Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị lượng giác và quan hệ cơ bản (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III. Khi đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$ và $\cot \alpha >0$. Vậy phát biểu đúng là $\tan x>0$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $A=3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$ nên $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{1/2}=2$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Cho sin x + cos x = m và M = |sin α − cos α| (đề dùng chung một góc, hiểu x ≡ α).
a) Đúng: sin²α + cos²α = 1 là hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi góc α.
b) Đúng: M² = (sin α − cos α)² = sin²α − 2 sinα cosα + cos²α = 1 − 2 sinα cosα. Mặt khác (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = (1 + 2 sinα cosα) − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M². Vậy khẳng định đúng.
c) Sai: từ sin x + cos x = m, bình phương hai vế ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức dạng đúng phải là 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) Sai: M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − (1 + 2 sinα cosα) = 2 − m², nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 (giá trị âm).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hằng đẳng thức lượng giác sin²α + cos²α = 1 đúng với mọi góc α.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα và (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = 1 + 2 sinα cosα − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bình phương sin x + cos x = m ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − m² nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 < 0.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan a$ ($t\ne 0$), khi đó $\cot a=\frac{1}{t}$. Giả thiết: $t-\frac{1}{t}=3$.

a) $A={\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a={\left(\tan a-\cot a\right)}^2+2\tan a\cot a=3^2+2=11$.

b) $B=\tan a+\cot a$. Ta có $B^2={\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a+2\tan a\cot a=11+2=13$, suy ra $B=\pm \sqrt{13}$. (Cả hai giá trị đều có thể xảy ra vì dấu của $\tan a+\cot a=\frac{1}{\sin a\cos a}$ không được xác định bởi giả thiết.)

c) $C={\tan }^{4}a-{\cot }^{4}a=\left({\tan }^{2}a-{\cot }^{2}a\right)\left({\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a\right)=\left(\tan a-\cot a\right)\left(\tan a+\cot a\right)\cdot 11=3\cdot B\cdot 11=33B=\pm 33\sqrt{13}$.

Vậy: a) $A=11$; b) $B=\pm \sqrt{13}$; c) $C=\pm 33\sqrt{13}$ (cùng dấu với $B$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 121: Rút gọn 6 biểu thức.

1) $A=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}{\tan }^2\frac{x}{2}-{\cos }^{2}x$. Dùng hệ thức ${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$, suy ra $A=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$.

2) $B=\frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin (3x-5x)}{\cos x}=\frac{-\sin 2x}{\cos x}=-2\sin x$.

3) $C=\frac{2}{\sin 4x}-\cot 2x$. Ta có $\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}$ (nhân tử mẫu với $2\cos 2x$), nên $C=\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{2\sin 2x\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

4) $D=\frac{{\sin }^{2}2x-4{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}2x+4{\sin }^{2}x-4}$. Thay ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$:
Tử $=4{\sin }^{2}x({\cos }^{2}x-1)=-4{\sin }^{4}x$.
Mẫu $=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x-4=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-1)=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)=-4{\cos }^{4}x$.
Vậy $D=\frac{-4{\sin }^{4}x}{-4{\cos }^{4}x}={\tan }^{4}x$.

5) $E=\frac{\cot \frac{a}{2}+\tan \frac{a}{2}}{\cot \frac{a}{2}-\tan \frac{a}{2}}$. Nhân tử và mẫu với $\tan \frac{a}{2}$: $E=\frac{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}$. Theo công thức $\cos a=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}$ nên $E=\frac{1}{\cos a}$.

6) $H=\frac{2{\cos }^{2}a-1}{2\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Tử $=\cos 2a$. Vì $\frac{\pi }{4}-a=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+a\right)$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Do đó mẫu $=2\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2a\right)=\cos 2a$. Vậy $H=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos x=\frac{1}{2}$ ta có ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Khi đó $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dương). Do đó (a) đúng, (b) sai, (c) sai. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$, nên (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (góc ở góc phần tư thứ II) nên $\sin \alpha >0$
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =+\frac{\sqrt{7}}{4}$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ và $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ nên $\alpha =60^{\circ }$ (đúng). Khi đó $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ nên câu b sai. $\tan \alpha =\sqrt{3}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =3$ (đúng). Với ${\sin }^2\alpha =\frac{3}{4},{\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$: $P=3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{1}{2}$ với $\alpha$ nhọn $\Rightarrow \alpha =60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $\alpha$ nhọn, $\sin \alpha >0$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sqrt{3}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{13}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{65}{97}\right)}^2=\frac{9409-4225}{9409}=\frac{5184}{9409}={\left(\frac{72}{97}\right)}^2$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{72}{97}$, chọn D.

Ta có ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

Vì $90^{\circ }<a<180^{\circ }$ nên $\cos a<0$, suy ra $\cos a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1}{3}:\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Hàm số nhiệt độ có dạng $h(t)=A\sin \left[\frac{\pi }{12}(t-8)\right]+B$.
Tại thời điểm $t=14$, nhiệt độ đạt mức cao nhất bằng $35^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(14-8)\right]+B=35\iff A\sin \frac{\pi }{2}+B=35\iff A+B=35.$$
Tại thời điểm $t=2$, nhiệt độ đạt mức thấp nhất bằng $23^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(2-8)\right]+B=23\iff A\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)+B=23\iff -A+B=23.$$
Giải hệ phương trình ta được $A=6$ và $B=29$.
Nhiệt độ ngoài trời lúc 11 giờ ứng với $t=11$:
$h(11)=6\sin \left[\frac{\pi }{12}(11-8)\right]+29=6\sin \frac{\pi }{4}+29=3\sqrt{2}+29\approx 33.24{}^{\circ }\mathrm{C}$.
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thu được $33$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2\beta$ là góc lượng giác nên hàm $\tan$ là hàm lẻ: $\tan (-2\beta )=-\tan 2\beta$ (đúng khi $2\beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Các khẳng định khác sai vì $\cot (-2\beta )=-\cot 2\beta$, $\cos (-2\beta )=\cos 2\beta$, $\sin (-2\beta )=-\sin 2\beta$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos x=\frac{1}{2}$ ta có ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Do đó $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}=3,25$.