle C^{\prime }AC=45^{\circ }$. Suy ra $C{C}^{\prime }=AC\cdot \tan 45^{\circ }=5$. Thể tích $V=AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 4\cdot 5=60$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là ngũ giác gồm hình chữ nhật $4\times 4,3$ và tam giác cân có đáy $4$ m, chiều cao $2$ m (theo hình vẽ). Diện tích đáy: $S=4\cdot 4,3+\frac{4\cdot 2}{2}=17,2+4=21,2$ (m²). Chiều cao lăng trụ đứng là $12$ m nên thể tích căn nhà: $V=S\cdot 12=21,2\cdot 12=254,4$ (m³). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AB$ và tam giác $AB{A}^{\prime }$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3=\frac{3}{2}$ cm². Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\approx 7,348\approx 7,3$ cm³. Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,3.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt dọc theo chiều dài bể là hình thang với hai đáy $1,2m$ và $2,0m$, chiều dài $30m$, nên diện tích mặt cắt là $\frac{1,2+2,0}{2}\cdot 30=48m^2$. Thể tích bể $V=48\cdot 14=672m^3$. Với tốc độ bơm $42m^3/$giờ, thời gian bơm đầy là $t=\frac{672}{42}=16$ giờ. Khớp với đáp án B (đáp án đề 102, câu 8 là B).

Ta chia làm hai phần: lăng trụ và hình hộp chữ nhật.
$$V_{\text{hộp}}=5\cdot 8\cdot 14=560\left({\text{m}}^3\right)$$
$$V_{\text{la˘ng trụ}}=\frac{3\cdot 8}{2}\cdot 14=168\left({\text{m}}^3\right)$$
$$\Rightarrow V=560+168=728\left({\text{m}}^3\right)$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $D(4;0;0)$, $B(1;\sqrt{3};0)$, $C(3;\sqrt{3};0)$ (đáy là hình thang cân $AD\parallel BC$, $AB=CD=2$, $BC=2$, chiều cao đáy $\sqrt{3}$, diện tích đáy $3\sqrt{3}$). Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao lăng trụ.

a) Khoảng cách từ $D$ đến $AB$: đường $AB$: $\sqrt{3}x-y=0$, $d(D,AB)=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Góc nhị diện $[D^{\prime },AB,D]$: $\tan 45^{\circ }=\frac{A{A}^{\prime }}{d(D,AB)}=\frac{h}{2\sqrt{3}}\Rightarrow h=2\sqrt{3}$. Góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }B$ và $AB$: $\tan \alpha =\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }$. Đúng.

b) $V=3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=18\ne 6$. Sai.

c) ${\vec{u}}_{AD}=(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{A^{\prime }C}=(3;\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, ${\vec{u}}_{AD}\times {\vec{u}}_{A^{\prime }C}=(0;2\sqrt{3};\sqrt{3})$, $\overrightarrow{A^{\prime }A}=(0;0;-2\sqrt{3})$. Khoảng cách $=\frac{|(0;0;-2\sqrt{3})\cdot (0;2\sqrt{3};\sqrt{3})|}{\sqrt{15}}=\frac{6}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}\ne \frac{\sqrt{15}}{5}$. Sai.

d) Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$: $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}\propto (0;2;1)$, phương trình $2y+z=2\sqrt{3}$. Thay $D^{\prime }(4;0;2\sqrt{3})$: thỏa mãn, nên mặt cắt là tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$. Phần chứa $B^{\prime },C^{\prime }$ là chóp $D^{\prime }.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ với $S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$, chiều cao từ $D^{\prime }$ đến mặt phẳng $y=\sqrt{3}$ bằng $\sqrt{3}$: $V_2=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=4$. $V_1=18-4=14$. Khi đó $3V_1=42\ne 4V_2=16$. Sai.

Kết luận: chỉ nhận định a đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ góc nhị diện 45° suy ra $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}$; góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABCD)$ có $\tan \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy $3\sqrt{3}$, chiều cao $2\sqrt{3}$, nên $V=18\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tích có hướng được $d(AD,A^{\prime }C)=\frac{2\sqrt{15}}{5}\ne \frac{\sqrt{15}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ thực chất đi qua $D^{\prime }$ (phương trình $2y+z=2\sqrt{3}$). $V_2=4$, $V_1=14$, nên $3V_1=42\ne 16=4V_2$.

5.1. Hình không gian cổ điển: $BC=4a$. $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Kẻ $GK\perp AC$. Ta có $d(B,AC)=\frac{12a}{5}\Rightarrow GK=\frac{4a}{5}$. Chiều cao $h=A^{\prime }G=GK\tan 60^{\circ }=\frac{4a\sqrt{3}}{5}$. Thể tích $V=S_{ABC}\cdot h=6a^2\cdot \frac{4a\sqrt{3}}{5}=\frac{24a^3\sqrt{3}}{5}$.

Khoảng cách $d(BN,AC)$ (với $N$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$): sử dụng toạ độ hoá hoặc dựng hình, kết quả tính toán chi tiết cho ra:
$$d=\frac{24a\sqrt{39}}{65}.$$



5.2. Phương trình điểm $M$: $M{B}^2+M{C}^2=58\iff (x-4{)}^2+\cdots =58$. Rút gọn: $x^2+y^2+z^2-4x-6y-3=0$. Mặt cầu tâm $I(2;3;0)$, bán kính $R=\sqrt{2^2+3^2-(-3)}=4$. Điểm $A(0;0;8)$. Khoảng cách $IA=\sqrt{2^2+3^2+8^2}=\sqrt{77}$. $A{M}_{min}=IA-R=\sqrt{77}-4$.

ĐÁP SỐ: $V=\frac{24a^3\sqrt{3}}{5}$; $d=\frac{24a\sqrt{39}}{65}$; $\text{Min}=\sqrt{77}-4$

Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $\widehat{BAC}=120^{\circ }$.
Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt nền nhà, $M$ là giao điểm của $BC$ và $AN$.
Ta có $\widehat{BAM}=60^{\circ }$ và $BM=5\Rightarrow \tan \widehat{BAM}=\frac{BM}{AM}\Rightarrow AM=\frac{BM}{\tan \widehat{BAM}}=\frac{5}{\tan 60^{\circ }}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Thể tích của ngôi nhà là: $V=S_{ABKHC}\cdot HE=\left(5\cdot 10+\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\cdot 12\approx 773\left(m^3\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=Bh$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên AA' ⊥ (ABC), hình chiếu của A'C lên (ABC) là AC, do đó góc giữa A'C và (ABC) là góc A'CA = 60°. Tam giác ABC đều cạnh a nên AC = a, suy ra AA' = AC·tan60° = a√3. Diện tích đáy S = a²√3/4, thể tích V = S·AA' = (a²√3/4)(a√3) = 3a³/4.

Khoảng cách từ I đến (A'BC): đặt hệ tọa độ A(0,0,0), B(a,0,0), C(a/2, a√3/2, 0), A'(0,0,a√3). I thuộc AB với AI = 3IB nên I(3a/4, 0, 0). Vectơ pháp tuyến của (A'BC): A'B = (a,0,−a√3), A'C = (a/2, a√3/2, −a√3), tích có hướng cho n = (3, √3, √3). Mặt phẳng: 3x + √3y + √3z − 3a = 0. Khoảng cách từ I: d = |3·(3a/4) − 3a| / √(9+3+3) = (3a/4)/√15 = 3a/(4√15) = a√15/20.

Kết luận: V = 3a³/4 và d(I, (A'BC)) = a√15/20.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB$, $AC$, $A{A}^{\prime }$ đôi một vuông góc nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, lăng trụ có chiều cao $h=A{A}^{\prime }=3a$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2$. Thể tích $V=S_{ABC}\cdot h=a^2\cdot 3a=3a^3$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=S.h$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$ và lăng trụ đứng nên chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, do đó $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ (vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ theo giao tuyến $BC$). Kẻ $AH\perp BC$ với $H$ là trung điểm $BC$, thì $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A{A}^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $△A^{\prime }AB$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot 2a=a^2$. Thể tích khối lăng trụ $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ lục giác đều cạnh đáy $a=8$ cm. Diện tích xung quanh: $6\cdot a\cdot h=48h=1536\Rightarrow h=32$ cm. Diện tích đáy (lục giác đều): $S_{đ\acute{a}y}=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot 64\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}$ cm². Thể tích: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=96\sqrt{3}\cdot 32=3072\sqrt{3}\approx 5321,4$ cm³, làm tròn đến hàng đơn vị: $5321$ cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy hình thoi cạnh 4 với góc $\widehat{BAD}=120^{\circ }$: $S=4\cdot 4\cdot \sin 120^{\circ }=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ (cm²). Gọi $O$ là tâm hình thoi, $O$ là hình chiếu của $B^{\prime }$ nên $B^{\prime }O\perp (ABCD)$ và $B{B}^{\prime }=B^{\prime }O$. Góc giữa $B{B}^{\prime }$ và đáy là góc $\widehat{B^{\prime }OB}=45^{\circ }$, suy ra chiều cao $h=B^{\prime }O=BO\cdot \tan 45^{\circ }=BO$. Tam giác $ABD$ có $AB=AD=4$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$ nên $B{D}^2=16+16-2\cdot 16\cdot \cos 120^{\circ }=48\Rightarrow BD=4\sqrt{3}$, do đó $BO=2\sqrt{3}$ và $h=2\sqrt{3}$ cm. Thể tích: $V=S\cdot h=8\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=48$ (cm³).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $a=2cm$ là $V=a^3=2^3=8c{m}^3$. Đáp án C.