Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán vectơ không gian (Toán học Lớp 12)

Chọn A
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $G(1;2;1)$.
Gọi $H(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{HC}=\vec{0}$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2-x=4(-1-x)\\ 3-y=4(0-y)\\ -1-z=4(2-z)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\\ z=3\end{array}\Rightarrow H(-2;-1;3).$$
Nhận thấy $G$ và $H$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(Oxz)$; $HG=\sqrt{22}$.
Ta có: $S=\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$
$=\left|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{MH}-4\overrightarrow{HC}\right|+\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|-3\overrightarrow{MH}\right|+\left|3\overrightarrow{MG}\right|$
$=3\left(MH+MG\right)\ge 3GH=3\sqrt{22}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $H$, $M$, $G$ thẳng hàng theo thứ tự.
Lại do $M\in (Oxz)$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $GH$ với mặt phẳng $(Oxz)$.
Vậy $M\left(-1;0;\frac{7}{3}\right)$.

Chọn B
Ta có $-2\vec{b}=(-4;-4;2)$.
Suy ra $\vec{a}-2\vec{b}=(1-4;2-4;3+2)=(-3;-2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A$ là gốc, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ lần lượt cùng hướng các trục. Khi đó: $\vec{a}=10\vec{j}$ (cùng hướng $\overrightarrow{AD}$), $\vec{b}=10\vec{i}$ (cùng hướng $\overrightarrow{AB}$), $\vec{c}=\frac{15}{\sqrt{3}}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})=5\sqrt{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ (cùng hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$). Hợp lực: $\vec{F}=(10+5\sqrt{3})\vec{i}+(10+5\sqrt{3})\vec{j}+5\sqrt{3}\vec{k}$. Độ lớn: $F^2=2(10+5\sqrt{3}{)}^2+(5\sqrt{3}{)}^2=2(175+100\sqrt{3})+75=425+200\sqrt{3}\approx 771,41$, nên $F\approx 27,77\approx 27,8$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn 27.8.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, cùng chiều, bằng nhau). Do đó theo quy tắc tam giác: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy C đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$ (đúng là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$); B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ chứ không phải $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; D sai vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Với điểm $A$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (tính chất trọng tâm), suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án $D$. Kiểm tra các phương án khác: $A$ sai hệ số; $B$ sai vì vế trái bằng $\vec{0}$; $C$ sai vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\ne \overrightarrow{GA}$ (trừ trường hợp $A$ trùng $G$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $J$ là trung điểm $AC$, $K$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{JK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$. Vì $AB\perp CD$ nên $J{K}^2=\frac{1}{4}(A{B}^2+C{D}^2)=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+\frac{16}{9}A{B}^2\right)=\frac{25}{36}A{B}^2$. Suy ra $JK=\frac{5}{6}AB$, vậy $k=\frac{5}{6}\approx 0,83$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$), nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Sai.
b) $\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (quy tắc ba điểm). Đúng.
c) Theo ý a), tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ nên độ dài bằng đường chéo hình lập phương $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên độ dài bằng $0\ne a$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài bằng $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức rút gọn thành $\vec{0}$, độ dài bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
A,B,C,D tạo thành hình bình hành (theo thứ tự đó) khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD có cùng trung điểm, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$. Điều kiện này vừa cần vừa đủ vì: nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$; ngược lại từ đẳng thức này suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên ABCD là hình bình hành (do bốn điểm không thẳng hàng). Các phương án A, B chỉ bảo đảm hai điểm có trung điểm trùng, không đủ; phương án D tương đương với trọng tâm của bốn điểm trùng O, không liên quan đến hình bình hành. Vậy đáp án là C.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(9-2;7-4;4-(-6))=(7;3;10)$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3)$.
Chọn đáp án A.

Trong hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 8 có đáp án là: C.

Vì $O$ là trung điểm của $MN$ mà $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ nên $O$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$.
Do đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.
Biến đổi theo gốc $A$:
$(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})=-4\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{AO}$.
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AO}$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Do $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{BC}$ nên đẳng thức $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là sai.
Chọn C.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án A.

Ta có $\vec{b}-\vec{a}=(1-2;1-3;-1-5)=(-1;-2;-6)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án B.

Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án B.

Tâm $O$ của hình lập phương là trung điểm của đường chéo $A{C}^{\prime }$, nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 5101, trang 7), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án D.

$\vec{a}+\vec{b}=(3+5;-2+(-2);-6+3)=(8;-4;-3)$.

Ta có: $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=AB\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.