Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc nhị diện (Toán học Lớp 11)

Chọn A (theo thứ tự phương án của nguồn giải, tương ứng phương án B của đề).

$$[S,BC,D]=[S,BC,A]=\widehat{SBA}=45^0.$$

Chọn B.

$[S,DC,B]=[S,DC,A]=\widehat{SDA}=60^{\circ }$.

Chọn B
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AB,SA\perp AD$; $AB\cap AD=A\in SA$
Do đó góc nhị diện $[B,SA,D]$ là góc $BAD$ bằng $90^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $AB\perp SA$; trong mặt phẳng $(SAD)$, đường thẳng $AD\perp SA$. Hơn nữa $AB\perp AD$ (do $ABCD$ là hình vuông). Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AD$ (cùng vuông góc với cạnh $SA$ tại điểm $A$) chính là góc nhị diện $[B,SA,D]$, và vì $AB\perp AD$ nên góc này bằng $90^{\circ }$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[B,SA,D]$ có cạnh là đường thẳng $SA$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Do đó góc giữa $AB$ và $AD$ chính là góc nhị diện $[B,SA,D]$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$, tức góc nhị diện bằng $90^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn C.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM\perp BC$ (1) và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Lại có $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$, từ đó suy ra $SM\perp BC$ (2). Từ (1) và (2) ta có $[S,BC,A]=\widehat{SMA}$. Tam giác $SAM$ vuông tại $A$, nên $\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMA}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[H,SA,B]$ có cạnh là $SA$, hai nửa mặt phẳng là $(SAH)$ và $(SAB)$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AH$ và $SA\perp AB$, với $H\in BC\subset (ABC)$. Trong mặt phẳng $(ABC)$, $AH\perp SA$ tại $A$ và $AB\perp SA$ tại $A$, do đó góc giữa hai nửa mặt phẳng là góc $\widehat{HAB}$. Vậy góc nhị diện $[H,SA,B]=\widehat{HAB}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ là mặt phẳng đi qua hai đường chéo đối của hình lập phương, cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $AC$. Trong hình lập phương, $BD\perp AC$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$) và $BD\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, tức là đường thẳng $BD$ nằm trong $(ABCD)$ vuông góc với $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Vậy hai mặt phẳng vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[H,SA,B]$ có cạnh $SA$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AH$ ($H\in BC\subset (ABC)$). Trong mặt phẳng $(SAH)$, $AH\perp SA$; trong mặt phẳng $(SAB)$, $AB\perp SA$. Vậy góc phẳng của nhị diện $[H,SA,B]$ là góc giữa $AH$ và $AB$, tức là $\widehat{HAB}$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$, nên $CO\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$, mà $BD\perp CO$ nên $BD\perp (SAO)$, suy ra $BD\perp SO$. Trong mặt phẳng $(SOC)$, ta có $CO\perp BD$ và $SO\perp BD$, tức $O$ là điểm trên cạnh $BD$ (giao tuyến của hai nửa mặt phẳng chứa $S$ và $C$) với $SO\subset (SBD)$, $CO\subset (CBD)$. Vậy góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ là $\alpha =\widehat{SOC}$. Chọn đáp án A, trùng với đáp án đề 102 câu 12 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$, nên $AO\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Suy ra $BD\perp (SAO)$, do đó $BD\perp SO$. Trong mặt phẳng $(SAO)$, ta có $AO\perp BD$ và $SO\perp BD$ tại $O$, nên góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$ là góc giữa hai tia $OS$ và $OA$, tức $\alpha =\widehat{SOA}$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét nhị diện [S, AC, B] có cạnh là AC: SO ⊥ AC (vì tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm AC) và BO ⊥ AC (vì ABCD hình vuông, BD ⊥ AC). Do đó góc phẳng nhị diện [S, AC, B] là SOB → B đúng. Các phương án khác sai: [D, SA, B] có cạnh SA, góc phẳng phải có đỉnh trên SA (không phải S); [S, AB, C] có cạnh AB, góc phẳng không phải SBC (đỉnh B thuộc AB nhưng BC không vuông góc với AB trong mặt phẳng (SBC)); [D, SA, C] có cạnh SA, DAC không phải góc phẳng vì đỉnh A thuộc SA nhưng AD, AC không vuông góc với SA.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[S,BC,A]$ có cạnh là $BC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Như vậy $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Suy ra $BC\perp SB$ và $BC\perp AB$, do đó góc giữa $SB$ và $AB$ chính là góc phẳng của nhị diện $[S,BC,A]$, tức là $\widehat{SBA}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AM\perp BC$ với $AM=\frac{BC}{2}=a$. Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A^{\prime }M\perp BC$ (theo định lý ba đường vuông góc). Góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }MA}$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AM$: $\tan \widehat{A^{\prime }MA}=\frac{A^{\prime }A}{AM}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ cắt nhau theo giao tuyến $AC$. Trong mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, ta có $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AC$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $AC$, tức góc $A^{\prime }AC=90^{\circ }$. Do đó đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[B,SA,C]$ có cạnh là $SA$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$. Do đó $BA\subset (SAB)$, $CA\subset (SAC)$ lần lượt vuông góc với cạnh $SA$ tại $A$, nên góc phẳng của nhị diện là $\widehat{BAC}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị diện $[B,SA,D]$ có cạnh $SA$, hai mặt $(SAB)$ và $(SAD)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Trong $(SAB)$: $AB\perp SA$ tại $A$; trong $(SAD)$: $AD\perp SA$ tại $A$. Vậy góc nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BAD}$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{BAD}=90^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, góc nhị diện $[B,A{A}^{\prime },C]$ có cạnh $A{A}^{\prime }$. Hai mặt phẳng lần lượt là $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Ta có $AB\perp A{A}^{\prime }$ và $AB\perp AC$ (vì $ABCD$ là hình vuông), nên $AB\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Mà $AB$ nằm trong $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vậy góc nhị diện $[B,A{A}^{\prime },C]$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện có cạnh là bản lề máy tính, mặt phẳng chứa tam giác ABC với A là đỉnh trên bản lề. Trong tam giác ABC có AB = AC = 30 cm, BC = 30√3 cm, áp dụng định lí cosin: cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (900 + 900 − 2700)/1800 = −1/2. Suy ra góc A = 120°, tức độ mở của màn hình α = 120. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3 = 120).

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện có cạnh là đường gập (bản lề) và hai nửa mặt phẳng là màn hình và bàn phím, nên góc nhị diện chính là góc $\widehat{BAC}$ trong tam giác $ABC$ với $AB=AC=30$ cm, $BC=30\sqrt{3}$ cm. Áp dụng định lí cosin: $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{900+900-2700}{1800}=\frac{-900}{1800}=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\hat{A}=120^{\circ }$, vậy $\alpha =120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (120).