Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại: y=(2x²+3x−1)/(x+2)=2x−1+1/(x+2) vì (2x−1)(x+2)=2x²+3x−2. a) Đúng: mẫu khác 0 nên D=ℝ\{−2}. b) Sai: tiệm cận đứng là x=−2 (đường thẳng đứng), không phải y=−2. c) Sai: khi x→±∞, y→2x−1, nên tiệm cận xiên là y=2x−1, không phải y=2x. d) Sai: đường y=2x−1 cắt Oy tại (0;−1) và Ox tại (1/2;0), diện tích tam giác OAB = ½·(1/2)·1 = 1/4 ≠ 9/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x+2≠0, tức D=ℝ\{−2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng đứng x=−2, không phải y=−2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=2x−1+1/(x+2), nên tiệm cận xiên là y=2x−1, không phải y=2x.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên y=2x−1 cắt Oy tại (0;−1), Ox tại (1/2;0); diện tích tam giác OAB = ½·(1/2)·1 = 1/4 ≠ 9/4.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x^2-3x+5}{x+3}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Phép chia: $-x^2-3x+5=(x+3)(-x)+5$, nên $y=-x+\frac{5}{x+3}$. a) Tại $x=-3$ mẫu bằng 0, tử $=-9+9+5=5\ne 0$ nên tiệm cận đứng là $x=-3$: Đúng. b) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(-x)\right)=\lim \frac{5}{x+3}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-x$: Đúng. c) Tính trực tiếp: $y^{\prime }=\frac{(-2x-3)(x+3)-(-x^2-3x+5)}{(x+3{)}^2}=\frac{-2x^2-9x-9+x^2+3x-5}{(x+3{)}^2}=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}\ne \frac{-x^2+6x+4}{(x+3{)}^2}$: Sai. d) $y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$, $\Delta =36-56=-20<0$ nên vô nghiệm: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu triệt tiêu tại $x=-3$, tử tại đó bằng 5 khác 0, nên TCĐ là $x=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x+\frac{5}{x+3}$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }(y+x)=0$ nên TCX là $y=-x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$ có $\Delta =-20<0$, vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-7x-24}{x+3}$. Tại $x=-3$: tử số $=9+21-24=6\ne 0$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Chia đa thức: $x^2-7x-24=(x+3)(x-10)+6$, nên $y=x-10+\frac{6}{x+3}$, suy ra tiệm cận xiên $y=x-10$. Giao điểm hai tiệm cận: $x=-3$, $y=-3-10=-13$, tức $I(-3;-13)$. Vậy $5m+6n=5(-3)+6(-13)=-15-78=-93$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-4}{x+4}$ xác định khi $x+4\ne 0$, tức $x\ne -4$. Ta có ${\lim }_{x\to -4^{+}}\frac{3x-4}{x+4}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -4^{-}}\frac{3x-4}{x+4}=-\infty$, nên đường thẳng $x=-4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ (hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ khi $x$ đi từ $1$ đến $+\infty$). Vậy ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sqrt{3}x-3}{x-1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số, nên tiệm cận ngang là $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{\sqrt{3}x-3}{x-1}=\sqrt{3}$. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=a$ khi ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$. Vì ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\pm \infty$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\pm \infty$ nên đồ thị có hai tiệm cận đứng là $x=-2$ và $x=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -1$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ (một tiệm cận ngang). Tại $x=-2$, $f(x)\to -\infty$ (bên trái) và $f(x)\to +\infty$ (bên phải) nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận: $1$ tiệm cận đứng $x=-2$ cộng $1$ tiệm cận ngang $y=-1$ là $2$... tuy nhiên xét cả hai phía: tiệm cận ngang $y=-1$ chỉ tính một đường thẳng, tiệm cận đứng $x=-2$ một đường thẳng, tổng cộng $2$ tiệm cận. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của $y=2x+1-\frac{5}{x+4}$ khi $x\to \pm \infty$ là $y=2x+1$. Cắt trục hoành: $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$, nên điểm là $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $y=\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+2}{x-1}$ với điều kiện $x\ne \pm 1$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$. a) Tại $x=1$: mẫu của phân thức rút gọn bằng 0, tử khác 0, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x+2}{x-1}=\pm \infty$; đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng. Đúng. b) Bậc tử bằng bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$; đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang. Đúng. c) Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$ (hữu hạn), nên $x=-1$ chỉ là điểm đứt (đồ thị có lỗ), không phải tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng ($x=1$) và 1 tiệm cận ngang ($y=1$). Sai. d) Đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận: $x=1$ và $y=1$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi rút gọn $y=\frac{x+2}{x-1}$, tại $x=1$ hàm số tiến ra vô cực nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$ hàm số có giới hạn hữu hạn $-\frac{1}{2}$ (điểm đứt), nên chỉ có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 đường tiệm cận: đứng $x=1$ và ngang $y=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(1;3)$, cực tiểu tại $(-1;-1)$ và đi qua điểm $(0;1)$.

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=\pm 1$, nên $b=0$ và $c=-3a$.

Từ $f(0)=d=1$; $f(1)=a-3a+1=-2a+1=3\Rightarrow a=-1$; kiểm tra $f(-1)=2a+1=-1$ đúng.

Vậy $f(x)=-x^3+3x+1$, nên $f(x)-1=-x^3+3x=-x(x^2-3)$, có 3 nghiệm phân biệt $x=0,x=\pm \sqrt{3}$.

Tử số $x^2-1=0$ tại $x=\pm 1$, không trùng với các nghiệm của mẫu. Do đó mẫu triệt tiêu tại 3 điểm mà tử số khác 0, đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-1}{f(x)-1}$ có 3 đường tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{(2m-1)x+3}{x-2024}$ có tiệm cận ngang $y=2m-1$ (tỉ số của hệ số cao nhất của tử và mẫu). Để tiệm cận ngang đi qua điểm $M(1;2)$ thì $2m-1=2$, suy ra $m=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+2}{x+4}=x-7+\frac{30}{x+4}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{30}{x+4}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-7$, tức $a=1$, $b=-7$. Vậy $2a+3b=2(1)+3(-7)=2-21=-19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$ (do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x-2}=2$). Đường $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ xác định khi $x\ne \pm 1$. Phân tích: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+1)}={\lim }_{x\to 1}\frac{x+3}{x+1}=2$, nên $x=1$ chỉ là điểm khuyết (không phải tiệm cận đứng). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+3}{x+1}$ không tồn tại (tiệm cận vô cực), nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng $1$ tiệm cận đứng, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{-x^2-2x}{x+1}=\frac{(-x-1)(x+1)+1}{x+1}=-x-1+\frac{1}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-x-1$, tức $a=-1$, $b=-1$. Do đó $a^2+2b=1+2(-1)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Với $M(x_0;y_0)\in (C)$, $x_0>0$: khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng là $d_1=x_0+1$; khoảng cách đến tiệm cận ngang là $d_2=|y_0-2|=\left|\frac{1}{x_0+1}\right|=\frac{1}{x_0+1}$ (vì $x_0>0$ nên $x_0+1>0$). Theo giả thiết $d_1=9d_2$: $x_0+1=\frac{9}{x_0+1}\Rightarrow (x_0+1{)}^2=9\Rightarrow x_0+1=3$ (do $x_0>0$) $\Rightarrow x_0=2$. Khi đó $y_0=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $x_0+3y_0=2+3\cdot \frac{5}{3}=2+5=7$.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ 2-\sqrt{f(x)}\ne 0\end{array}$

Xét tiệm cận ngang:
* Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to -1<0$ do đó ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ không tồn tại.
* Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 0^{-}$ do đó ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$ không tồn tại.
Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Xét tiệm cận đứng:
* Ta có phương trình $\sqrt{f(x)}=2\iff f(x)=4\iff \left[\begin{array}{c}x=a\in (-2;3)\\ x=b\in (3;6)\end{array}\right]$
Mặt khác:
${\lim }_{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty$ nên $x=a$ là tiệm cận đứng.
${\lim }_{x\to b^{-}}g(x)=\mp \infty$ nên $x=b$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.

Tử thức: $x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$.
Mẫu thức: $f^2(x)-5f(x)=0\iff f(x)(f(x)-5)=0\iff [\begin{array}{rl}& f(x)=0\\ & f(x)=5\end{array}$
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:
- $f(x)=5$ có 1 nghiệm đơn $x_1>2$.
- $f(x)=0$ có 3 nghiệm: nghiệm đơn $x=-1$, nghiệm kép tại $x=2$ (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại $(2;0)$), và 1 nghiệm khác $x_2$.
Do đó mẫu thức có dạng $(x+1)(x-2{)}^2(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1,x_2\notin \{-1;2\}$.
Khi triệt tiêu với tử số $(x+1)(x-2)$, ta còn mẫu số có 3 nghiệm: $x=2$ (nghiệm bội 1), $x=x_1$ và $x=x_2$.
Vậy đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận đứng.