Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Chọn 1 viên bi bất kỳ: có $3+4+5=12$ cách → Đúng.
b) Chọn 4 viên bi đủ 3 màu nghĩa là phân bố $(1,1,2)$ giữa ba màu, với ít nhất 1 bi xanh. Các trường hợp: 1 đỏ, 1 vàng, 2 xanh: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng: $3\cdot 5\cdot C_4^2=90$; 1 vàng, 1 xanh, 2 đỏ: $4\cdot 5\cdot C_3^2=60$. Tổng $120+90+60=270$ → Đúng.
c) Chọn 2 viên bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ → Đúng.
d) Chọn 2 viên bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$ nên có 12 cách chọn 1 viên bi bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân bố $(1,1,2)$: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot 5\cdot C_4^2+4\cdot 5\cdot C_3^2=120+90+60=270$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách chọn 2 bi khác màu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ nên khẳng định sai.

a) Gọi số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcde}$.
TH1: $\overline{abcd0}$ có $A_4^3=120$ số.
TH2: $\overline{abcde}$, $e\in \{2,4\}$, nên có 2 cách chọn $e$, có 4 cách chọn $a$ nên có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số. (1,5 điểm)

b) Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần bao gồm cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{9!}{3!2!}=30240$ số. (0,5 điểm)

Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần và chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{8!}{3!2!}=3360$ số.
Vậy có $30240-3360=26880$ số. (1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 7 em là $C_7^3=35$. Số cách chọn 3 học sinh trong đó không có nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $35-10=25$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Xếp 5 học sinh nữ thành hàng ngang là hoán vị: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách → sai. b) Tổng cách xếp 12 người: 12!. Xác suất 5 nữ ngồi cạnh nhau: coi 5 nữ là một khối, có 8!·5! cách, nên P = 8!·5!/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99 → sai. c) Nhóm 4 người có Hồng và ít nhất 2 nữ: chọn 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ, 7 nam) sao cho có ít nhất 1 nữ: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách → đúng. d) Xếp 12 người thành 3 hàng (3, 4, 5 người), mỗi vị trí trong hàng là khác nhau: chọn người cho hàng 1: A(12,3), hàng 2: A(9,4), hàng 3: 5! cách, tổng A(12,3)·A(9,4)·5! = 12! → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh nữ thành một hàng ngang là hoán vị của 5 phần tử: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp 12 người thành hàng ngang là 12!. Cách thuận: coi 5 nữ thành một khối, xếp 8 đối tượng (7 nam + 1 khối): 8! cách, trong khối xếp 5 nữ: 5! cách. Xác suất P = (8!·5!)/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm 4 người luôn có Hồng: chọn thêm 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ khác và 7 nam). Cần ít nhất 1 nữ nữa: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàng 1 có 3 vị trí, hàng 2 có 4 vị trí, hàng 3 có 5 vị trí, các vị trí phân biệt: số cách xếp là A(12,3)·A(9,4)·5! = (12!/9!)·(9!/5!)·5! = 12! cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn vị trí đầu và cuối hàng: có $A_3^2=3\cdot 2=6$ cách chọn và xếp 2 học sinh nam. 5 vị trí còn lại xếp 5 học sinh còn lại: $5!=120$ cách. Tổng: $6\cdot 120=720$ cách. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: B).

Tập hợp các chữ số chẵn khác 0 là $\{2,4,6,8\}$ gồm 4 phần tử.
Chọn 2 chữ số chẵn từ tập trên có $C_4^2$ cách.
Tập hợp các chữ số lẻ khác 0 là $\{1,3,5,7,9\}$ gồm 5 phần tử.
Chọn 2 chữ số lẻ từ tập trên có $C_5^2$ cách.
Từ 4 chữ số đã chọn (2 chẵn, 2 lẻ phân biệt và khác 0), hoán vị 4 vị trí để tạo thành số tự nhiên có 4 chữ số có $4!$ cách.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là $4!C_4^2{C}_5^2$.
Chọn C.

Trên bát giác đều, đỉnh $B$ cách đỉnh $A$ $3$ bước ngược chiều kim đồng hồ hoặc $5$ bước cùng chiều kim đồng hồ. Để lần đầu tiên chạm $B$ ở đúng bước thứ $7$, có $5$ đường đi gồm $6$ bước cùng chiều và $1$ bước ngược chiều, cùng $9$ đường đi gồm $5$ bước ngược chiều và $2$ bước cùng chiều không chạm $B$ ở bước $3$ hoặc bước $5$. Tổng cộng có $5+9=14$ trường hợp. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): 14.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 4 (Phần III) có kết quả là: 78.

Đa giác đều $k$ cạnh nội tiếp trong đa giác đều 60 đỉnh có các đỉnh cách đều nhau các cung $\frac{60}{k}$ đỉnh.
Điều kiện cần và đủ là $k$ là ước của 60 và $k\ge 3$.
Các ước của 60 lớn hơn hoặc bằng 3 là: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (gồm 10 giá trị).
Với mỗi $k$, số đa giác đều $k$ đỉnh tạo thành là $\frac{60}{k}$.
Tổng số đa giác đều là:
${\sum }_{k|60,k\ge 3}\frac{60}{k}=\frac{60}{3}+\frac{60}{4}+\frac{60}{5}+\frac{60}{6}+\frac{60}{10}+\frac{60}{12}+\frac{60}{15}+\frac{60}{20}+\frac{60}{30}+\frac{60}{60}$
$=20+15+12+10+6+5+4+3+2+1=78$.

Số cách phân phối $6$ giỏ trái cây khác nhau vào $3$ quầy hàng khác nhau (không điều kiện) là $3^6=729$ cách.
Theo nguyên lý bù trừ, số cách bày sao cho mỗi quầy có ít nhất một giỏ trái cây là $3^6-C_3^1\cdot 2^6+C_3^2\cdot 1^6=729-3\cdot 64+3\cdot 1=540$ (cách).