Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;4-2;5-2)=(1;2;3)$. Vì $\vec{u}=(1;b;c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\vec{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, suy ra $b=2$, $c=3$. Vậy $c=3$, chọn đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 103, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(-1;2;5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ giữ nguyên tọa độ $y,z$ và có tọa độ $x=0$, nên là điểm $H(0;2;5)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel DC$ và cùng chiều (từ $D^{\prime }$ đến $C^{\prime }$ cùng chiều với từ $D$ đến $C$), nên $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}$. Mặt khác trong hình vuông $ABCD$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (vì $AB\parallel DC$ và cùng chiều). Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc với $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$; $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ ngược chiều. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(1;3;-1)+(3;-1;5)=(4;2;4)$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua trục $Oy$ giữ nguyên tung độ và đổi dấu hoành độ, cao độ: $A(1;2;3)\mapsto A^{\prime }(-1;2;-3)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ của hình bình hành $ABCD$ là trung điểm của hai đường chéo, đặc biệt là trung điểm của $BD$. Với $B(3;1;0)$, $D(0;4;-6)$ ta có: $x_I=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$, $y_I=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$, $z_I=\frac{0+(-6)}{2}=-3$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};-3\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OM}=3\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$ ta có $M(3;5;-7)$. Đối xứng qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì tung độ đổi dấu, hai tọa độ còn lại giữ nguyên: $M^{\prime }(3;-5;-7)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A\equiv O$, $B$ trên tia $Ox$ với $AB=2$ nên $B(2;0;0)$; $D$ trên tia $Oy$ với $AD=4$ nên $D(0;4;0)$; $A^{\prime }$ trên tia $Oz$ với $A{A}^{\prime }=3$ nên $A^{\prime }(0;0;3)$. Đỉnh $C^{\prime }$ của hình hộp chữ nhật có tọa độ $C^{\prime }(2;4;3)$, tức $a=2,b=4,c=3$. Suy ra $a+b-c=2+4-3=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai vì tọa độ của vecto $\vec{i}$ là $(1;0;0)$. b) Đúng, $\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ nên tọa độ là $(x;y;z)$. c) Đúng, vì $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow{OB}=x^{\prime }\vec{i}+y^{\prime }\vec{j}+z^{\prime }\vec{k}$ nên $B(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$. d) Đúng, hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau: $x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ của vecto đơn vị $\vec{i}$ trên trục $Ox$ là $(1;0;0)$, không phải $(0;1;0)$ (đó là tọa độ của $\vec{j}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ nên tọa độ của $\overrightarrow{OA}$ là $(x;y;z)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $B$ có $\overrightarrow{OB}=x^{\prime }\vec{i}+y^{\prime }\vec{j}+z^{\prime }\vec{k}$ nên tọa độ của điểm $B$ là $(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau, do đó $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$ suy ra $x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{a}+\vec{b}=(1+4;2+5;3+6)=(5;7;9)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 4+2\cdot (-5)+3\cdot 6=4-10+18=12$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $C=\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+4}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(2;3;4)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $x_G=\frac{3+1+2}{3}=2$, $y_G=\frac{2+2+5}{3}=3$, $z_G=\frac{-5+4-2}{3}=-1$. Vậy $G(2;3;-1)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\vec{a}=(3;6;9)$ và $2\vec{b}=(4;-2;2)$. Suy ra $\vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}=(3-4;6-(-2);9-2)=(-1;8;7)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ chỉ đổi dấu hoành độ: $M(2;2;-1)\to M^{\prime }(-2;2;-1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng với $M(1;-2;3)$ qua trục $Oy$ giữ nguyên tung độ và đổi dấu hoành độ, cao độ: $M^{\prime }(-x_M;y_M;-z_M)=(-1;-2;-3)$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Thay tọa độ: $x_D=1+2-(-3)=6$; $y_D=2+4-0=6$; $z_D=1+(-1)-3=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1+3)=(-4;-2;2)$, đúng bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}+\vec{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc trừ véc tơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ (điểm chung $A$ bị triệt tiêu, véc tơ kết quả đi từ điểm cuối của véc tơ trừ đến điểm cuối của véc tơ bị trừ). Vậy đáp án là $\overrightarrow{CB}$, tương ứng phương án A.