Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng (1 đường). Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -1$ nên $y=-1$ là tiệm cận ngang (2 đường). Tổng: $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên $x=1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{2}{1}=2$ nên $y=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+2x-3=(x-2)(x+4)+5$, nên $y=\frac{x^2+2x-3}{x-2}=x+4+\frac{5}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-2}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x+4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x+3}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$: hai tiệm cận. B) $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x$ (vì $x^2+3x-2=(x+3)x-2$): hai tiệm cận. C) $y=\frac{4}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=0$: hai tiệm cận. D) $y=\frac{2x}{x^2+1}$: mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$: đúng một tiệm cận. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phân thức: $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{10}{x+2}$.
- a) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$, tức hai đường tiệm cận.
- b) Đúng: giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $(-2;-6)$.
- c) Sai: khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
- d) Đúng: với $x=0$, $y=x-4=-4$, nên tiệm cận xiên đi qua $M(0;-4)$.
a) $y=x-4+\frac{10}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$ và TCX $y=x-4$, tổng cộng 2 tiệm cận.
b) Giao của $x=-2$ và $y=x-4$: $y=-6$, tức $I(-2;-6)$.
c) $d(O,y=x-4)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, không bằng $4\sqrt{2}$.
d) TCX $y=x-4$ tại $x=0$ cho $y=-4$, nên đi qua $M(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -25$, $x\ne 0$, $x\ne -1$. Rút gọn: $\sqrt{x+25}-5=\frac{x}{\sqrt{x+25}+5}$, nên $y=\frac{1}{(\sqrt{x+25}+5)(x+1)}$ với $x\ne 0$. Tại $x=0$: $\lim y=\frac{1}{10\cdot 1}=\frac{1}{10}$ (điểm gián đoạn removable, không phải tiệm cận). Tại $x=-1$: $y\to \pm \infty$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$. Khi $x\to \pm \infty$: $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ (đã có), tiệm cận ngang $y=a=-1$ (đường tiệm cận ngang tại $y=-1$). Đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$ nên $y(2)=2a-b=0\Rightarrow b=2a=-2$. Kiểm tra giao trục tung: $y(0)=b=-2$ khớp hình vẽ. Vậy $a=-1$, $b=-2$, $a+b=-3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $a{x}^2+bx+c=(x-1)(ax+a+b)+(a+b+c)$, nên $f(x)=ax+(a+b)+\frac{a+b+c}{x-1}$. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=ax+(a+b)$, tức $m=a$, $n=a+b$.

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ và $x=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=a-\frac{a+b+c}{(x-1{)}^2}$; tại $x=-1$ và $x=3$ (cách đều $x=1$ khoảng 2 đơn vị) thì $(x-1{)}^2=4=\frac{a+b+c}{a}$, suy ra $a+b+c=4a$, tức $b+c=3a$.

Giá trị cực đại: $f(-1)=-a+(a+b)-\frac{a+b+c}{2}=b-2a=-1$.
Giá trị cực tiểu: $f(3)=3a+(a+b)+\frac{a+b+c}{2}=6a+b=7$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}b-2a=-1\\ 6a+b=7\end{array}\Rightarrow 8a=8\Rightarrow a=1$, $b=1$, $c=3a-b=2$.
Kiểm tra: $f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}=x+2+\frac{4}{x-1}$; $f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$ ✓, $f(3)=\frac{14}{2}=7$ ✓.

Vậy $m=a=1$, $n=a+b=2$, do đó $S=m+n=3$. Chọn đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-5}{3-x}$. Xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-5}{3-x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2-\frac{5}{x}}{\frac{3}{x}-1}=-2$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-2$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5x-2}{x+3}=\frac{5}{1}=5$. Vậy tiệm cận ngang là $y=5$, chọn C. Đường $x=-3$ là tiệm cận đứng, không phải ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+4}{2x-6}$ xác định khi $2x-6\ne 0$, tức $x\ne 3$. Tại $x=3$, mẫu số bằng 0 trong khi tử số $3+4=7\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x+5}{x-1}=\frac{2(x-1)+7}{x-1}=2+\frac{7}{x-1}$. Đồ thị hàm số bậc nhất trên một có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tâm đối xứng là $I(1;2)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng $x=-1$ (đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1$) và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x=-1$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-2$, nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$: khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=3$. Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to -2$ và khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to -2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-2$. Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=3$ và $y=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to 0^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (1 đường). Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Tổng: $1+1=2$ đường. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-2}\to 0$ nên $y=2x+3-\frac{5}{x-2}\to 2x+3$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x+3$, chọn C. (Lưu ý $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải xiên.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x^2+2x-5}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2-6}{x+1}=x+1-\frac{6}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-7x+1}{x-2}=3x-1-\frac{1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=3x-1$, tức $a=3,b=-1$. Vậy $a-b=3-(-1)=4$. Đáp án B.