Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phương án với $\vec{a}=(2;3;1)$, $\vec{b}=(-1;5;2)$, $\vec{c}=(4;-1;3)$, $\vec{x}=(-3;22;5)$.
- $2\vec{a}-3\vec{b}-\vec{c}=(4+3-4;6-15+1;2-6-3)=(3;-8;-7)\ne \vec{x}$.
- $-2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}=(-4-3+4;-6+15-1;-2+6+3)=(-3;8;7)\ne \vec{x}$.
- $2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}=(4-3-4;6+15+1;2+6-3)=(-3;22;5)=\vec{x}$. Đúng.
- $2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}=(4+3+4;6-15-1;2-6+3)=(11;-10;-1)\ne \vec{x}$.
Vậy đẳng thức đúng là $\vec{x}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(2-1-4;4+4-0;0-7-0)=(-3;8;-7)$.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, tức $B^{\prime }=B+D^{\prime }-D$.

Vậy $B^{\prime }=(4+6-(-3);0+8-8;0+10-(-7))=(13;0;17)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(9;0;17)$ và $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(6-(-3);8-8;10-(-7))=(9;0;17)$, hai vecto bằng nhau nên kết quả đúng.

Đáp án: $B^{\prime }(13;0;17)$ — phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: M(-4;3;-1), N(2;-1;-3).
a) Đúng: $\overrightarrow{OM}=(-4;3;-1)$.
b) Sai: $\overrightarrow{AM}=\vec{v}=(1;2;-3)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}-\vec{v}=(-4-1;3-2;-1+3)=(-5;1;2)$, tức $A(-5;1;2)$, không phải $A(5;1;2)$.
c) Sai: Trọng tâm $G$ của $\Delta OMN$: $G\left(\frac{-4+2+0}{3};\frac{3-1+0}{3};\frac{-1-3+0}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$. Hình chiếu của $G$ trên mặt phẳng $Oxy$ là $\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};0\right)$, không phải $\left(0;0;-\frac{4}{3}\right)$.
d) Sai: $I$ trung điểm $MN$: $I\left(\frac{-4+2}{2};\frac{3-1}{2};\frac{-1-3}{2}\right)=(-1;1;-2)$ nên $\overrightarrow{OI}=(-1;1;-2)$. Khi đó $\vec{w}=3\vec{i}+2\overrightarrow{ON}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OI}=(3;0;0)+(4;-2;-6)-\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)=\left(\frac{15}{2};-\frac{5}{2};-5\right)$, không phải $\left(\frac{9}{2};-\frac{5}{2};-7\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $O(0;0;0)$ nên $\overrightarrow{OM}=(-4-0;3-0;-1-0)=(-4;3;-1)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{v}=(1;2;-3)$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\vec{v}$ nên $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}-\vec{v}=(-4-1;3-2;-1+3)=(-5;1;2)$, tức $A(-5;1;2)\ne (5;1;2)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$; hình chiếu của $G$ trên $Oxy$ là $\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};0\right)\ne \left(0;0;-\frac{4}{3}\right)$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I(-1;1;-2)$, $\overrightarrow{OI}=(-1;1;-2)$; $\vec{w}=(3;0;0)+(4;-2;-6)-\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)=\left(\frac{15}{2};-\frac{5}{2};-5\right)\ne \left(\frac{9}{2};-\frac{5}{2};-7\right)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1-2+4}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-2+4+1}{3}\right)=(1;-1;1)$. b) $\overrightarrow{AB}=(-2-1;3-0;4+2)=(-3;3;6)$; $\overrightarrow{AC}=(4-1;-6-0;1+2)=(3;-6;3)$. c) $A{B}^2=9+9+36=54$, $A{C}^2=9+36+9=54$ nên $AB=AC$, tam giác cân tại $A$. d) $ABDC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(1;-3;7)$, kiểm tra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}=(3;-6;3)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot \frac{1}{2}+0+0=\frac{1}{2}$. Độ dài: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+0}=1$. Vậy $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{1/2}{1\cdot 1}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $60^{\circ }$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ra đa đặt tại gốc $O(0;0;0)$, tàu có tọa độ $T(30;25;-15)$. Khoảng cách $OT=\sqrt{30^2+25^2+(-15{)}^2}=\sqrt{900+625+225}=\sqrt{1750}\approx 41,83$ km. Làm tròn một chữ số thập phân ta được $41,8$ km.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: ((1+4)/2; (1-2)/2; 3) = (5/2; -1/2; 3) → đúng. b) BC = (3; -3; 0), BC = √(9+9) = 3√2 → đúng. c) AB = (0; -2; -2), AC = (3; -5; -2); AB·AC = 0+10+4 = 14; |AB| = 2√2, |AC| = √38; cos BAC = 14/(2√2·√38) = 7/√76 = 7√19/38 → đúng. d) D = B + C - A = (4; -4; 1). Trọng tâm tam giác ABD: G = ((1+1+4)/3; (3+1-4)/3; (5+3+1)/3) = (2; 0; 3). Hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oyz) là (0; 0; 3), không phải (2; 0; 0) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC = ((1+4)/2; (1-2)/2; 3) = (5/2; -1/2; 3).
b) (AI giải đề cho tôi)
BC = (3; -3; 0) nên BC = √(9+9+0) = 3√2.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = 14, |AB| = 2√2, |AC| = √38, cos BAC = 14/(2√76) = 7√19/38.
d) (AI giải đề cho tôi)
D = (4; -4; 1), trọng tâm tam giác ABD là G(2; 0; 3), hình chiếu lên (Oyz) là (0; 0; 3) ≠ (2; 0; 0).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$ nên tồn tại $k$ sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$. Từ hoành độ: $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$. Khi đó $m-1=2\cdot 3=6\Rightarrow m=7$; và $3=2\cdot (-2n)\Rightarrow -4n=3\Rightarrow n=-\frac{3}{4}$. Vậy $m+n=7-\frac{3}{4}=\frac{25}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=(a+1;b+1;c-1)$ và $\overrightarrow{MB}=(3-a;-1-b;1-c)$. Điều kiện $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}$ cho hệ: $a+1=3(3-a)\Rightarrow 4a=8\Rightarrow a=2$; $b+1=3(-1-b)\Rightarrow 4b=-4\Rightarrow b=-1$; $c-1=3(1-c)\Rightarrow 4c=4\Rightarrow c=1$. Vậy $M(2;-1;1)$ (đúng như điểm chia đoạn $AB$ với $\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=3$, tức $M=\frac{A+3B}{4}$). Khi đó $a-2b+c=2-2(-1)+1=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+(-2)\cdot 3+0\cdot (-2)=1-6+0=-5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+0^2}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{14}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{14}}=\frac{-5}{\sqrt{70}}\approx -0,5976$. Suy ra góc giữa hai vectơ $\approx 126,7^{\circ }$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
- B đúng: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (các cạnh song song cùng chiều).
- C sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Hai vectơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ là hai đường chéo khác nhau của hình hộp nên không bằng nhau.
- D đúng: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, hai vế cùng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
Vậy đẳng thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tứ diện ABCD thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra với điểm O bất kỳ: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ (C đúng, D đúng). Chọn O = A: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$, nên B đúng và A sai (hệ số phải là $\frac{1}{4}$ chứ không phải $\frac{2}{3}$). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
A,B,C,D tạo thành hình bình hành (theo thứ tự đó) khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD có cùng trung điểm, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$. Điều kiện này vừa cần vừa đủ vì: nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$; ngược lại từ đẳng thức này suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên ABCD là hình bình hành (do bốn điểm không thẳng hàng). Các phương án A, B chỉ bảo đảm hai điểm có trung điểm trùng, không đủ; phương án D tương đương với trọng tâm của bốn điểm trùng O, không liên quan đến hình bình hành. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (các vectơ trên các cạnh song song bằng nhau).

A) $\overrightarrow{B_1{C}_1}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{B_1{A}_1}$: đúng.

B) $\overrightarrow{D_1{C}_1}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DA}$, nên vế trái $=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$: đúng.

C) Quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$: đúng.

D) Thử bằng tọa độ: lấy $B(0;0;0),A(1;0;0),C(0;1;0),D(1;1;0),D_1(1;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{BA}=(-1;0;0)$, $\overrightarrow{D{D}_1}=(0;0;1)$, $\overrightarrow{B{D}_1}=(1;1;1)$, tổng bằng $(0;1;2)$, còn $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$. Hai vế không bằng nhau, hoặc trực tiếp: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1})=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{D{D}_1}\ne \overrightarrow{BC}$. Vậy đẳng thức D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{DG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{DG}$. Vậy $k=3$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó: $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$; $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\vec{u}+\vec{w}$; $\overrightarrow{DB}=\vec{u}-\vec{v}$; $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C^{\prime }}=\vec{v}-(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})=-\vec{u}-\vec{w}$.

Suy ra $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=(\vec{u}-\vec{v})+(-\vec{u}-\vec{w})=-\vec{v}-\vec{w}$.

Tổng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+k(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D})=(\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{u}+\vec{w})+k(-\vec{v}-\vec{w})=(1-k)(\vec{v}+\vec{w})$.

Để đẳng thức bằng $\vec{0}$ thì $1-k=0$, tức $k=1$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ trùng $O$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $D^{\prime }(0;1;-1)$ nên hình lập phương có cạnh 1 với $C(1;1;0)$ và $A^{\prime }(0;0;-1)$. Suy ra $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=A^{\prime }-C=(0-1;0-1;-1-0)=(-1;-1;-1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương có $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $D^{\prime }(0;1;-1)$ nên $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;-1)$, $B^{\prime }(1;0;-1)$. Khi đó $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=D^{\prime }-B^{\prime }=(0-1;1-0;-1-(-1))=(-1;1;0)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A(1;2;3)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A^{\prime }(0;2;3)$ (giữ nguyên tung độ và cao độ, hoành độ bằng 0). Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0-1;2-2;3-3)=(-1;0;0)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M(2;3;-1)$ trên trục $Oy$ là $M^{\prime }(0;3;0)$. Suy ra $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=M^{\prime }-M=(0-2;3-3;0-(-1))=(-2;0;1)$. Vậy đáp án B.