Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-1}=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$ mẫu số bằng 0 và tử số $2(-1)-2=-4\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-3}{5x-16}=\frac{1}{5}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to 1$ (đường nét đứt ngang $y=1$), nên tiệm cận ngang là $y=1$. Đường $x=2$ là tiệm cận đứng. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2x-1}$ xác định khi $2x-1\ne 0$, tức $x\ne \frac{1}{2}$. Ta có ${\lim }_{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}\frac{x+1}{2x-1}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}\frac{x+1}{2x-1}=-\infty$, nên đường thẳng $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ không tồn tại tiệm cận ngang. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=1$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ là đường thẳng $y=1$. Đáp án D. (Lưu ý: $x=-1$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, khi $x\to +\infty$ đồ thị tiến tới đường thẳng $y=-1$ (đường nét đứt ngang), tức ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-1$. Khi $x\to -\infty$ đồ thị cũng tiến về $y=-1$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Đường $x=1$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$ xác định khi $x\ne 3$. Tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-1}{x-3}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{x-1}{x-3}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3x-1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{x^2+3x-1}{x+1}=+\infty$ (tử số tại $x=-1$ bằng $1-3-1=-3\ne 0$, mẫu số bằng 0), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng $x=1$ (khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$). Đường $y=2$ là tiệm cận ngang. Vậy tiệm cận đứng là $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa tiệm cận xiên: đường thẳng $y=ax+b$ $(a\ne 0)$ là tiệm cận xiên của đồ thị $y=f(x)$ khi khoảng cách giữa đồ thị và đường thẳng tiến tới 0, tức là $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0$ (hoặc $x\to -\infty$). Trong các phương án, chỉ phương án C thỏa mãn với $x\to +\infty$ và hiệu bằng 0. Phương án A sai vì giới hạn theo $x\to a$ (một điểm hữu hạn); B và D sai vì giới hạn phải bằng 0 chứ không phải $a$ hay $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{3x-2}{x-1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. (Ngoài ra $y=3$ là tiệm cận ngang, không thuộc các đáp án.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: Hàm A: $y=\frac{4x-3}{2x-6}$ có mẫu $2x-6=0\iff x=3$, nên tiệm cận đứng là $x=3$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \frac{4}{2}=2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$. Thỏa mãn đề bài. Hàm B có tiệm cận đứng $x=-3$, tiệm cận ngang $y=2$ (sai TCĐ). Hàm C có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=3$ (sai cả hai). Hàm D có tiệm cận đứng $x=3$, tiệm cận ngang $y=1$ (sai TCN). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2}{x-1}=\frac{(x^2-x)+x}{x-1}=x+\frac{x}{x-1}=x+\frac{(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.

Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+1)\right)=0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=x+1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{3x+1}{x-2}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. (Ngoài ra tiệm cận ngang là $y=3$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x^2-x+1}{3x+2}$ xác định khi $3x+2\ne 0$, tức $x\ne -\frac{2}{3}$. Tại $x=-\frac{2}{3}$: tử số $4\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+1=\frac{16}{9}+\frac{6}{9}+\frac{9}{9}=\frac{31}{9}\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -2/3^{-}}y={\lim }_{x\to -2/3^{+}}y=\infty$. Vậy tiệm cận đứng là $x=-\frac{2}{3}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3-2x}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{\frac{3}{x}-2}{1+\frac{1}{x}}=-2$, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-2x}{x+1}$ là đường thẳng $y=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiến tới đường ngang $y=1$. Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ (do mẫu triệt tiêu và tử tại $x=2$ bằng $8-6-1=1\ne 0$). Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Đáp án B.