Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$ mẫu số bằng 0 và tử số $2(-1)-2=-4\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x-\sqrt{x^2+2x+3}$. Khi $x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+2x+3}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}\approx x+1$, nên $y\approx x-(x+1)=-1$. Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{x^2+2x+3}\approx -x-1$, nên $y\approx x-(-x-1)=2x+1\to -\infty$ (không phải tiệm cận ngang). Vậy tiệm cận ngang là $y=-1$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-3$. Hai giới hạn này khác nhau nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=-3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-3}{5x-16}=\frac{1}{5}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to 1$ (đường nét đứt ngang $y=1$), nên tiệm cận ngang là $y=1$. Đường $x=2$ là tiệm cận đứng. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to -2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-2$. Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Hai giá trị này khác nhau, do đó đồ thị có 2 tiệm cận ngang. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 9^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=9$. Còn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2$ chỉ là giới hạn một bên tại điểm hữu hạn $x=2$ (nội miền), không phải giới hạn khi $x\to \pm \infty$, nên không tạo ra tiệm cận ngang $y=2$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2x-1}$ xác định khi $2x-1\ne 0$, tức $x\ne \frac{1}{2}$. Ta có ${\lim }_{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}\frac{x+1}{2x-1}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}\frac{x+1}{2x-1}=-\infty$, nên đường thẳng $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ không tồn tại tiệm cận ngang. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=1$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ là đường thẳng $y=1$. Đáp án D. (Lưu ý: $x=-1$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, khi $x\to +\infty$ đồ thị tiến tới đường thẳng $y=-1$ (đường nét đứt ngang), tức ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-1$. Khi $x\to -\infty$ đồ thị cũng tiến về $y=-1$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Đường $x=1$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-1$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$. (Tại $x=1$ hàm số có tiệm cận đứng, không phải ngang.) Vậy số đường tiệm cận ngang là 2, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Từ $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận đứng phân biệt là $x=2$ và $x=-2$, do đó chọn A. Các phương án B, C, D đều sai vì không phản ánh đầy đủ hai tiệm cận đứng này.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$ xác định khi $x\ne 3$. Tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-1}{x-3}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{x-1}{x-3}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3x-1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{x^2+3x-1}{x+1}=+\infty$ (tử số tại $x=-1$ bằng $1-3-1=-3\ne 0$, mẫu số bằng 0), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng $x=1$ (khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$). Đường $y=2$ là tiệm cận ngang. Vậy tiệm cận đứng là $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa tiệm cận xiên: đường thẳng $y=ax+b$ $(a\ne 0)$ là tiệm cận xiên của đồ thị $y=f(x)$ khi khoảng cách giữa đồ thị và đường thẳng tiến tới 0, tức là $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0$ (hoặc $x\to -\infty$). Trong các phương án, chỉ phương án C thỏa mãn với $x\to +\infty$ và hiệu bằng 0. Phương án A sai vì giới hạn theo $x\to a$ (một điểm hữu hạn); B và D sai vì giới hạn phải bằng 0 chứ không phải $a$ hay $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng màu xanh (tiệm cận xiên) đi qua gốc tọa độ $O$ và có hệ số góc dương bằng 1 (đi qua các điểm như $(1;1)$, $(-1;-1)$). Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị hàm số $y=f(x)$ (đường màu hồng) tiến dần đến đường thẳng này, tức là ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-x]=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}$. Xét $x\to +\infty$: $a=\lim \frac{y}{x}=1$, $b=\lim (y-x)=\lim \left(\sqrt{(x+1{)}^2+1}-x\right)=1$, nên có tiệm cận xiên $y=x+1$. Xét $x\to -\infty$: $a=\lim \frac{y}{x}=-1$, $b=\lim (y+x)=\lim \left(\sqrt{(x+1{)}^2+1}+x\right)=-1$, nên có tiệm cận xiên $y=-x-1$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận xiên, chọn C.