Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị (C) có tiệm cận đứng $x=-1$ (đường đứt nét thẳng đứng) và tiệm cận ngang là đường đứt nét song song với trục $Ox$ tại mức $y=1$ (nhánh phải của đồ thị tiến tới 1 khi $x\to +\infty$). Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 122, Câu 12 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$, xác định với $x\ne -1$.
a) $g(x)=2f(x)=\frac{2x-4}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to 2$, nên tiệm cận ngang của $(C^{\prime })$ là $y=2$. Đúng.
b) Tiệm cận đứng của $(C)$ là $x=-1$ ( mẫu số bằng 0 ), không phải $x=1$. Sai.
c) Tâm đối xứng của $(C)$ là $I(-1;1)$. Điểm $B(x;y)$ trên $(C)$ với $x$ nguyên dương: $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{3\}$ (vì $x>0$ nên $x+1\ge 2$, ước của 3 lớn hơn 1 chỉ có 3), tức $x=2$, $y=0$, $B(2;0)$. Khoảng cách $BI=\sqrt{(2+1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$. Đúng.
d) $g(0)=2f(0)=2\cdot (-2)=-4$, giao điểm với trục tung là $A(0;-4)$. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 122: DSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\frac{2x-4}{x+1}\to 2$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng $I(-1;1)$. Với $x$ nguyên dương, $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1=3$, tức $B(2;0)$. $BI=\sqrt{3^2+1}=\sqrt{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(0)=2f(0)=2\cdot \frac{-2}{1}=-4$, giao điểm là $A(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Sai vì mẫu số x+1=0 tại x=-1, tiệm cận đứng là x=-1. b) Đúng: g(x)=2(x-2)/(x+1) có lim khi x→∞ bằng 2, tiệm cận ngang y=2. c) Đúng: g(0)=2·(-2/1)=-4, giao điểm trục tung A(0;-4). d) Đúng: tâm đối xứng I(-1;1). Điểm B(x;y) trên (C) với x nguyên dương, y nguyên: y=(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1), cần x+1 thuộc ước của 3, x>0 nên x=2, B(2;0). IB=√((2+1)²+(0-1)²)=√10. Khớp đáp án SDDD của mã đề 121.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: x+1=0 ⇒ x=-1, không phải x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=2(x-2)/(x+1), lim_{x→±∞} g(x)=2 nên TCN là y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(0)=2·f(0)=2·(-2)=-4 nên A(0;-4).
d) (AI giải đề cho tôi)
I(-1;1). y=1-3/(x+1) nguyên với x nguyên dương ⇒ x=2, B(2;0), IB=√(9+1)=√10.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị (C) có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường nét đứt ngang đi qua mức $y=1$, đồ thị tiến tới 1 khi $x\to \pm \infty$). Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, khớp đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 121, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà đồ thị tiến tới vô cực khi $x$ tiến tới đó. Trên hình, đồ thị có nhánh đi lên vô cực và nhánh đi xuống $-\infty$ tại $x=-1$ (đường nét đứt đứng tại $x=-1$), còn đường nét đứt ngang $y=-1$ là tiệm cận ngang. Vậy tiệm cận đứng là $x=-1$, khớp đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 121, Câu 9: A).

Hàm số bậc hai trên bậc nhất có dạng $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-2}$
Theo giả thiết ta có: $A(2,5;0)$, $B(4;4,5)$
Vì $A,B$ thuộc đồ thị hàm số nên
$$\{\begin{array}{l}6,25a+2,5b+c=0\\ 16a+4b+c=9\end{array}(1)$$
Ta có:
$$f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2-4ax-2b-c}{(x-2{)}^2}$$
$$f^{\prime }(x_B)=0\Rightarrow \frac{a.4^2-4a.4-2b-c}{(4-2{)}^2}=0\Rightarrow 2b+c=0(2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $a=-1$, $b=12,5$, $c=-25$
Khi đó $f(x)=\frac{-x^2+12,5x-25}{x-2}=-x+10,5-\frac{4}{x-2}$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(-x+10,5)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x+10,5-\frac{4}{x-2}+x-10,5\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{x-2}=0$$
Vậy $y=-x+10,5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Tọa độ giao điểm $G$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}y=-x+10,5\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=10,5\\ y=0\end{array}\Rightarrow G(10,5;0)$
Tương tự ta tìm được $A(2,5;0)$, $C(10;0)$
$CG=x_G-x_C=10,5-10=0,5$
Vậy vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng 0,5 đơn vị.

Chọn C
TH1: Với $m\le 0$ thì hàm số không xác định nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Với $m>0$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}x\in \left(-\infty ;-\frac{2}{\sqrt{m}}\right]\cup \left[\frac{2}{\sqrt{m}};+\infty \right)\\ x\ne 1\end{array}$
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=\sqrt{m}$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=-\sqrt{m}$, do đó đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang là $y=\sqrt{m}$ và $y=-\sqrt{m}$.
+) Nếu $-\frac{2}{\sqrt{m}}<1<\frac{2}{\sqrt{m}}\iff m<4$ thì đồ thị hàm số chỉ có 2 đường tiệm cận ngang mà không có đường tiệm cận đứng. Do đó không thỏa mãn.
+) Nếu $m=4$ khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-4}}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}=+\infty$ nên $x=1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Khi đó đồ thị có 3 đường tiệm cận nên $m=4$ thỏa mãn yêu cầu.
+) Nếu $m>4$ khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=+\infty$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=-\infty$ nên $x=1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Khi đó đồ thị có 3 đường tiệm cận nên $m>4$ thỏa mãn yêu cầu.
Do $m$ nguyên thuộc $[-10;10]$ nên $m\in \{4;5;6;7;8;9;10\}$. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc $[-10;10]$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A. Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là $y=\frac{a}{c}=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường $y=1$ được ghi rõ trên hình, nhánh đồ thị tiến tới $1$ khi $x\to \pm \infty$). Với hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=1$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường $y=1$ được ghi rõ trên hình, hai nhánh đồ thị tiến tới $y=1$ khi $x\to \pm \infty$). Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, đáp án A. Khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1. Tiệm cận ngang y=a/c=-1 ⇒ a=1. Đồ thị đi qua (0;-2) ⇒ f(0)=b=-2. Vậy f(x)=(x-2)/(1-x)=-1-1/(x-1) (với x≠1). a) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(1-(-2)(-1))/(1-x)²=(-1)/(1-x)²<0 với mọi x≠1 ⇒ Đúng. b) Đúng như đã xác định: TCĐ x=1, TCN y=-1. c) a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2 ⇒ Đúng. d) Hàm số bậc nhất theo tử và mẫu (hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất) không có cực đại, cực tiểu; hai điểm (0;-2) và (2;0) chỉ là giao điểm với các trục ⇒ Sai. Khớp đáp án nguồn Đ-Đ-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(1-x)²<0 với mọi x≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, TCĐ là x=1 (nên c=-1) và TCN là y=a/c=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-2 (đồ thị qua (0;-2)), c=-1 ⇒ a+b+c=-2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị; (0;-2) và (2;0) chỉ là giao điểm với trục Oy và Ox.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$. Tại $x=-2$, mẫu số bằng 0 và tử số tại $x=-2$ là $-3\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x-1}{x+2}=\pm \infty$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 2061, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$. Tại $x=-2$, mẫu số bằng 0 và $\underset{x\to -2^{\pm }}{\lim }\frac{x-1}{x+2}=\mp \infty$, nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Tử số $x-1=0$ tại $x=1$ chỉ cho giao điểm với trục hoành, không phải tiệm cận.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+3}\to 0$ nên $y\to 2x-5$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x-5$. Đáp án A.

$y=4x-9+\frac{3}{2x-8}$
${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(4x-9)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{2x-8}=0$.
Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=4x-9+\frac{3}{2x-8}$ là đường thẳng có phương trình $y=4x-9$.

$y=-2x-8+\frac{3}{4x-9}$

${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-2x-8)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{4x-9}=0$.

Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=-2x-8+\frac{3}{4x-9}$ là đường thẳng có phương trình $y=-2x-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$: khi $x\to -\infty$ thì $y\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Tại $x=1$, hàm số tiến đến $+\infty$ (bên trái) và $-\infty$ (bên phải), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$, không có thêm tiệm cận ngang; tại $x=3$ hàm đạt giá trị $2$ (cực đại) nên không phải tiệm cận. Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2$, khớp đáp án A (đối chiếu bảng đáp án mã đề 202, câu 1: A).

Từ bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$. Và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=-1$. Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tổng cộng 2 đường tiệm cận đứng và ngang.

Chọn A

Tập xác định: $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=-2$

và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=2$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=-2$.

Mà $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$; $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=+\infty$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận đứng là $x=2$ và $x=-2$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=4$ (cực đại), $f(1)=0$ (cực tiểu), $f\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, $f\to +\infty$ khi $x\to +\infty$. Tiệm cận đứng của $g(x)=\frac{x^4-1}{f^2(x)-4f(x)}$ xảy ra khi mẫu $f(x)(f(x)-4)=0$ và tử khác 0 (hoặc xét giới hạn nếu cả hai triệt tiêu).

- $f(x)=0$: có nghiệm $x=1$ và một nghiệm $x_0\in (-\infty ;-1)$ (vì $f$ tăng từ $-\infty$ lên 4 trên khoảng đó). Tại $x=1$: mẫu $\approx -4f(x)\to 0$ cấp 2, tử $x^4-1\approx 4(x-1)\to 0$ cấp 1 nên giới hạn vô cực → tiệm cận đứng. Tại $x_0<-1$: $x_0^4-1\ne 0$ → tiệm cận đứng.
- $f(x)=4$: có nghiệm $x=-1$ và một nghiệm $x_2\in (1;+\infty )$ (vì $f$ tăng từ 0 lên $+\infty$). Tại $x=-1$: mẫu $\approx 4(f(x)-4)\to 0$ cấp 2, tử $\approx -4(x+1)\to 0$ cấp 1 nên giới hạn vô cực → tiệm cận đứng. Tại $x_2>1$: $x_2^4-1\ne 0$ → tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng: $x=x_0$, $x=-1$, $x=1$, $x=x_2$. Đáp án D.