Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=-0+0-1=-1$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x<0$ (giá trị dương nhỏ), điểm cực đại tại $x>0$, cắt trục $Oy$ tại điểm dương và cắt trục $Ox$ tại $x\approx 2$. Xét $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x+1$: có $y^{\prime }=-x^2+1=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực tiểu với giá trị $y=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}>0$ (cực tiểu nằm bên trái trục $Oy$, phía trên trục hoành), tại $x=1$ đạt cực đại với $y=-\frac{1}{3}+1+1=\frac{5}{3}$ (bên phải trục $Oy$). Nghiệm của $-\frac{x^3}{3}+x+1=0$ tức $x^3-3x-3=0$ là $x\approx 2,1>0$, khớp với đồ thị. Các phương án khác: $y=-x^3+3x^2-1$ có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1<0$) và cực đại tại $x=2$; $y=x^3-3x^2+1$ có cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$; $y=x^3-2x+1$ có cực đại tại $x=-\sqrt{2/3}$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{2/3}$ — đều không khớp. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba (có 2 điểm cực trị), hệ số của $x^3$ âm vì đồ thị đi lên ở bên trái và đi xuống ở bên phải. Loại B, C (hàm phân thức, có tiệm cận). So sánh A và D: cả hai đều có $y(0)=-1$ khớp giao điểm với trục tung. Với $y=x^3-3x-1$ (D), hệ số $x^3$ dương nên đồ thị đi lên khi $x\to +\infty$, trái với hình. Với $y=-x^3+3x-1$ (A): $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực tiểu $y=-3$, tại $x=1$ đạt cực đại $y=1$, đồ thị đi xuống khi $x\to +\infty$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8 (Phần I): Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi từ $+\infty$ (khi $x\to -\infty$) xuống $-\infty$ (khi $x\to +\infty$), có một điểm cực tiểu ở dưới trục hoành (bên trái) và một điểm cực đại ở trên trục hoành (bên phải), cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (gần $-1$).
- A. $y=-x^3+3x-1$: hệ số $a=-1<0$ nên $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$; $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$ (hai cực trị); $y(0)=-1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.
- B. $y=\frac{x-1}{x+2}$ và C. $y=\frac{-x^2+2x+3}{x-5}$: hàm phân thức, có tiệm cận, không phải đường cong bậc ba như hình, loại.
- D. $y=x^3-3x-1$: khi $x\to -\infty$, $y\to -\infty$ (ngược với hình), loại.
Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, và đi qua điểm $(0;-2)$. Xét $y=\frac{-x-2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; vì bậc tử bằng bậc mẫu với hệ số $-1/1=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$; tại $x=0$ có $y=\frac{-2}{1}=-2$. Ngoài ra $y=0\iff x=-2$ khớp với đồ thị cắt trục hoành tại $-2$. Tất cả khớp với hình vẽ, nên đáp án là B. (A có tiệm cận đứng $x=1$; C có $y(0)=-2$, tiệm cận ngang $y=1$; D có tiệm cận đứng $x=1$ — đều loại.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$). Nhánh phải đi qua $(0;2)$, nhánh trái có điểm 'đỉnh' $(-2;-2)$.

a) Sai. Trên $(-2;0)$ hàm số không xác định tại $x=-1$ (TCĐ), và nhánh trái có cực đại tại $x=-2$ nên hàm không nghịch biến trên khoảng này.
b) Đúng. Đồ thị tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của TCĐ và TCX: $I(-1;0)$.
d) Đúng. Đồ thị tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$ (hệ số góc 1, đi qua $(0;1)$ và $(-1;0)$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ thuộc khoảng $(-2;0)$, hơn nữa nhánh trái đạt cực đại tại $x=-2$ nên hàm không nghịch biến trên $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x+1$, tức $I(-1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tiệm cận xiên trong hình là đường thẳng qua $(0;1)$ và $(-1;0)$, có phương trình $y=x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x-1}{x+m}=1-\frac{m+1}{x+m}$ (với $m\ne -1$). Đồ thị $(C)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=-m$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên tâm đối xứng của $(C)$ là $(-m;1)$. Để tâm đối xứng là $I(2;1)$ thì $-m=2\iff m=-2$ (thỏa mãn $m\ne -1$). Vậy $m=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong bậc ba đi lên từ trái sang phải, có cực đại tại $x<0$, cực tiểu tại $x>0$, và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B $y=-x^3+3x+1$ có hệ số $a<0$ nên đi xuống từ trái, cực đại bên phải, sai; A là parabol bậc hai; C là hàm trùng phương dạng W. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở đầu trang 14 (Câu 41) là đồ thị hàm bậc ba đi lên từ trái, giảm xuống đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ âm (dưới trục hoành), tăng lên đạt cực đại tại điểm có hoành độ dương, rồi giảm; đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=-6x$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1<0$ và cực đại tại $x=1$ với $y(1)=3>0$; $y(0)=1>0$. Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=x^3-3x+1$ (C) có cực đại bên trái, cực tiểu bên phải (ngược hình); các hàm trùng phương A và D có đồ thị đối xứng qua trục tung, không khớp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm đạt cực đại tại điểm $(0;5)$, đi qua điểm $(1;3)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;1)$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: có $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$; đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ cho cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, đúng như hình vẽ. Các phương án khác: A có $y(1)=7$; B có $y(0)=5$ nhưng $y(1)=1$, $y(2)=-3$; D có $y(1)=3$, $y(2)=7$ và cực trị tại $x=\pm 1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x^3+3x^2-4$ có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Tại $x=-2$: $y=-8+12-4=0$ (cực đại, điểm $(-2;0)$ trên trục hoành); tại $x=0$: $y=-4$ (cực tiểu, điểm $(0;-4)$ trên trục tung). Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, có nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn) và $x=-2$ (nghiệm kép). Đồ thị đúng phải có cực đại tại $(-2;0)$ và cực tiểu tại $(0;-4)$, tăng - giảm - tăng: đây là hình A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi nhánh. Với $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, nên đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$. Nhánh bên trái $x=1$ nằm trên tiệm cận $y=1$, đi qua $(0;2)$ và tăng dần lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$; nhánh bên phải tăng dần từ $-\infty$ tiến tới tiệm cận ngang $y=1$. Hình A thể hiện đúng các đặc điểm này (điểm $(0;2)$ được đánh dấu trên nhánh trái, hai đường tiệm cận $x=1$, $y=1$). Các hình B, C, D có dạng nghịch biến hoặc giá trị tại điểm mốc không phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$. Trên khoảng $(-\infty ;1)$: khi $x\to -\infty$, $y\to 1^{+}$... thực tế $y-1=\frac{3}{x-1}<0$ nên nhánh trái nằm dưới đường $y=1$, cắt trục hoành tại $x=-2$, cắt trục tung tại $y=-2$, và khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$. Trên khoảng $(1;+\infty )$: $y>1$, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ và giảm dần về $1$. Đồ thị gồm hai nhánh: nhánh trái đi từ gần $y=1$ xuống $-\infty$ (đi qua điểm $(-2;0)$ và $(0;-2)$), nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống gần $y=1$. Hình đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=0$, không có tiệm cận ngang (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ là $\pm \infty$). Xét $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$: có $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1<0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$. Khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A, B có tiệm cận đứng $x=-1$ và có tiệm cận ngang, không phù hợp; phương án D có $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}>0$ (đồng biến) và có tiệm cận ngang $y=x$, cũng không phù hợp. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có: tiệm cận đứng $x=-1$, cực đại tại $x=-3$ với $y=-4$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=4$; trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $-4$ rồi giảm về $-\infty$, trên $(-1;+\infty )$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $4$ rồi tăng lên $+\infty$. Xét $y=\frac{x^2+2x+5}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}$, có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. Tại $x=-3$: $y=\frac{9-6+5}{-2}=-4$ (cực đại, vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$). Tại $x=1$: $y=\frac{1+2+5}{2}=4$ (cực tiểu, vì $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>1$). Khi $x\to (-1{)}^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ phù hợp nhánh trái đi xuống $-\infty$ và nhánh phải đi xuống từ $+\infty$. Các phương án A, B có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2+2x-2}{(x+1{)}^2}$ (A) hoặc $y^{\prime }=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ (B) cho cực trị tại các điểm khác, và C có tiệm cận đứng $x=0$, đều không khớp bảng biến thiên. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số liên tục trên ℝ, đồng biến trên toàn bộ ℝ (y' > 0 với mọi x) và giới hạn khi x → −∞ là −∞, khi x → +∞ là +∞.
- A: y = x² + 2x + 1 là parabol, không đồng biến trên toàn ℝ → loại.
- B: y = (x²+1)/(x+2) có điểm gián đoạn tại x = −2, không liên tục trên ℝ → loại.
- C: y = x³ + x² + 2x − 5 có y' = 3x² + 2x + 2 với Δ = 4 − 24 = −20 < 0 nên y' > 0 với mọi x; hàm đồng biến trên ℝ và lim(x→−∞) y = −∞, lim(x→+∞) y = +∞ → khớp bảng biến thiên.
- D: y = (x+1)/(x+2) có y' = 1/(x+2)² > 0 nhưng không xác định tại x = −2 và giới hạn tiến tới 1, không phải −∞/+∞ → loại.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x+6}{5x-8}$.
a) Sai. Hàm số xác định khi $5x-8\ne 0\iff x\ne \frac{8}{5}$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{8}{5}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-6\}$.
b) Đúng. $y^{\prime }=\frac{(5x-8)-5(x+6)}{(5x-8{)}^2}=\frac{-38}{(5x-8{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{8}{5}$, nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.
c) Đúng. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+6}{5x-8}=\frac{1}{5}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.
d) Đúng. Trên đoạn $[2;3]$ (không chứa $\frac{8}{5}$), hàm số nghịch biến nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{2+6}{10-8}=\frac{8}{2}=4$. Kiểm tra $y(3)=\frac{9}{7}\approx 1,29<4$. Vậy GTLN trên $[2;3]$ bằng $4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{8}{5}\right\}$ vì mẫu số $5x-8=0$ khi $x=\frac{8}{5}$, không phải $x=-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-38}{(5x-8{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{8}{5}$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+6}{5x-8}=\frac{1}{5}$ nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[2;3]$ nên GTLN tại $x=2$: $y(2)=\frac{8}{2}=4$; $y(3)=\frac{9}{7}<4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên (trang 19): hàm số có tiệm cận đứng $x=1$; đạt cực đại $y=-5$ tại $x=-1$; đạt cực tiểu $y=3$ tại $x=3$; khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$.
a) Sai: do mẫu số $dx+e=0$ tại $x=1$ (tiệm cận đứng), tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) Đúng: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
c) Đúng: khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên).
d) Đúng: trên $(1;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $(1;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=3$ với $y_{\min }=3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu số bằng 0 tại x=1 (tiệm cận đứng), tập xác định là D=R\{1}, không phải R.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
y'>0 trên (-∞;-1) và y'>0 trên (3;+∞) nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khi x→-∞ thì y→-∞ và khi x→+∞ thì y→+∞, nên đồ thị không có tiệm cận ngang (có tiệm cận xiên).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên (1;+∞) hàm số nghịch biến trên (1;3), đồng biến trên (3;+∞), nên GTNN đạt tại x=3 với giá trị y=3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;+\infty )$; hàm số gián đoạn tại $x=1$ với ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$; $f(-1)=1$ (cực tiểu), $f(3)=-2$ (cực đại).

a) Sai. $-1$ và $3$ là hai điểm cực trị (hoành độ cực trị); giá trị cực trị là $f(-1)=1$ (cực tiểu) và $f(3)=-2$ (cực đại).

b) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.

c) Sai. Trên $(-1;3)$ hàm số gián đoạn tại $x=1$ (đồng biến riêng trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;3)$).

d) Sai. Trên nhánh trái, $f(x)\ge 1>0$ nên không cắt trục hoành; trên nhánh phải, $f(x)\le -2<0$ nên cũng không cắt trục hoành. Vậy đồ thị không cắt trục hoành tại điểm nào (0 điểm).
a) (AI giải đề cho tôi)
$-1$ và $3$ là điểm cực trị; giá trị cực trị là $1$ và $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại $x=1$ với giới hạn trái $+\infty$, phải $-\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại $x=1$ nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh trái có min $=1>0$, nhánh phải có max $=-2<0$ nên đồ thị không cắt trục hoành.