Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, nên $c=0$ và $f^{\prime }(-2)=12a-4b+c=0\Rightarrow b=3a$. Hàm số đi lên ở hai đầu nên $a>0$. Ngoài ra $f(0)=d=1>0$ và $f(-2)=-8a+4b+d=2\Rightarrow -8a+12a+1=2\Rightarrow 4a=1\Rightarrow a=\frac{1}{4}>0$, suy ra $b=\frac{3}{4}>0$. Vậy $a=\frac{1}{4}>0$, $b=\frac{3}{4}>0$, $c=0$, $d=1>0$: có 3 số dương (a, b, d).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c=-1$; tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$ nên $2a+b=0\Rightarrow b=2$ (kiểm tra: giao trục tung $y=b/c=-2$ khớp hình vẽ). Vậy $T=a-3b+2c=-1-6-2=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (khớp với mẫu $x+1$) và tiệm cận ngang $y=-2$.
Viết $y=\frac{ax+b}{x+1}=\frac{a(x+1)+(b-a)}{x+1}=a+\frac{b-a}{x+1}$.
Tiệm cận ngang là $y=a$ nên $a=-2$.
Ta có $y^{\prime }=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}$. Trên hình, cả hai nhánh đều nghịch biến nên $a-b<0\Rightarrow b>a=-2$.
Đồ thị đi qua gốc tọa độ (nhánh phải cắt trục hoành tại $O$): $y(0)=b=0$ (thỏa $b>-2$).
Thử lại: $y=\frac{-2x}{x+1}$, nghịch biến trên mỗi nhánh, TCĐ $x=-1$, TCN $y=-2$, đi qua $(0;0)$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ.
Vậy $a=-2,b=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2c+b=0$; tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$ nên $\frac{2}{b}=-2\Rightarrow b=-1$, suy ra $c=\frac{1}{2}$ và $a=\frac{1}{2}$. Thử lại: $y=\frac{\frac{1}{2}x+2}{\frac{1}{2}x-1}=\frac{x+4}{x-2}$, có TCĐ $x=2$, TCN $y=1$, $y(0)=-2$ khớp đồ thị. Vậy $a=\frac{1}{2},b=-1,c=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=(x+1)+\frac{1}{x+1}$.
a) Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$ → SAI.
b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }<0$ trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ nhưng hàm số không xác định (không liên tục) tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$ → SAI.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$. Tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại với $y=\frac{4-4+2}{-1}=-2$, tức $B(-2;-2)$; tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu với $y=\frac{2}{1}=2$, tức $A(0;2)$. Khớp với khẳng định $A(0;2),B(-2;-2)$ → ĐÚNG.
d) $AB=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$ → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, nhưng hàm không xác định tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$ → SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$. Tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên cực đại với $y=-2$, tức $B(-2;-2)$; tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên cực tiểu với $y=2$, tức $A(0;2)$. Đề cho $A$ là cực tiểu, $B$ là cực đại nên khẳng định ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AB=\sqrt{(0+2{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có hai điểm cực trị tại $(0;2)$ và $(2;-2)$, và đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=3$ (các điểm được đánh dấu trên hình). Vậy $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$. Tại $x=0$: $f(0)=a(1)(-1)(-3)=3a=2\Rightarrow a=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $f(2)=a(3)(1)(-1)=-3a=-2$ ✓. Do đó $S=a+b+c+d=f(1)=a(2)(0)(-2)=0$. Vậy $S=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (đúng với mẫu $x+1$) và tiệm cận ngang $y=a$. Từ hình, tiệm cận ngang nằm trên trục hoành nên $a>0$. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}<0\Rightarrow a-b<0\Rightarrow a<b$. Tại $x=0$, $y=b$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm dương nên $b>0$. Vậy $0<a<b$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=\frac{-(x-1)+1}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$. Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, với $a=-1<0$ nên nhánh với $x>1$ nằm phía trên tiệm cận ngang (giảm dần) và nhánh với $x<1$ nằm dưới $y=-1$. Đồ thị khớp với hình ở phương án D (có ghi các mốc $1$, $-1$, $2$). Các phương án A, B là đồ thị hàm bậc ba, C là đồ thị hàm chứa căn, không phải hyperbol.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục Ox: cho $y=0\Rightarrow \frac{2x-4}{x+1}=0\Rightarrow 2x-4=0\Rightarrow x=2$ (thỏa điều kiện $x\ne -1$). Vậy giao điểm là $(2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=3$, nên tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận $I(1;3)$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-4$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=0$. Vì $y^{\prime \prime }=6x+6$ nên $x=-2$ là điểm cực đại, $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=-4$ (cực tiểu nằm trên trục tung tại điểm $(0;-4)$). Phân tích: $x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2{)}^2$, nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ (nghiệm đơn) và tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (nghiệm kép). Đồ thị đi lên từ $-\infty$, đạt cực đại tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành), xuống cực tiểu $(0;-4)$ rồi đi lên qua $x=1$. Hình 2 khớp: cực đại bên trái trục tung, cực tiểu tại $(0;-4)$, cắt trục hoành tại $x=1$. Hình 4 có cực tiểu bên phải trục tung nên sai; Hình 1 và Hình 3 là đồ thị hàm phân thức. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$, nhánh trái đi xuống từ gần $y=2$ (đi từ trên xuống dưới khi $x$ tăng). Xét $y=\frac{2x-3}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$: có TCĐ $x=2$, TCN $y=2$; với $x<2$ thì $\frac{1}{x-2}<0$ nên nhánh trái nằm dưới tiệm cận ngang và giảm dần (đi xuống), phù hợp hình vẽ. Với $y=\frac{2x-1}{x-2}=2+\frac{3}{x-2}$, nhánh trái nằm trên $y=2$ và tăng dần, không phù hợp. $y=\frac{x^2-3x-1}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$, không có TCN. $y=2x^3+x^2+1$ là hàm bậc ba, không có tiệm cận. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: nhánh trái đi xuống vô cực và nhánh phải đi xuống vô cực (có cực đại bên phải, cực tiểu bên trái) nên $a<0$. Tại $x=0$, đồ thị cắt trục tung dưới gốc $O$ nên $d=y(0)<0$. Đồ thị đi lên qua trục tung (đang tăng) nên $y^{\prime }(0)=c>0$. Vậy $a<0,c>0,d<0$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x+2}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$. a) Trên $(-4,-2)$ và $(-2,0)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó, mệnh đề SAI. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$ (đều thuộc tập xác định), hàm đổi dấu qua hai điểm này nên có hai điểm cực trị: cực đại tại $x=-4$ với $f(-4)=\frac{16-4+2}{-2}=-7$, cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$; mệnh đề ĐÚNG. c) Giá trị cực đại bằng $-7$, tuy nhiên $-7$ chỉ là giá trị cực đại chứ không phải giá trị lớn nhất: vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định, mệnh đề SAI. d) Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, hàm số không có GTLN và GTNN trên tập xác định; mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x(x+4)/(x+2)^2 < 0 trên (-4,-2) và (-2,0), nên hàm không đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=0 tại x=-4 và x=0, hàm đổi dấu qua mỗi điểm nên có hai điểm cực trị (cực đại f(-4)=-7, cực tiểu f(0)=1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số là f(-4)=-7, nhưng -7 chỉ là giá trị cực đại chứ không phải giá trị lớn nhất: khi x→+∞ thì f(x)→+∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định. Mệnh đề SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim f(x) khi x→+∞ là +∞ và khi x→−∞ là −∞, hàm không có GTLN và GTNN trên tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tâm đối xứng là $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên (đường nét đứt) có hệ số góc $1$, cực tiểu tại $(1;3)$, cực đại tại $(-3;-5)$. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$; $y(1)=1+2=3$ (cực tiểu), $y(-3)=-3-2=-5$ (cực đại); TCX $y=x$, TCĐ $x=-1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án A: $2x^2+3x+1=(x+1)(2x+1)$ nên $y=2x+1$ (đường thẳng, không có TCĐ). Phương án C: $y=-x-3+\frac{13}{x+1}$, TCX $y=-x-3$ (hệ số góc âm), không khớp. Phương án D: $y=3x+2-\frac{4}{x+1}$, có $y(1)=3$, $y(-3)=-5$ nhưng TCX là $y=3x+2$ (hệ số góc 3), không khớp đường nét đứt hệ số góc 1. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh (nhánh phải giảm từ $+\infty$ về $1$, nhánh trái giảm từ $1$ về $-\infty$). Xét các phương án: A và B có tiệm cận đứng $x=-1$ (loại); C có $y=\frac{-2x+1}{x-1}$ với tiệm cận ngang $y=-2$ và đồng biến (loại). D: $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn với đồ thị.