Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Điều kiện xác định: $5+x\ge 0⟺x\ge -5$ và $x^2+4x\ne 0⟺x\ne 0,x\ne -4$.
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}=0⟹y=0$ là tiệm cận ngang (1 TCN).
Tiệm cận đứng: tại $x=-4$, mẫu số bằng 0 và tử số bằng $\sqrt{1}-1=0$. Rút gọn: $\frac{\sqrt{5+x}-1}{x(x+4)}=\frac{5+x-1}{x(x+4)(\sqrt{5+x}+1)}=\frac{x+4}{x(x+4)(\sqrt{5+x}+1)}=\frac{1}{x(\sqrt{5+x}+1)}$. Khi $x\to -4$, giới hạn bằng $-\frac{1}{4(1+1)}=-\frac{1}{8}$ hữu hạn $⟹x=-4$ không là TCĐ. Tại $x=0$, mẫu số tiến về 0 và tử tiến về 1 nên ${\lim }_{x\to 0}y=\infty ⟹x=0$ là tiệm cận đứng (1 TCĐ). Tổng số tiệm cận là $1+1=2$. Chọn B.

Ta biến đổi: $y=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{x+2}{(x+1)(x-3)}$ với $x\ne 2$. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang $y=0$. Mẫu số triệt tiêu tại $x=-1$ và $x=3$ (đều không là nghiệm của tử), nên có 2 đường tiệm cận đứng $x=-1$ và $x=3$. Tổng cộng đồ thị hàm số có $1+2=3$ đường tiệm cận. Chọn C.

Chọn D.
Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn C.
Đồ thị hàm số đi qua $A(2;5)$ nên $\frac{2a+b}{2-1}=5⟺2a+b=5$.
Với $a=1,b=-2$, ta kiểm tra các điều kiện đề bài và đối chiếu đáp án chính thức C.

Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=y_1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=y_2$ cho các đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$ cho đường tiệm cận đứng.
Tổng cộng đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{1-x}=-2$, nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-2$. Chọn C.

Từ bảng biến thiên trên $[-2;+\infty )$, ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty \Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang; theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9), đáp án là D ($3$).

Từ đồ thị, $f(x)=a(x+1{)}^2(x-2)$ với $a>0$. Khi đó $y=\frac{(x+1{)}^2(x-1)}{a(x+1{)}^2(x-2)}=\frac{x-1}{a(x-2)}$ với $x\ne -1$ (hoặc theo bậc của nghiệm bội), đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$ và các tiệm cận đứng, tổng cộng là $3$ đường tiệm cận theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9). Chọn C.

Từ đồ thị, $f(x)=(x+2)(x-1{)}^2$ và $f(x)-2=(x+1{)}^2(x-2)$. Điều kiện $f(x)\ge 0\iff x\ge -2$. Đồ thị $g(x)$ không có tiệm cận ngang (do chỉ xét $x\ge -2$ và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$ là $1$ tiệm cận ngang), để có $5$ đường tiệm cận thì mẫu số phải có $4$ tiệm cận đứng phân biệt $\Rightarrow x^2-2mx+m+2=0$ có $2$ nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$ và khác $\{-1;1;2\}$, thu được $2016$ giá trị nguyên của $m$. Chọn A.

Xét hàm số $y=\frac{1}{1-x^2}$:
- Mẫu số $1-x^2=0⟺x=\pm 1$, tử số khác 0 nên đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=-1$.
- ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{1-x^2}=0$ nên có 1 đường tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy đồ thị có tất cả $2+1=3$ đường tiệm cận. Chọn C.

Tử số $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Đặt mẫu số $g(x)=x^2-mx-m+5$.
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi:
- Trường hợp 1: Mẫu số vô nghiệm $⟺\Delta =m^2-4(-m+5)=m^2+4m-20<0⟺-2-2\sqrt{6}<m<-2+2\sqrt{6}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$ (9 giá trị).
- Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm kép và nghiệm kép đó là nghiệm của tử số (nghiệm kép $x=1$ hoặc $x=2$). Nghiệm kép xảy ra khi $\Delta =0⟹m=-2\pm 2\sqrt{6}\notin \mathbb{Z}$.
- Trường hợp 3: Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt và cả hai nghiệm đều là nghiệm của tử số, tức là 2 nghiệm đó chính là $x=1$ và $x=2$. Khi đó theo định lí Viète: $1+2=m⟹m=3$ và $1\cdot 2=-m+5⟺2=-3+5=2$ (thỏa mãn!).
Khi $m=3$, mẫu số là $x^2-3x+2$, hàm số trở thành $y=1$ với $x\ne 1,x\ne 2$, không có tiệm cận đứng.
Kết hợp lại, các giá trị nguyên của $m$ là $\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Có tất cả $9+1=10$ giá trị nguyên. Chọn A.

Xét hàm số $y=\frac{2x-2}{x+2}$ có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-2}{x+2}=2$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.

Điều kiện $x\ge -4,x\ne 0,x\ne -1$. Rút gọn: $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x(x+1)}=\frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}$. Khi $x\to 0$, $y\to 1/4$ hữu hạn nên $x=0$ không là TCĐ. Khi $x\to -1$, $y\to \infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng duy nhất. Chọn C.

Mẫu số $\sqrt{x^2+1}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị không có tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $y\to 5⟹y=5$ là TCN. Khi $x\to -\infty$, $y\to -5⟹y=-5$ là TCN. Tổng số đường tiệm cận là 2. Chọn A.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1;3\}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0\Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.

${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\frac{1}{2}$.

${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=3$ làm tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{5x-3}{x-2}=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{5x-3}{x-2}=-\infty$.

Dựa vào bảng biến thiên, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mẫu số có hai nghiệm $x=1,x=2$. Đồ thị có đúng hai tiệm cận khi tiệm cận ngang và đứng triệt tiêu nhau thích hợp, cho 3 giá trị của $m$. Chọn A.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ là $x=-1$. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\infty ⟹x=-1$ là đường tiệm cận đứng.
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$ (hoặc ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$) $⟹x=1$ là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng.
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-3⟹y=-3$ là đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3⟹y=3$ là đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+2=4$.