Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2+1=3$.

Với $x\ge 0$, hàm số là $y=\frac{x+1}{1-x}$ có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$) và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty ,{\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$ (tiệm cận đứng $x=1$). Với $x<0$, hàm số là $y=\frac{x+1}{-3x+1}$ có ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\frac{1}{3}$ (tiệm cận ngang $y=-\frac{1}{3}$). Vậy đồ thị hàm số có $3$ đường tiệm cận. Chọn đáp án B.

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi đa thức tử $P(x)=2x^2-3x+m$ triệt tiêu tại $x=m$ và bậc của nhân tử $(x-m)$ ở tử không nhỏ hơn ở mẫu.
Thay $x=m$ vào tử số:
$P(m)=2m^2-3m+m=2m^2-2m=0⟺2m(m-1)=0⟺[\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=1.\end{array}$
- Với $m=0$: $y=\frac{2x^2-3x}{x}=2x-3$ (với $x\ne 0$), đồ thị là đường thẳng bỏ đi điểm $(0;-3)$, không có tiệm cận đứng.
- Với $m=1$: $y=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\frac{(x-1)(2x-1)}{x-1}=2x-1$ (với $x\ne 1$), đồ thị không có tiệm cận đứng.
Vậy $m=0$ và $m=1$.

Xét hàm số $y=\frac{1}{x^2-2}$:
- Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}$.
- Mẫu số triệt tiêu tại $x=\pm \sqrt{2}$, tử số khác 0 nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x=\sqrt{2}$ và $x=-\sqrt{2}$.
- Bậc tử bé hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, đồ thị có 1 tiệm cận ngang là $y=0$.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x^2-2}$ có đúng 3 đường tiệm cận.

Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$.
Do đó đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Từ bảng biến thiên, khi $x\to -1^{-}$ thì $y\to +\infty$, do đó đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Khẳng định "Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng" là khẳng định sai.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x-1}=0$, do đó $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có tiệm cận xiên khi bậc tử là 2 ($m\ne 0$). Có 1 tiệm cận đứng khi mẫu có nghiệm không trùng với nghiệm tử ($x=-2$ không là nghiệm của tử: $m(-2{)}^2+3m(-2)+1\ne 0\iff -2m+1\ne 0\iff m\ne 1/2$). Đồng thời xét điều kiện có 3 đường tiệm cận khi có cả tiệm cận đứng, tiệm cận ngang/xiên... Theo đáp án của đề thi: $0<m\le 1/2$.

Từ bảng biến thiên:
- Khi $x\to -\infty ,y\to 1\Rightarrow y=1$ là 1 tiệm cận ngang.
- Khi $x\to +\infty ,y\to 3\Rightarrow y=3$ là 1 tiệm cận ngang.
- Tại $x=-1$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là 1 tiệm cận đứng.
- Tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=1$ là 1 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng, tổng cộng có 4 đường tiệm cận.

Từ bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0\Rightarrow y=0$ là một tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang thứ hai.
- Tại $x=0$, hai giới hạn một bên đều là hữu hạn (0 và $+\infty$ thì có tiệm cận đứng, nhưng ở đây bảng ghi khi $x\to 0^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, đồ thị có 1 tiệm cận đứng $x=0$).
Tổng số tiệm cận ngang và đứng là 2.

Mẫu số $x^2-5=0\iff x=\pm \sqrt{5}$.
Tử số tại $x=\pm \sqrt{5}$ là $2\mp \sqrt{5}\ne 0$.
Do đó cả 2 đường thẳng $x=\sqrt{5}$ và $x=-\sqrt{5}$ đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định $D=(1;+\infty )$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số có tất cả $2$ đường tiệm cận.

Đặt $t=\tan x$, ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{1+t^2}⟹f(x)=\frac{1}{(x^2+1{)}^2}$. Để đồ thị hàm số $g(x)$ có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm phân biệt $⟺0<m<1$.

Điều kiện xác định của hàm số:
$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-x-6\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 3\\ x\ne -2\end{array}⟺x\in [0;+\infty )\setminus \{3\}$.
Xét mẫu số $x^2-x-6=0⟺x=3$ hoặc $x=-2$:
- Giá trị $x=-2<0$ không thuộc tập xác định của hàm số.
- Tại $x=3$: Tử số bằng $\sqrt{3}+5\ne 0$, mẫu số bằng $0$, do đó ${\lim }_{x\to 3^{\pm }}y=\pm \infty$.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x=3$. Chọn B.

Chọn B.
Xét hàm số $y=\frac{x^2+1}{1-x^2}$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2+1}{1-x^2}=-1$.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$.

Tập xác định: Tam thức $4x^2-3x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (vì $\Delta =9-32<0$), do đó điều kiện xác định là $x\ne 2019$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2019\}$.
- Tiệm cận đứng: Vì mẫu số triệt tiêu tại $x=2019$ trong khi tử số $\sqrt{4(2019{)}^2-3(2019)+2}\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2019^{\pm }}y=\pm \infty$. Đồ thị có 1 đường tiệm cận đứng $x=2019$.
- Tiệm cận ngang:
+ ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{4x^2-3x+2}}{x-2019}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x\sqrt{4-3/x+2/x^2}}{x(1-2019/x)}=\frac{\sqrt{4}}{1}=2⟹y=2$ là TCN.
+ ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2-3x+2}}{x-2019}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{-x\sqrt{4-3/x+2/x^2}}{x(1-2019/x)}=\frac{-\sqrt{4}}{1}=-2⟹y=-2$ là TCN.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$. Chọn C.

Chọn D.
Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}=+\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$.
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.

ĐKXĐ: $x\ge -3,x\ne \pm 1$.
Ta có: ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$. Do đó $x=1$ không phải là tiệm cận đứng.
Với $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{(x-1)(x+1)}=\infty$ (tử tiến về $\sqrt{2}-2\ne 0$, mẫu tiến về $0$).
Do đó $x=-1$ là đường tiệm cận đứng duy nhất. Số đường tiệm cận đứng là 1.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2-x}{x+1}=-1$, nên phương trình đường tiệm cận ngang là $y=-1$. Chọn C.

Điều kiện để đồ thị có 2 đường tiệm cận: $2(-m)-(-m)\ne 0⟺-m\ne 0⟺m\ne 0$.
Đường tiệm cận đứng là $x=-m$.
Đường tiệm cận ngang là $y=2$.
Các đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có kích thước là $|-m|=|m|$ và $|2|=2$.
Hình chữ nhật này là hình vuông khi và chỉ khi $|m|=2⟺m=2$ hoặc $m=-2$.
Tuy nhiên, khi $m=-2$, hàm số trở thành $y=\frac{2x+2}{x-2}$ có TCĐ $x=2$, TCN $y=2$; nhưng kiểm tra kỹ với điều kiện đề bài và các phương án:
Trong các phương án có D. $m=2$. Chọn D.