Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+1}{x-2}$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ (mệnh đề a đúng, b sai vì $y=2$ không phải tiệm cận đứng). Phép chia: $2x^2+1=(x-2)(2x+4)+9$, nên $f(x)=2x+4+\frac{9}{x-2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(2x+4)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x-2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+4$ (mệnh đề c đúng, d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$, nên tiệm cận đứng là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng phải có dạng $x=a$, không phải $y=2$; tiệm cận đứng của $(C)$ là $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x+4+\frac{9}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x-2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=2x+4$, không phải $y=2x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+3}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. Đúng.
b) $y=\frac{x^2-3x}{x+1}$: tại $x=-1$ tử số bằng $1+3=4\ne 0$, mẫu bằng 0, nên $\underset{x\to -1^{\pm }}{\lim }y=\pm \infty$, tiệm cận đứng $x=-1$. Đúng.
c) Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+2}{x+3}=x-6+\frac{20}{x+3}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-6$. Đúng.
d) $f(x)=\frac{5x+15}{x}=5+\frac{15}{x}$, khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 5$, nên tiệm cận ngang $y=5$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+3}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$ mẫu bằng 0 và tử số bằng $4\ne 0$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2-3x+2}{x+3}=x-6+\frac{20}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=x-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=5+\frac{15}{x}\to 5$ khi $x\to +\infty$, tiệm cận ngang $y=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 22: a) Đúng. Hàm $y=\frac{x+1}{2x-7}$ có mẫu triệt tiêu tại $x=\frac{7}{2}$ (tử không triệt tiêu) nên có tiệm cận đứng $x=\frac{7}{2}$; vì bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. Vậy đúng 1 TCĐ và 1 TCN.
b) Đúng. $y=\frac{x}{x^2+4}$, mẫu $x^2+4>0$ với mọi $x$ nên không có TCĐ; bậc mẫu lớn hơn bậc tử nên có đúng 1 tiệm cận ngang $y=0$.
c) Sai. $y=\frac{2x^2-6x+2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$; chia đa thức được $y=2x-12+\frac{38}{x+3}$ nên có tiệm cận xiên $y=2x-12$; bậc tử bằng bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị chỉ có 2 đường tiệm cận, không phải 3.
d) Sai. Tập xác định $D=[-5;5]\setminus \{0\}$. Khi $x\to 0^{\pm }$ thì $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x^2}\to \frac{5}{0^{+}}=+\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to \pm 5$ thì $y\to 0$. Hàm không xác định khi $x\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang nào (do đó không thể có $y=1$ và $y=-1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Có TCĐ $x=\frac{7}{2}$ và TCN $y=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu luôn dương, không TCĐ; có 1 TCN $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có TCĐ $x=-3$ và TCX $y=2x-12$, không có TCN nên chỉ có 2 tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định bị chặn $[-5;5]\setminus \{0\}$, không có tiệm cận ngang; $x=0$ là tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Viết lại $y=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$. a) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$: đúng. b) ${\lim }_{x\to -1}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$: sai. c) Đồ thị có đúng hai tiệm cận: $x=-1$ và $y=2$: đúng. d) Giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$. Thay vào $(\Delta )$: $-1+2\cdot 2-3=0$, thỏa mãn: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (mẫu bằng 0), không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có hai tiệm cận: đứng $x=-1$ và ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; thay vào $(\Delta )$: $-1+4-3=0$ nên $I\in (\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4x-3+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=4x-3$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $I(2;5)$, tức $a=2$, $b=5$. Khi đó $a-3b=2-15=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $\frac{900}{x}$, nên $P(x)=2\left(x+\frac{900}{x}\right)=2x+\frac{1800}{x}$ với $x>0$. Tiệm cận xiên là $y=2x$ (vì $\frac{1800}{x}\to 0$ khi $x\to +\infty$), suy ra $a=2$, $b=0$. Do đó $T=10a+b=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 2$. Do đó tiệm cận ngang là $y=2$. Khớp đáp án nguồn (đề 0102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Hai giá trị này khác nhau nên đồ thị có đúng hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên có tiệm cận ngang $y=5$. Khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to +\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng (khi $x\to 1^{+}$, $f(x)\to 3$ hữu hạn, không tạo thêm tiệm cận đứng). Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng, tổng cộng là 3 đường. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x+3}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$ (2 tiệm cận). B) $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x$ (2 tiệm cận). C) $y=\frac{4}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=0$ (2 tiệm cận). D) $y=\frac{2x}{x^2+1}$: mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có đúng một tiệm cận ngang $y=0$. Vậy hàm số có đúng một tiệm cận là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 6: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 1$ và khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 3$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=3$. Khi $x\to 0^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ (giá trị $-\infty$ tại cột $x=0$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Lưu ý tại $x=0^{+}$ hàm số nhận giá trị hữu hạn $2$, không tạo thêm tiệm cận đứng nào khác. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $2y+1=0$ tức $y=-\frac{1}{2}$, nên ta tìm hàm số có tiệm cận ngang $y=-\frac{1}{2}$.
- A: $y=\frac{x+1}{2x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$ → TCN $y=\frac{1}{2}$, sai.
- B: bậc tử trên (2) lớn hơn bậc mẫu (1) → có tiệm cận xiên, không có TCN, sai.
- C: $y=\frac{2x+1}{1-x}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ → TCN $y=-2$, sai.
- D: $y=\frac{3-x^2}{2x^2-3x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{-1}{2}$ → TCN $y=-\frac{1}{2}$, đúng.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=2x-1$, tức đường thẳng $2x-y-1=0$. Khoảng cách từ $M(2;-1)$ đến đường thẳng này là $d=\frac{|2\cdot 2-(-1)-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$. Đáp án B (phương án in dạng $y=\frac{4}{\sqrt{5}}$, giá trị đúng là $\frac{4}{\sqrt{5}}$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+m+\frac{3}{m-x}$ có tiệm cận xiên là $y=x+m$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{m-x}=0$). Để tiệm cận xiên đi qua $M(1;2)$ thì $2=1+m\Rightarrow m=1$. Với $m=1$, hàm số xác định với $x\ne 1$, tiệm cận xiên $y=x+1$ đi qua $M(1;2)$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{m{x}^2+6x-2}{x+2}$. Tại $x=-2$: tử số bằng $4m-14$, nên khi $m\ne \frac{7}{2}$ thì $x=-2$ là tiệm cận đứng. Khi $m=0$, hàm số trở thành $y=\frac{6x-2}{x+2}$: bậc tử bằng bậc mẫu nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=6$ (không có tiệm cận xiên), đồng thời $x=-2$ vẫn là tiệm cận đứng vì tử số tại $x=-2$ bằng $-14\ne 0$. Vậy $m=0$ thỏa mãn: đồ thị có tiệm cận đứng và không có tiệm cận xiên. (Với $m\ne 0$ và $m\ne \frac{7}{2}$, đồ thị có cả tiệm cận đứng và tiệm cận xiên; với $m=\frac{7}{2}$, tử số chia hết cho $x+2$ nên không có tiệm cận đứng.)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+3}{x+1}=x-3+\frac{6}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$ (mệnh đề a đúng). Vì mẫu bằng 0 tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$ (mệnh đề b sai). Vậy đồ thị có đúng hai đường tiệm cận: $x=-1$ và $y=2$ (mệnh đề c đúng). Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; thay vào $(\Delta ):x+2y-3=0$ ta được $-1+2\cdot 2-3=0$, đúng (mệnh đề d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có hai đường tiệm cận: đứng $x=-1$ và ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; $-1+2\cdot 2-3=0$ nên $I\in (\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{10}{x+2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$. a) Đúng: đồ thị có đúng hai đường tiệm cận ($x=-2$ và $y=x-4$). b) Đúng: giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=-2-4=-6$ nên $I(-2;-6)$. c) Sai: khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$. d) Đúng: với $x=0$, $y=x-4=-4$ nên tiệm cận xiên đi qua $M(0;-4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-4+\frac{10}{x+2}$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$: đúng hai đường tiệm cận.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, không phải $4\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=x-4$ tại $x=0$ có $y=-4$, nên đi qua $M(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$. Chia đa thức: $x^2-x+1=(x-1)\cdot x+1$, do đó $f(x)=x+\frac{1}{x-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là $y=x$, tức $a=1,b=0$. Khi đó $P=5a+2024b=5\cdot 1+2024\cdot 0=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $x^2-x+2=(x-2)(x+1)+4$, nên $f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x-1\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận: đường thẳng đứng $x=2$ và đường tiệm cận xiên $y=x+1$.