Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=5>b^2=4$, nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$ với $c^2=a^2-b^2=1\Rightarrow c=1$. Vậy $F_{1,2}=(\pm 1;0)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển về dạng chính tắc: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, nên $a^2=9,b^2=4\Rightarrow a=3,b=2$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}$. Kiểm tra: tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ (A đúng); trục lớn $2a=6$ (B đúng); trục nhỏ $2b=4$ (C đúng); tiêu cự $2c=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5,b=3,c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$. Kiểm tra từng khẳng định: A) Tiêu điểm $F_{1,2}(\pm c;0)=(\pm 4;0)$, đúng. B) $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$, đúng. C) Đỉnh trên trục lớn $A_1(-5;0)$, đúng. D) Độ dài trục nhỏ bằng $2b=6\ne 3$, sai. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Parabol có dạng $y^2=2px$ $(p>0)$. Vì Parabol đi qua $A(1;2)$ nên $2^2=2p\cdot 1\Rightarrow 4=2p\Rightarrow p=2$. Vậy phương trình là $y^2=4x$. Kiểm tra: điểm $A(1;2)$ thỏa $4=4\cdot 1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol chính tắc $y^2=2px$ có đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}$. Theo đề, $-\frac{p}{2}=-1\Rightarrow p=2$. Suy ra $y^2=2px=4x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ là nửa trục thực và nửa trục ảo. Trục thực dài gấp đôi trục ảo: $2a=2(2b)\Rightarrow a=2b$. Tiêu cự $2c=10\Rightarrow c=5$. Vì $c^2=a^2+b^2=4b^2+b^2=5b^2$ nên $5b^2=25\Rightarrow b^2=5$, $a^2=20$. Vậy $(H):\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ với $36>9$ nên $a^2=36,b^2=9$, tức $a=6,b=3$. Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=6\sqrt{3}$. Vì trục lớn nằm trên trục $Ox$ nên hai tiêu điểm là $F_1(-3\sqrt{3};0)$ và $F_2(3\sqrt{3};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=7,b^2=9$ nên $c^2=a^2+b^2=7+9=16\Rightarrow c=4$. Hai tiêu điểm là $F_1(-4;0)$ và $F_2(4;0)$. Tiêu cự $F_1{F}_2=2c=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip đi qua $(5;0)$ nên $a=5$, tức $a^2=25$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{5}$ nên $c=\sqrt{5}$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-5=20$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$. Các phương án C, D là phương trình hyperbol nên loại; phương án A có $b^2=5$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{100}=1$ nên $a^2=144,b^2=100$, suy ra $a=12,b=10$ (không phải $a=144,b=100$) → a) Sai. Ta có $c^2=a^2-b^2=144-100=44$, $c=2\sqrt{11}$, tiêu cự $2c=4\sqrt{11}$ → b) Đúng. Elip có hai tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-2\sqrt{11};0)$, $F_2(2\sqrt{11};0)$; khẳng định $F_1(0;-2\sqrt{11})$ sai tọa độ → c) Sai. Với elip, tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng $2a=24$, không phải 144 → d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{100}=1$ suy ra $a^2=144,b^2=100$ nên $a=12,b=10$, không phải $a=144,b=100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$c^2=144-100=44\Rightarrow c=2\sqrt{11}$, tiêu cự $2c=4\sqrt{11}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-2\sqrt{11};0)$, không phải $(0;-2\sqrt{11})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $2a=24$, không phải 144.

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol có tiêu điểm $F_1(-4;0)$ nên $c=4$, $c^2=16$. Độ dài trục ảo $2b=\sqrt{28}$ nên $b^2=7$. Với hyperbol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ có $c^2=a^2+b^2$, suy ra $a^2=16-7=9$, $a=3$. a) Sai: phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ (dấu trừ), không phải $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ (đó là phương trình elip). b) Đúng: độ dài trục thực $2a=2\cdot 3=6$. c) Sai: tiêu cự $2c=2\cdot 4=8\ne 4$. d) Đúng: thay $B(3;0)$ vào $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ được $\frac{9}{9}-0=1$, thỏa mãn, nên $B$ nằm trên hyperbol (là đỉnh).
a) Vì $c=4\Rightarrow c^2=16$, $2b=\sqrt{28}\Rightarrow b^2=7$, nên $a^2=c^2-b^2=9$. Phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ (dấu trừ), không phải $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ nên khẳng định sai.
b) Độ dài trục thực $2a=2\cdot 3=6$ nên khẳng định đúng.
c) Tiêu cự $2c=2\cdot 4=8\ne 4$ nên khẳng định sai.
d) Thay $B(3;0)$ vào $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$: $\frac{9}{9}-0=1$, thỏa mãn phương trình, nên $B$ nằm trên hyperbol (là đỉnh). Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Xác định tiêu điểm và tiêu cự:

a) Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ có $a^2=100,b^2=64$ nên $a=10,b=8$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-64}=6$. Tiêu cự $2c=12$. Tiêu điểm: $F_1(-6;0),F_2(6;0)$.

b) Elip $\frac{x^2}{25}+y^2=1$ có $a^2=25,b^2=1$ nên $a=5,b=1$, $c=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{6}$. Tiêu điểm: $F_1(-2\sqrt{6};0),F_2(2\sqrt{6};0)$.

c) $9x^2+25y^2=225\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5,b=3$, $c=\sqrt{25-9}=4$. Tiêu cự $2c=8$. Tiêu điểm: $F_1(-4;0),F_2(4;0)$.

d) Hypebol $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=4,b^2=9$ nên $a=2,b=3$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{13}$. Tiêu điểm: $F_1(-\sqrt{13};0),F_2(\sqrt{13};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Parabol (P): y² = 2px (p>0) có tiêu điểm F(p/2; 0) và đường chuẩn x = -p/2.

a) Tiêu điểm F(5; 0) nên p/2 = 5 ⇒ p = 10. Phương trình: y² = 20x.

b) Tiêu điểm F(p/2; 0). Khoảng cách từ F đến Δ: x + y - 12 = 0 là:
d(F, Δ) = |p/2 + 0 - 12|/√2 = 2√2 ⇒ |p/2 - 12| = 4 ⇒ p/2 = 8 hoặc p/2 = 16 ⇒ p = 16 hoặc p = 32.
Vậy có hai parabol thỏa mãn: y² = 32x và y² = 64x.

c) Đường chuẩn x = -p/2 = -2 ⇒ p = 4. Phương trình: y² = 8x.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ có $a^2=4,b^2=1$ với trục lớn nằm trên trục $Ox$. Suy ra $c^2=a^2-b^2=4-1=3$, tức $c=\sqrt{3}$. Các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{3};0)$ và $F_2(\sqrt{3};0)$. Vậy một tiêu điểm có tọa độ $\left(\sqrt{3};0\right)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ có $a^2=16,b^2=7$ nên $c^2=a^2-b^2=16-7=9\Rightarrow c=3$. Tiêu cự $2c=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{7}=1$ có $a^2=16$, $b^2=7$, nên $c^2=a^2+b^2=16+7=23$, suy ra $c=\sqrt{23}$. Tiêu cự là $2c=2\sqrt{23}$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ với $2p=\sqrt{3}$, tức $p=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tiêu điểm $F\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$, đường chuẩn $x=-\frac{\sqrt{3}}{4}$. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng $p=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ có $a^2=16,b^2=7$ nên $c^2=a^2-b^2=16-7=9\Rightarrow c=3$. Elip có trục lớn là trục hoành nên các tiêu điểm là $F(\pm 3;0)$. Trong các đáp án, chỉ có $F(-3;0)$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ với $2p=\sqrt{3}$, tức $p=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$, đường chuẩn $\Delta :x=-\frac{p}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}$. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là $d(F,\Delta )=\frac{\sqrt{3}}{4}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án A.