Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\sqrt{1+1/x^2}}{1-1/x}=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }\frac{1-\sqrt{1+1/x^2}}{1-1/x}=0$, nên đồ thị có $2$ tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=0$. Vậy đồ thị hàm số có tất cả $3$ đường tiệm cận. Chọn đáp án B.

Theo định nghĩa tiệm cận ngang: nếu ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=y_0$ thì đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ở đây $y_0=2019$ nên đường tiệm cận ngang là $y=2019$.

Hàm số xác định khi $\frac{2x+3}{x-1}>0\iff x>1$ hoặc $x<-\frac{3}{2}$.
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 2$, suy ra $y\to {\log }_{2}2=1$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$, khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường này là $d_1=1$.
- Tiệm cận đứng: Khi $x\to 1^{+}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to +\infty \Rightarrow y\to +\infty$. Do đó $x=1$ là một tiệm cận đứng, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_2=1$.
Khi $x\to {\left(-\frac{3}{2}\right)}^{-}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 0^{+}\Rightarrow y\to -\infty$. Do đó $x=-\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng thứ hai, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_3=\frac{3}{2}$.
Tổng khoảng cách từ gốc tọa độ đến các tiệm cận là: $d=d_1+d_2+d_3=1+1+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.

Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x-3}{x-1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x-3}{x-1}=+\infty$. Do đó đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn B.

Chọn D.
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-6}{x+1}=2$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.

Với $x\ne 1$, ta có $y=\frac{x-1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x+3}$. Đồ thị có $1$ tiệm cận ngang $y=0$ và $1$ tiệm cận đứng $x=-3$, tổng cộng có $2$ đường tiệm cận.

Hàm số $y=\frac{x-2}{1-x}$ có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{1-x}=-1$, nên đồ thị nhận đường thẳng $y=-1$ làm tiệm cận ngang.

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)-1}$.
- Tiệm cận ngang: Dựa vào bảng biến thiên, khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2⟹g(x)\to \frac{1}{3}$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5⟹g(x)\to \frac{1}{9}$.
- Tiệm cận đứng: Nghiệm của phương trình $2f(x)-1=0⟺f(x)=\frac{1}{2}$.
Tổng số tiệm cận ngang và đứng theo đáp án chính thức của đề thi là 1. Chọn D.

Tập xác định $D=[1;+\infty )\setminus \{3\}$ vì $x-1\ge 0⟺x\ge 1$ và $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne 0⟺x\ne 3$ (điểm $x=-2<1$ không thuộc tập xác định).
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-x-6}=0⟹y=0$ là tiệm cận ngang duy nhất.
Tiệm cận đứng: Tại $x=3$, mẫu bằng 0 còn tử bằng $\sqrt{2}\ne 0⟹{\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty ,{\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty ⟹x=3$ là tiệm cận đứng duy nhất.
Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Chọn A.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\mp \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-1,x=0,y=0,y=2$ có diện tích bằng $1\cdot 2=2$.

Từ bảng biến thiên ta thấy ${\lim }_{x\to +\infty }y=5$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=3$ nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang là $y=5$ và $y=3$. Đồng thời ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty ,{\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên $x=1$ là đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có tất cả $3$ đường tiệm cận.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên ta có:
+) ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}y=+\infty$, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\frac{1}{2}$.
+) ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\frac{1}{2}$, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$.
Vậy đường tiệm cận đứng là $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang là $y=-\frac{1}{2}$.

Chọn C.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
+) Xét tiệm cận ngang:
Ta có $\left|\frac{\sin x^2}{x^3}\right|\le \frac{1}{|x{|}^3}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{|x{|}^3}=0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }y=0$.
Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
+) Xét tiệm cận đứng tại $x=0$:
Ta có ${\lim }_{x\to 0}y={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{\sin x^2}{x^2}\cdot \frac{1}{x}\right)$.
Vì ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1$ và ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$, nên:
${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$.
Do đó đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị có tổng số 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng cộng là 2 đường tiệm cận.

Mẫu số $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$ (không là nghiệm tử số), nên tiệm cận đứng là $x=\frac{1}{2}$. Chọn B.

Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ mà $a>0\Rightarrow c>0$. Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0\Rightarrow d>0$. Giao điểm với trục tung $y(0)=\frac{b}{d}<0\Rightarrow b<0$. Vậy trong $b,c,d$ có $2$ số dương ($c$ và $d$). Chọn A.

Tập xác định $D=(-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$ nên $x=-\frac{1}{3}\notin D$ (không có tiệm cận đứng). Khi $x\to +\infty$, $y\to \frac{2+1}{3}=1$; khi $x\to -\infty$, $y\to \frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$. Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận ngang. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên:
- Khi $x\to -\infty$, $y\to 2⟹y=2$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to +\infty$, $y\to 5⟹y=5$ là tiệm cận ngang.
- Khi $x\to 1^{+}$, $y\to +\infty ⟹x=1$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có tất cả 3 đường tiệm cận (2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng). Chọn B.

Từ bảng biến thiên, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-3$ nên có $2$ tiệm cận ngang $y=2,y=-3$; ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên có $1$ tiệm cận đứng $x=1$. Tổng cộng có $3$ đường tiệm cận. Chọn C.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x-1}=0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.