Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{3x-1}\to 0$, nên $y\to 2x+1$. Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x+1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm hữu tỉ có tiệm cận xiên khi bậc tử số cao hơn bậc mẫu số đúng 1 đơn vị. A: bậc tử (1) < bậc mẫu (2) → có tiệm cận ngang $y=0$. B: bậc bằng nhau → tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. D: bậc tử (0) < bậc mẫu (1) → tiệm cận ngang $y=0$. C: $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có bậc tử (2) cao hơn bậc mẫu (1) đúng 1 đơn vị, chia đa thức: $x^2+3x-2=(x+3)x-2$, nên $y=x-\frac{2}{x+3}$, do đó đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$ (và tiệm cận đứng $x=-3$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3-3x-2}{x^2+3x+2}$. Mẫu số: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, nên hàm số xác định khi $x\ne -1,x\ne -2$. Tử số: $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$.
- Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}y={\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1{)}^2(x-2)}{(x+1)(x+2)}={\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-2)}{x+2}=\frac{0\cdot (-3)}{1}=0$, hữu hạn nên $x=-1$ KHÔNG là tiệm cận đứng (điểm rút gọn).
- Tại $x=-2$: tử số bằng $(-2{)}^3-3(-2)-2=-8+6-2=-4\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{1-2x}{1+x}$: bậc tử = bậc mẫu nên có 1 tiệm cận đứng $x=-1$ và 1 tiệm cận ngang $y=-2$ → 2 tiệm cận.
- B: $y=\frac{1}{4-x^2}$: mẫu $=0$ tại $x=\pm 2$ cho 2 tiệm cận đứng $x=2$, $x=-2$; bậc tử < bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=0$ → tổng cộng 3 tiệm cận.
- C: $y=\frac{x+3}{5x-1}$: 1 tiệm cận đứng $x=\frac{1}{5}$ và 1 tiệm cận ngang $y=\frac{1}{5}$ → 2 tiệm cận.
- D: $y=\frac{x}{x^2-x+9}$: mẫu vô nghiệm thực ($\Delta <0$) nên không có tiệm cận đứng; chỉ có tiệm cận ngang $y=0$ → 1 tiệm cận.
Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là hàm số ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng. B) $y=\frac{2}{\sqrt{x}}$ xác định khi $x>0$; khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. C) $x^2-x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =-7<0$) nên không có tiệm cận đứng. D) $x^4+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: nhánh trái và nhánh phải của đồ thị đều tiến gần đến đường nét đứt đi qua điểm $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$; vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ → A đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng là trục $Oy$, tức $x=0$ (không phải $x=1$) → B sai. Khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to \pm \infty$ theo đường xiên nên không có tiệm cận ngang $y=0$ → C sai. Đồ thị có tiệm cận nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường đứt nét dọc) và hai nhánh tiến về đường ngang $y=-1$ khi $x\to \pm \infty$ (đường đứt nét ngang tại $y=-1$). Vậy tiệm cận ngang là $y=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (còn ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3$ hữu hạn, không tạo tiệm cận đứng). Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên có hai tiệm cận ngang $y=0$ và $y=5$. Tổng: $1+2=3$ đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (chỉ cần một phía tiến tới vô cực). Khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số không xác định tại $x=-2$ và $x=0$ (các cột kép). Tại $x=-2$, $y\to -\infty$ (một bên) nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Vậy có 2 tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $y\to 0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang (khoảng $(-\infty ,-2)$ bị tô xám, không cho thêm tiệm cận). Tổng cộng: 2 tiệm cận đứng + 1 tiệm cận ngang = 3 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$. a) TCĐ là $x=-1$ (mẫu bằng 0), không phải $x=1$ → Sai. b) $g(x)=2f(x)=2-\frac{6}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to 2$ nên TCN là $y=2$ → Đúng. c) $g(0)=2f(0)=2\cdot (-2)=-4$, giao điểm với trục tung là $A(0;-4)$ → Đúng. d) Tâm đối xứng của $(C)$ là $I(-1;1)$. Điểm $B(x;y)\in (C)$ với $x$ nguyên dương, $y$ nguyên: $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$; với $x>0$ chỉ có $x+1=3\Rightarrow x=2,y=0$, tức $B(2;0)$. Khoảng cách $BI=\sqrt{(2+1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=2-\frac{6}{x+1}\to 2$ khi $x\to \pm \infty$, nên TCN là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(0)=2f(0)=2\cdot \frac{-2}{1}=-4$, nên giao điểm là $A(0;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng $I(-1;1)$. Với $x$ nguyên dương và $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên, chỉ có $x=2,y=0$, tức $B(2;0)$; $BI=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Sai: điều kiện $x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$ nên $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x+2$.
c) Đúng: ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) Đúng: tâm đối xứng của đồ thị hàm $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định $x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+2+\frac{1}{x+2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{\pm }$ thì $f(x)\to +\infty$ (bên trái) và $f(x)\to -\infty$ (bên phải), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ (không phải $x=-1$). Vậy tổng số tiệm cận là 2 (một đứng, một ngang). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ (vì $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to 2$), nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y=-1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-1$), không phải $x=-1$; $x=-1$ không phải tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 tiệm cận đứng $x=2$ và 1 tiệm cận ngang $y=-1$, tổng cộng 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$; khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to 2$; tại $x=1$ hàm số không xác định (nhánh phải giới hạn bởi $4$); trên $(1;2)$ hàm giảm từ $4$ xuống $-1$, trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ đến $6$ khi $x\to +\infty$.
a) Khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to 2$ và giới hạn phải là $4$ (hữu hạn), nên $x=1$ KHÔNG là tiệm cận đứng → Sai.
b) Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=6$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=6$ → Đúng.
c) Đồ thị chỉ có đúng 1 tiệm cận ngang $y=6$, không có tiệm cận đứng (các giới hạn tại $\pm \infty$ và $x=1$ đều hữu hạn hoặc $-\infty$ không tạo TCĐ) → tổng số tiệm cận là 1, không phải 2 → Sai.
d) Xét $y=\frac{1}{f(x)+2}$: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ nên $y\to 0$ (TCN $y=0$); khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 6$ nên $y\to \frac{1}{8}$ (TCN $y=\frac{1}{8}$). Vậy có 2 tiệm cận ngang, không phải 1 → Sai. (Ngoài ra $f(x)=-2$ có nghiệm trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ nên còn có 3 tiệm cận đứng.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tại $x=1$ bằng $2$ và giới hạn phải bằng $4$ đều hữu hạn, nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=6$ nên $y=6$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ có 1 tiệm cận (ngang $y=6$), không có tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{1}{f(x)+2}$ có 2 tiệm cận ngang: $y=0$ (khi $x\to -\infty$) và $y=\frac{1}{8}$ (khi $x\to +\infty$), nên khẳng định 'chỉ có 1 đường tiệm cận ngang' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -9$, $x\ne 0$, $x\ne -1$. Xét $x=0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\frac{1}{6}$, nên $x=0$ không phải tiệm cận đứng. Xét $x=-1$: $\sqrt{x+9}-3\to \sqrt{8}-3\ne 0$ còn mẫu $\to 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$. Vậy đồ thị có đúng $1$ tiệm cận đứng là $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$ là $D=(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.
- Khi $x\to +\infty$: $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}\to 1$, nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to -1$, nên $y=-1$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to 1^{+}$: $f(x)\to +\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
- Khi $x\to -1^{-}$: $f(x)\to +\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có tất cả $4$ tiệm cận (2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{a{x}^2+bx+2025}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{2025-2(b-2a)}{x+2}$. Tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)=x+4$, suy ra $a=1$ và $b-2a=4\Rightarrow b=6$. Vậy $P=a^2+b^2=1+36=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+2025}{x-2}=x-3+\frac{2019}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2019}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x+1}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$, nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang (không phải tiệm cận đứng). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $b=-1$; tiệm cận ngang là $y=2$ nên $a=2$. Thử lại: $y=\frac{2x+1}{x+1}$, tại $x=0$ có $y=1$ khớp với đồ thị (đồ thị đi qua điểm $(0;1)$). Vậy $a=2$, $b=-1$.