Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x^2+3x+2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Tại $x=-1$: mẫu bằng 0, tử bằng $-(-1{)}^2+3(-1)+2=-2\ne 0$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Phép chia: $-x^2+3x+2=(-x+4)(x+1)-2$, do đó $y=-x+4-\frac{2}{x+1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(-x+4)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-2}{x+1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=-x+4$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là $1+1=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0,\forall x\ne 2$ → đúng.
b) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng → đúng.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$, không phải $y=-2$ → sai.
d) Hai tiệm cận $x=2$, $y=2$ cắt nhau tại $I(2;2)$ là tâm đối xứng của (C); $OI=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{2x+1}{x-2}=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-2}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$, không phải $y=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giao hai tiệm cận $x=2$ và $y=2$ là $I(2;2)$, tâm đối xứng của (C); $OI=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$; chia đa thức: $x^2-3x+6=(x-1)(x-2)+4$ nên $f(x)=x-2+\frac{4}{x-1}$.
a) Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$; $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ → đúng.
b) ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng → đúng.
c) Bậc tử cao hơn bậc mẫu 1 đơn vị nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang → khẳng định sai.
d) Tiệm cận xiên là $y=x-2$; tại $x=3$ có $y=3-2=1$ nên đi qua $M(3;1)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ và $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ (do $f(x)=x-2+\frac{4}{x-1}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bậc tử cao hơn bậc mẫu 1 đơn vị, đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tiệm cận xiên là $y=x-2$; thay $x=3$ được $y=1$, nên đường thẳng đi qua $M(3;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2-x+3}{x-1}=2x+1+\frac{4}{x-1}$. Tiệm cận đứng: $x=1$. Tiệm cận xiên: $y=2x+1$. Giao điểm $I(1;3)$ nên $P=2\cdot 1+3\cdot 3=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+8}{x+1}=x-6+\frac{14}{x+1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-6$. Đường thẳng này cắt $Ox$ tại $(6;0)$ và $Oy$ tại $(0;-6)$, tạo tam giác vuông với hai trục có hai cạnh góc vuông bằng $6$ và $6$. Diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $2x+d=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow d=4$. Tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{2}=3\Rightarrow a=6$. Đồ thị đi qua $(-1;7)$: $\frac{-6+b}{-2+4}=7\Rightarrow b-6=14\Rightarrow b=20$. Khi đó $\frac{2a+3b+d+8}{14}=\frac{12+60+4+8}{14}=\frac{84}{14}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Tại $x=-1$, hàm số đạt cực tiểu với $f(-1)=1$ (giá trị hữu hạn), nên $x=-1$ không phải tiệm cận đứng. Khi $x\to 2^{-}$, $f(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (bên phải $x=2$, $f(2^{+})=-2$ hữu hạn nên không phải tiệm cận). Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $1+1=2$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+3}{x+1}=x-3+\frac{6}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-3x-10}{3x-2}$ có bậc tử bằng bậc mẫu, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{-3}{3}=-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử và bậc mẫu bằng nhau (đều bậc 2), tiệm cận ngang là $y=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Khi $x\to +\infty$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{5}{4x^2}}}{x(3-\frac{6}{x})}=\frac{2}{3}$, nên $y=\frac{2}{3}$ là một tiệm cận ngang. Khi $x\to -\infty$: do $\sqrt{4x^2}=|x|=-x$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}=-\frac{2}{3}$, tức $y=-\frac{2}{3}$ cũng là một tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$ và $y=-\frac{2}{3}$; theo đáp án chuẩn của đề, chọn phương án A ($y=\frac{2}{3}$). Lưu ý: về mặt toán học phương án D ($y=-\frac{2}{3}$) cũng là một tiệm cận ngang của đồ thị, nhưng đáp án khóa của đề là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{6x-3}{x-2}$ xác định khi $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$. Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{6x-3}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{6x-3}{x-2}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. (Ngoài ra tiệm cận ngang là $y=6$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-4}{-3x-3}$ xác định khi $-3x-3\ne 0\iff x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{3x-4}{-3x-3}=+\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-54x^2-33x+6}{6x+5}$ xác định khi $6x+5\ne 0$, tức $x\ne -\frac{5}{6}$. Tại $x=-\frac{5}{6}$: mẫu số bằng 0, trong khi tử số $-54\cdot \frac{25}{36}-33\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)+6=-\frac{75}{2}+\frac{55}{2}+6=-10+6=-4\ne 0$. Do đó ${\lim }_{x\to -{\frac{5}{6}}^{\pm }}y=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{5}{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$ và $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=+\infty$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x=0$ và $x=1$. Các dữ kiện không cho biết gì về giới hạn khi $x\to \pm \infty$ nên không kết luận được về tiệm cận ngang; do đó B, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên khoảng $(-\infty ;-3)$, hàm số giảm từ $-1$ xuống $-\infty$, tức ${\lim }_{x\to (-3{)}^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Trên khoảng $(-3;+\infty )$, hàm số giảm từ $-1$ xuống $-2$ (giới hạn hữu hạn tại hai đầu), không tạo ra tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng $1$ đường tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{6}{4x+5}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-2x-1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-6x^2-x+17}{2x+3}=-3x+4+\frac{5}{2x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{2x+3}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=-3x+4=4-3x$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của $y=-3x-2+\frac{1}{x-4}$ là $y=-3x-2$ (vì $\frac{1}{x-4}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$). Thay $x=-4$: $y=-3(-4)-2=12-2=10$. Vậy điểm $(-4;10)$ thuộc tiệm cận xiên, chọn C. Kiểm tra: $(-3;10)$ cho $y=9-2=7\ne 10$; $(-4;9)$ và $(-4;11)$ sai vì $y=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{4-3x}{2x+4}$ có mẫu $2x+4=0\iff x=-2$, nên tiệm cận đứng là $x=-2$ (khẳng định a sai vì nói $x=2$). Vì bậc tử < bậc mẫu, tiệm cận ngang là $y=\frac{-3}{2}=\frac{-3}{2}$, đúng (b đúng). Giao hai tiệm cận là $I(-2;-\frac{3}{2})$ (c đúng). Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-2$, $y=-\frac{3}{2}$ và hai trục có diện tích $|-2|\cdot |-\frac{3}{2}|=3\ne \frac{3}{2}$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $2x+4=0\iff x=-2$, nên tiệm cận đứng là $x=-2$, không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y=\frac{-3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=-\frac{3}{2}$ là $I(-2;-\frac{3}{2})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $=|-2|\cdot |-\frac{3}{2}|=3\ne \frac{3}{2}$.