Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;-2)$. Suy ra $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(-4;-6;2)-(-2;0;-2)=(-2;-6;4)$. Vậy $M(-2;-6;4)$ và $a+b+c=-2-6+4=-4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2(1;-1;4)-(-3;0;4)=(5;-2;4)$. Suy ra $AC=\sqrt{5^2+(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi, sau 5 phút tiếp theo (bằng nửa khoảng thời gian 10 phút từ A đến B) máy bay đi được nửa vecto $\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(140;50;2)$, nên $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(70;25;1)$. Suy ra $C=(940+70;550+25;9+1)=(1010;575;10)$. Vậy $x+y\cdot z=1010+575\cdot 10=1010+5750=6760$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo của hình lập phương). Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh 3 cm là $A{C}^{\prime }=3\sqrt{3}$ cm. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=3\sqrt{3}\approx 5,196$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (cạnh song song cùng chiều), $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ (do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$), $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ (do $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành) đều đúng. Riêng $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ hướng từ $C$ lên $C^{\prime }$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }B}$ hướng từ $B^{\prime }$ xuống $B$, hai vectơ ngược chiều nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$ là khẳng định sai (đúng phải là $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$).

(AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình hộp với đỉnh chung D: $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, nên B đúng. A sai vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (không có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$). C sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. D sai vì $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $O$ của hình lập phương là trung điểm của đường chéo $A{C}^{\prime }$. Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $O$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{d}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\vec{c}-\vec{b}$, suy ra $\vec{b}-\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$. Các phương án A, B, C sai vì $\vec{a}$ độc lập với $\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ (lăng trụ xiên tùy ý) và $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\ne \vec{0}$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{A{B}_1}$ và $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1}=\overrightarrow{A{D}_1}$. Trong hình hộp tổng quát, $\overrightarrow{A{B}_1}\ne \overrightarrow{A{D}_1}$ (vì $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AD}$), nên đẳng thức này SAI.
- B: Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_1}$ — đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}_1}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A{C}_1}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}A}=\vec{0}$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ và $\overrightarrow{A{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}O}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ (vì $O$ nằm trên đoạn $D_1{C}_1$) — đúng.
Vậy đẳng thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), B'(a,0,a), C'(a,a,a), D'(0,a,a).
a) $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,0,0)=\overrightarrow{AB}$, đúng.
b) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, đúng.
c) $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a,0,a)$, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2\ne 2a^2$, sai.
d) $\vec{x}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(0,0,a)+(a,a,a)=(a,a,a)$ nên $|\vec{x}|=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{2}$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng chiều nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, cộng $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a,0,a)$, tích vô hướng bằng $a^2\ne 2a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{x}=(a,a,a)$ nên $|\vec{x}|=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Gọi cạnh hình lập phương là $a$, khi đó $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{D{C}^{\prime }}|=a\sqrt{2}$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=a^2+0=a^2$ (vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$). Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{D{C}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $45^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$, suy ra $C^{\prime }(1;4;4)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;4;4)$. Vậy $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;4;4)$, nên $|\vec{u}|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (định nghĩa trọng tâm tứ diện), nên D đúng. Với $P$ tùy ý: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=4\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{PG}$, nên A đúng. Từ đó với $P=A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$, nên B đúng. Còn C: $\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì $G\ne A$, vậy C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;x-5;2)$ và $\overrightarrow{AC}=(6;-3;y+1)$. Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$. Từ hoành độ: $6=4k\Rightarrow k=\frac{3}{2}$. Từ tung độ: $-3=k(x-5)\Rightarrow x-5=-2\Rightarrow x=3$. Từ cao độ: $y+1=2k=3\Rightarrow y=2$. Vậy $x+y=3+2=5$. Kiểm tra lại: $\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(6;-3;3)=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$, đúng. Đáp án C. (Lưu ý: kết quả trung gian trong ghi chú nguồn $x=6,y=3$ là sai do lập tỉ số nhầm chiều; tính toán độc lập ở trên cho $x=3,y=2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ (ý b đúng). Do $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GM}$, suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=-2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MN}$ (vì $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}=2\overrightarrow{GN}$), không bằng $2\overrightarrow{MN}$ → ý a sai. Cộng lại: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=\vec{0}$ → ý c đúng. Điểm $G$ thỏa $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ chính là trọng tâm tứ diện $ABCD$ → ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}\ne 2\overrightarrow{MN}$ vì $N$ là trung điểm $BD$ và $G$ là trung điểm $MN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=-2\overrightarrow{GM}$, tổng bằng $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ thỏa $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ nên $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{a}\cdot \vec{c}=1(-2)+(-2)(1)+0(5)=-4\ne 0$ nên $\vec{a}$ không vuông góc $\vec{c}$ → Sai. b) $|\vec{b}|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$ → Đúng. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1-4+0=-5$, $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{6}$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{30}}\ne \frac{3}{\sqrt{20}}$ → Sai. d) $\vec{b}\cdot \vec{c}=(-1)(-2)+2(1)+1(5)=2+2+5=9\ne 8$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{c}=-2-2+0=-4\ne 0$ nên $\vec{a}$ không vuông góc $\vec{c}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{b}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-5$, $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{6}$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{30}}\ne \frac{3}{\sqrt{20}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}\cdot \vec{c}=2+2+5=9\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại đỉnh B, ta có $\overrightarrow{BA}=(1-(-1);-1-(-1);3-2)=(2;0;1)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3-(-1);-2-(-1);2-2)=(-2;-1;0)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot (-2)+0\cdot (-1)+1\cdot 0=-4$.

Độ dài: $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}$.

Vậy $\cos ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-4}{5}=-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ máy bay A là $|\vec{a}|=\sqrt{300^2+200^2+400^2}=\sqrt{290000}\approx 538,516$ km/h. Máy bay B có tốc độ gấp ba lần: $3\cdot \sqrt{290000}\approx 1615,55\approx 1616$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=36+4\cdot 36\cos x+144=180+144\cos x$. Theo đề $|\vec{a}+2\vec{b}|=6\sqrt{3}$ nên $180+144\cos x=108\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=120^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3: 120).