Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\lim }_{x\to (-1{)}^{\pm }}\frac{2x-2024}{x+1}=\mp \infty$ nên đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1$. Chọn A.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2025}{2x+1}=\frac{1}{2}$ nên đường tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$. Chọn A.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-2024}{x+1}=2$ nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=2$. Chọn D.

Điều kiện xác định: $3x-5\ge 0⟺x\ge \frac{5}{3}$.
Giải phương trình mẫu số: $2x^2-5x-7=0⟺(x+1)(2x-7)=0⟺x=-1$ hoặc $x=\frac{7}{2}$.
So sánh với điều kiện $x\ge \frac{5}{3}$:
- $x=-1<\frac{5}{3}$ (loại, không thuộc tập xác định).
- $x=\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$ (thỏa mãn và tử số $\sqrt{3(7/2)-5}=\sqrt{11/2}\ne 0$).
Do đó đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x=\frac{7}{2}$. Chọn D.

Với $b\ne 0$ và $-2a\ne b$, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=\frac{2}{b}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}$. Theo đề bài, tiệm cận đứng là $x=2⟹\frac{2}{b}=2⟺b=1$. Tiệm cận ngang là $y=3⟹\frac{a}{b}=3⟺a=3b=3$. Vậy $a+b=3+1=4$.

Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận phân biệt thì đồ thị phải có 2 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng phân biệt. (1) Về tiệm cận ngang: cần hàm số xác định khi $x\to \pm \infty$, điều này đòi hỏi $m>0$. Khi đó ${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{1}{\sqrt{m}}$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\frac{1}{\sqrt{m}}$, hai tiệm cận ngang này phân biệt với mọi $m>0$. (2) Về tiệm cận đứng: phương trình $g(x)=m{x}^2-3mx+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$, tương đương với: $\Delta =9m^2-8m>0⟺m>\frac{8}{9}$ (vì $m>0$) và $g(1)=m-3m+2\ne 0⟺-2m+2\ne 0⟺m\ne 1$. Kết hợp lại ta được: $m>\frac{8}{9}$ và $m\ne 1$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-1}=1$, suy ra $y=1$ là tiệm cận ngang. Lại có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, suy ra $x=1$ là tiệm cận đứng.

Ta có:
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x-3}{x-1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x-3}{x-1}=+\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng.
- ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x-1}=2$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang.

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, giao điểm hai tiệm cận là $I(1;2)$.

Lấy điểm $M\left(x_0;\frac{2x_0+1}{x_0-1}\right)\in (C)$ với $x_0\ne 1$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$ cắt hai tiệm cận tại hai điểm $P(1;y_P)$ và $Q(x_Q;2)$.

Theo tính chất tiếp tuyến của hypebol phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ và diện tích tam giác $IPQ$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$:
$S_{△IPQ}=2\cdot \frac{|ad-bc|}{c^2}=2\cdot \frac{|2(-1)-1(1)|}{1^2}=2\cdot 3=6$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $IPQ$ nên:
$S_{△GPQ}=\frac{1}{3}{S}_{△IPQ}=\frac{1}{3}\cdot 6=2$

Xét hàm số $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$.

1) Trường hợp 1: $m=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-2x+3}$.
- Tiệm cận ngang: $y=-\frac{1}{2}$.
- Tiệm cận đứng: $x=\frac{3}{2}$.
Đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận $\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.

2) Trường hợp 2: $m\ne 0$.
Bậc của mẫu là $2$, bậc của tử là $1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, suy ra đường thẳng $y=0$ luôn là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có đúng $1$ tiệm cận đứng. Điều này tương đương với phương trình mẫu số $g(x)=m{x}^2-2x+3=0$ có đúng một nghiệm khác $1$, xảy ra khi:
- Khả năng 2.1: $g(x)=0$ có nghiệm kép khác $1$:
${\Delta }^{\prime }=1-3m=0\iff m=\frac{1}{3}$
Khi $m=\frac{1}{3}$, nghiệm kép là $x=-\frac{b^{\prime }}{a}=3\ne 1$. Do đó $m=\frac{1}{3}$ thỏa mãn.
- Khả năng 2.2: $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm $x=1$:
$g(1)=0\iff m-2+3=0\iff m=-1$
Khi $m=-1$, phương trình mẫu là $-x^2-2x+3=0\iff -(x-1)(x+3)=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-(x-1)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}$ (với $x\ne 1$).
Đồ thị có duy nhất một tiệm cận đứng $x=-3\Rightarrow m=-1$ thỏa mãn.

Tổng hợp lại, có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left\{-1;0;\frac{1}{3}\right\}$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Chọn C.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x^2-mx+1}=0$, do đó đồ thị hàm số luôn có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
Điều này tương đương với phương trình mẫu $g(x)=x^2-mx+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 (nghiệm của tử số).
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-4>0\\ g(2)=2^2-2m+1\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ 5-2m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ m\ne \frac{5}{2}\end{array}⟺[<table><tbody><tr><td>\{\begin{array}{l}m>2</td></tr><tr><td>m\ne \frac{5}{2}\end{array}</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>$.
Chọn D.

Ta có ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}\frac{2017x-2018}{x+1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}\frac{2017x-2018}{x+1}=+\infty$.
Do đó đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=-1$. Chọn B.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận ngang $y=1$. Lại có ${\lim }_{x\to 1}y={\lim }_{x\to 1}\frac{x+1}{x-2}=-2$, còn ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty ,{\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận đứng $x=2$. Tổng số đường tiệm cận là $2$. Chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(-1;-1)$ nên có phương trình là $y=x$.

Điều kiện xác định: $x\ge 3$ và $x^2+x-m\ne 0$.
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$ nên đường thẳng $y=0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng một đường tiệm cận đứng, tức phương trình $x^2+x-m=0$ phải có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng $[3;+\infty )$.
Xét phương trình $x^2+x-m=0\iff m=x^2+x$.
Xét hàm số $g(x)=x^2+x$ trên $[3;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=2x+1>0,\forall x\ge 3$ nên $g(x)$ đồng biến trên $[3;+\infty )$ và $g(3)=12$.
Để phương trình $g(x)=m$ có đúng một nghiệm $x\ge 3$ thì phương trình ban đầu phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1<3\le x_2$, điều này tương đương với $f(3)\le 0\iff 12-m\le 0\iff m\ge 12$.
Kết hợp điều kiện $m\in [-2019;2019]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{12,13,\dots ,2019\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $2019-12+1=2008$.

Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=2m$.
Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=m$.
Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(2m;m)$.
Ta thấy tọa độ điểm $I$ thỏa mãn phương trình $x-2y=2m-2m=0$.
Vậy giao điểm thuộc đường thẳng $x-2y=0$.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-3$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$, nên đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang là $y=-3$ và $y=2$.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, nên đồ thị hàm số có đúng $1$ đường tiệm cận đứng là $x=1$.

Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x+3}{x-3}=+\infty$ nên $x=3$ là tiệm cận đứng.
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+3}{x-3}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.