Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có nhánh hyperbol với tiệm cận đứng là đường thẳng đứng $x=1$ (đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to 1$) và tiệm cận ngang $y=1$. Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (3A).

TCN: $y=2$, TCD: $x=\frac{-3}{4}$, $x=1$. (Đáp án D được gạch chân trong bản gốc; lời giải in trong nguồn chỉ nêu các đường tiệm cận như trên.)

Chọn D. Tập xác định: $D=(-\infty ;-2]\cup (2;+\infty )$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x}}}{1-\frac{2}{x}}=-1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x}}}{1-\frac{2}{x}}=1$. Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y=-1$; $y=1$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}=+\infty$. Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=2$. Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng số 3 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=2$, tức $cx+b=0\iff x=-\frac{b}{c}=2$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$: $y(0)=\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$. Suy ra $-\frac{-2}{c}=2\Rightarrow c=1$. Vậy $b=-2,c=1$, khớp với đáp án D (đáp án nguồn: D).

Đáp số: 3. Điều kiện xác định: $\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}>0\iff \left[\begin{array}{c}-5<x<-1\\ x>4\end{array}\right]$. Vậy tập xác định $D=(-5;-1)\cup (4;+\infty )$.
- Trước hết ta tìm tiệm cận đứng: Ta biết với $a>1$ thì ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\log }_{a}x=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }{\log }_{a}x=+\infty$. Đặt $f(x)=\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}$. Ta xét các giá trị của x để $f(x)\to 0^{+}$; $f(x)\to +\infty$.
+ Xét $x\to -5^{+}\Rightarrow f(x)\to 0^{+}$. Do đó ${\lim }_{x\to -5^{+}}\ln f(x)=-\infty$; Vậy $x=-5$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to -1^{-}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó ${\lim }_{x\to -1^{-}}\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=-1$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to 4^{+}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=4$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị đã cho có 3 đường tiệm cận đứng.
- Xét $x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5-3x}{x+2}=\frac{-3}{1}=-3$, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-3$. (Tiệm cận đứng là $x=-2$.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (tử, mẫu đều dương), nên $v(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$. → Sai.

b) $v(-2)={\log }_2\frac{5}{7}<0$ vì $\frac{5}{7}<1$. Xét dấu tử số $x^2(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x+4)$ trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$, còn $x^2(x-2{)}^2\ge 0$, nên tử số $\le 0$ (bằng 0 tại $x=0,2$). Chia cho mẫu âm $v(-2)<0$ ta được $g^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-4;3)$, nên $g$ đồng biến trên khoảng này. → Đúng.

c) $u(x)=0\iff x^2+x+2=0$, có $\Delta =1-8=-7<0$: vô nghiệm, đồ thị không cắt trục hoành. → Sai.

d) $u(x)$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; $v(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi $x\to \pm \infty$: $u(x)=1+\frac{x+3}{x^2-1}\to 1$ và $v(x)={\log }_2\frac{x^2+1}{x^2+3}\to {\log }_{2}1=0$, nên $f(x)\to 1$: đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x$, nên tập xác định của $v(x)$ là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(-2)={\log }_2(5/7)<0$. Trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$ nên tử số $\le 0$; chia cho mẫu âm được $g^{\prime }(x)\ge 0$, vậy $g$ đồng biến trên $(-4;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+x+2=0$ có $\Delta =-7<0$ vô nghiệm, đồ thị $u(x)$ không cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên.

a) Sai. Đồ thị $(C)$ có điểm chung với trục $Oy$ và điểm chung này có tung độ âm.
b) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
d) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ nên $d=1$ (*) $\Rightarrow y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$. Đồ thị $(C)$ đi qua điểm $(2;0)$ nên $0=\frac{a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{2+1}\Rightarrow 4a+2b+c=0$ (1). $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}=ax+b-a+\frac{a-b+c}{x+1}$ $\Rightarrow$ đồ thị có TCX là đường thẳng $y=ax+b-a$. Dựa vào hình vẽ thì TCX là đường thẳng $y=x$ nên $\{\begin{array}{l}a=1\\ b-a=0\end{array}\iff a=b=1$ (2). (1), (2) $\Rightarrow a=b=1$, $c=-6$ (**). (*), (**) $\Rightarrow a+b+c+d=1+1-6+1=-3$. Vậy $a+b+c+d$ là một số âm.
a) Sai. Đồ thị $(C)$ có điểm chung với trục $Oy$ và điểm chung này có tung độ âm.
b) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
d) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ nên $d=1$ (*) $\Rightarrow y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$. Đồ thị $(C)$ đi qua điểm $(2;0)$ nên $0=\frac{a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{2+1}\Rightarrow 4a+2b+c=0$ (1). $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}=ax+b-a+\frac{a-b+c}{x+1}$ $\Rightarrow$ đồ thị có TCX là đường thẳng $y=ax+b-a$. Dựa vào hình vẽ thì TCX là đường thẳng $y=x$ nên $\{\begin{array}{l}a=1\\ b-a=0\end{array}\iff a=b=1$ (2). (1), (2) $\Rightarrow a=b=1$, $c=-6$ (**). (*), (**) $\Rightarrow a+b+c+d=1+1-6+1=-3$. Vậy $a+b+c+d$ là một số âm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5x-1}{2x+6}$ xác định khi $2x+6\ne 0\iff x\ne -3$. Khi $x\to -3$ thì mẫu số tiến về 0 trong khi tử số $5(-3)-1=-16\ne 0$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Tiệm cận ngang: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x-1}{2x+6}=\frac{5}{2}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{5}{2}$. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tương tự, khi $x\to 2^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận đứng. Về tiệm cận ngang: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang (một bên đủ để kết luận); khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to -\infty$ nên không có thêm tiệm cận ngang bên phải. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y=\frac{4}{1}=4$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=4$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1122 (câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y=\frac{4}{1}=4$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=4$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1121, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 2$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0002, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$, tức ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$. Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=2$. (Chú ý: $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{+}$.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

Ta có: $f^2(x)-2f(x)=0\iff \{\begin{array}{ll}f(x)=0& (1)\\ f(x)=2& (2)\end{array}$. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: (1) có nghiệm $x_1=a<-1$ (nghiệm đơn) và $x_2=1$ (nghiệm kép) $$\Rightarrow f(x)=k(x-a)(x-1{)}^2(k>0)$$ (2) có nghiệm ba nghiệm đơn $x_1,x_2,x_3$ với $x_1=b<-1<x_2=0<1<x_3=c(b>a)$ $$\Rightarrow f(x)-2=k(x-b)x(x-c)(k>0).$$ $\Rightarrow$ Hàm số $y=g(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{a;b;0;1;c\}$
+) Tìm tiệm cận ngang: Vì $g(x)=\frac{(x+1)\left(x^2-1\right)}{f^2(x)-2f(x)}=\frac{(x+1)\left(x^2-1\right)}{f(x)\left[f(x)-2\right]}=\frac{(x+1{)}^2}{k^2(x-1)(x-b)x(x-c)(x-a)}$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0,{\lim }_{x\to -\infty }g(x)=0\Rightarrow$ ĐTHS $y=g(x)$ nhận đường thẳng $y=0$ làm TCN.
+) Tìm tiệm cận đứng: Tại các điểm $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$ mẫu của $g(x)$ nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0. Và do hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}\setminus \{a;b;0;1;c\}$ nên giới hạn một bên của hàm số $y=g(x)$ tại các điểm $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$ là các giới hạn vô cực. Do đó, ĐTHS $y=g(x)$ có 5 TCD: $x=a,x=b,x=0,x=1$ và $x=c$. Vậy ĐTHS $y=g(x)$ có 6 đường tiệm cận: 1 TCN: $y=0$ và 5 TCD $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$. Đáp án: 6

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 2, khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiến tới đường thẳng $y=2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$ (đường $x=1$ là tiệm cận đứng). Đáp án A, khớp với mã đề 1033.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 2, khi $x\to \pm \infty$ đồ thị của $y=f(x)$ tiến gần đến đường thẳng $y=2$ (nhánh bên trái tiến về $y=2$ khi $x\to -\infty$, nhánh bên phải tiến về $y=2$ khi $x\to +\infty$). Đường $x=1$ (nếu có) là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Vậy tiệm cận ngang là $y=2$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-1}=3$. Đáp án B.