Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc nhị diện (Toán học Lớp 11)

Sử dụng hệ toạ độ hoặc dựng góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SCA)$ chứa cạnh chung $SC$. Tính được số đo góc nhị diện xấp xỉ $54^{\circ }$.

Sử dụng hệ toạ độ không gian hoặc định lý hàm số cos trong tam giác để tính góc giữa hai nửa mặt phẳng $(AD{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$, thu được số đo góc nhị diện xấp xỉ $121^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 14 (Phần I) chọn đáp án B.

Theo lời giải chi tiết trang 11, diện tích $△AHK$ là $S_{△AHK}=\frac{2\sqrt{2}}{9}{a}^2$ và hình chiếu vuông góc $△AIF$ trên $(ABCD)$ có diện tích $S_{△AIF}=\frac{2}{9}{a}^2$. Suy ra $\cos \alpha =\frac{S_{△AIF}}{S_{△AHK}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.

Trong hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ có $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, ta có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$.
Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $H$ là trung điểm $BC$ và $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAH)\Rightarrow BC\perp SH$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SHA}$.
Trong tam giác vuông $SAH$ tại $A$:
$\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,1547\Rightarrow \widehat{SHA}\approx 49^{\circ }{6}^{\prime }$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: Chọn A).

Gọi hình chóp tứ giác đều là $S.ABCD$ với tâm đáy $O$. Chiều cao $SO=h=1,5\text{ m}$.
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh đáy $CD$. Đoạn $OM\perp CD$ và $SM\perp CD$. Góc nhị diện giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SMO}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOM$ tại $O$: trung đoạn $d=SM=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{1,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\text{ m}$.
Khoảng cách $OM=\frac{SO}{\tan 60^{\circ }}=\frac{1,5}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ m}$. Cạnh đáy hình vuông $a=2\times OM=\sqrt{3}\text{ m}$.
Diện tích xung quanh của hình chóp (diện tích vải phủ 4 mặt bên) là:
$S_{\text{xq}}=4\times \left(\frac{1}{2}a\cdot d\right)=2\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=6{\text{ m}}^2.$
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 101: Kết quả là 6).