Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{3x-2}{x-1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. (Ngoài ra $y=3$ là tiệm cận ngang, không thuộc các đáp án.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}$. Khi $x\to +\infty$: $y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to 1$. Khi $x\to -\infty$: $y=\frac{x+3}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to -1$ (vì $|x|=-x$ khi $x<0$). Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: Hàm A: $y=\frac{4x-3}{2x-6}$ có mẫu $2x-6=0\iff x=3$, nên tiệm cận đứng là $x=3$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \frac{4}{2}=2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$. Thỏa mãn đề bài. Hàm B có tiệm cận đứng $x=-3$, tiệm cận ngang $y=2$ (sai TCĐ). Hàm C có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=3$ (sai cả hai). Hàm D có tiệm cận đứng $x=3$, tiệm cận ngang $y=1$ (sai TCN). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: có hai đường tiệm cận đứng (hai đường nét đứt thẳng đứng) và một đường tiệm cận ngang (đường nét đứt nằm ngang khi $x\to \pm \infty$). Vậy tổng số tiệm cận là $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử số bằng bậc mẫu số, ta xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2-3}{x^2-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ (đúng như hình vẽ, hai nhánh đồ thị tiến về đường thẳng $y=1$ khi $x\to \pm \infty$).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2}{x-1}=\frac{(x^2-x)+x}{x-1}=x+\frac{x}{x-1}=x+\frac{(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.

Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+1)\right)=0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=x+1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{3x+1}{x-2}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. (Ngoài ra tiệm cận ngang là $y=3$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x^2-x+1}{3x+2}$ xác định khi $3x+2\ne 0$, tức $x\ne -\frac{2}{3}$. Tại $x=-\frac{2}{3}$: tử số $4\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+1=\frac{16}{9}+\frac{6}{9}+\frac{9}{9}=\frac{31}{9}\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -2/3^{-}}y={\lim }_{x\to -2/3^{+}}y=\infty$. Vậy tiệm cận đứng là $x=-\frac{2}{3}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tiến đến vô cùng khi $x\to 2$ và $x\to -2$ (hai đường tiệm cận đứng nét đứt tại $x=2$ và $x=-2$). Vậy tiệm cận đứng là $x=2$ và $x=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3-2x}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{\frac{3}{x}-2}{1+\frac{1}{x}}=-2$, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-2x}{x+1}$ là đường thẳng $y=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$ (bên trái). Khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$, $f(x)\to 3$ (giá trị hữu hạn khác $+\infty$ ngay sát phải), nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5$ nên có thêm tiệm cận ngang $y=5$ (bên phải). Vậy tổng số tiệm cận ngang (2: $y=0$ và $y=5$) và tiệm cận đứng (1: $x=1$) là $2+1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiến tới đường ngang $y=1$. Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x}{1+\sqrt{x}}$ xác định với $x\ge 0$. Khi $x\to +\infty$, $y\approx \sqrt{x}\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang.
- B: $y=x^3-3x$ là đa thức, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không có tiệm cận ngang.
- C: $y={\log }_{2}x$ có tiệm cận đứng $x=0$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$, không có tiệm cận ngang.
- D: $y=x+\sqrt{x^2+4}$. Khi $x\to -\infty$: $y=x+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=x\left(1-\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\right)$. Ta có ${\lim }_{x\to -\infty }\left(1-\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\right)=0$ và $x\to -\infty$, xét chi tiết: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{4}{x+\sqrt{x^2+4}}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{4\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)}{(x+\sqrt{x^2+4})(\sqrt{x^2+4}-x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{4(\sqrt{x^2+4}-x)}{-4}={\lim }_{x\to -\infty }(x-\sqrt{x^2+4})=0$. Vậy ${\lim }_{x\to -\infty }y=0$, đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$.

Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^2$ là hàm đa thức bậc 2, không có tiệm cận. B) $y=x^3-3x+4$ là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận. C) $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận ngang $y=2$ và tiệm cận đứng $x=1$, không có tiệm cận xiên. D) $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$: bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 nên có tiệm cận xiên. Chia đa thức: $x^2-x+1=(x-1)\cdot x+1$, suy ra $y=x+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+x-3}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)-1}{x-1}=x+2-\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ nên $\lim \left[f(x)-(x+2)\right]=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+2$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$. Giao điểm: thay $x=2$ vào $y=-x+1$ được $y=-1$, nên giao điểm là $(2;-1)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ (do mẫu triệt tiêu và tử tại $x=2$ bằng $8-6-1=1\ne 0$). Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Đáp án B.