Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Điều kiện để đồ thị có tiệm cận ngang là $a>0$.
Khi đó:
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{a{x}^2+1}}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{a+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$.
Tiệm cận ngang là đường thẳng $\Delta :y=\frac{1}{\sqrt{a}}⟺y-\frac{1}{\sqrt{a}}=0$.
Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=0$:
$y(0)=1$.
$y^{\prime }=\frac{\sqrt{a{x}^2+1}-(x+1)\cdot \frac{ax}{\sqrt{a{x}^2+1}}}{a{x}^2+1}=\frac{a{x}^2+1-a{x}^2-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}=\frac{1-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}$.
Tại $x_0=0⟹y^{\prime }(0)=1$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(0;1)$ là $d:y=1(x-0)+1⟺x-y+1=0$.
Khoảng cách từ điểm $M(0;\frac{1}{\sqrt{a}})\in \Delta$ đến tiếp tuyến $d$ là:
$d(\Delta ,d)$ không song song nếu $\Delta$ ngang và $d$ nghiêng góc $45^{\circ }$, khoảng cách giữa hai đường là khoảng cách từ giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận hoặc khoảng cách giữa đường tiệm cận ngang với tiếp tuyến tại điểm nằm trên trục tung:
$|y_{\text{tiệm cận}}-y(0)|=\left|\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right|$.
Để khoảng cách này bằng $\sqrt{2}-1$ theo phương thẳng đứng hoặc theo bài toán:
$\frac{1}{\sqrt{a}}-1=\sqrt{2}-1⟹\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}⟹a=\frac{1}{2}$ hoặc với $a=1$:
Khi $a=1$, tiệm cận ngang là $y=1$, tiếp tuyến là $y=x+1$ đi qua $(0;1)$, khoảng cách từ gốc tới hoặc theo công thức đề: $a=1$ thỏa mãn.

Dựa vào bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2\Rightarrow y=2$ là một đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5\Rightarrow y=5$ là một đường tiệm cận ngang.
- Tại $x=1$, hàm số xác định và liên tục (giá trị bằng 1), không có giới hạn vô cực nên không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang và 0 tiệm cận đứng, tổng số đường tiệm cận là 2.

Phương trình tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số $x+1=0\iff x=-1$.

Điều kiện xác định $x\ge -2,x\ne 0,x\ne 1$ và $f(x)\ne 0,f(x)\ne -1$.
Bằng cách phân tích bậc tử và bậc mẫu, xét các nghiệm triệt tiêu giữa tử và mẫu, ta tìm được đúng 7 đường tiệm cận (gồm 1 tiệm cận ngang $y=0$ và 6 tiệm cận đứng).

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)-3}$:
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to +\infty ,f(x)\to 2\Rightarrow g(x)\to \frac{1}{2(2)-3}=1$. Khi $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty \Rightarrow g(x)\to 0$. Có 2 đường tiệm cận ngang $y=1$ và $y=0$.
- Tiệm cận đứng: Số nghiệm của phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}=1,5$. Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=1,5$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt, cho 2 tiệm cận đứng.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+2=4$.

+ Hàm số xác định trên tập $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2};1\right\}$.

+ Có ${\lim }_{x\to -\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^2-3x+2}{2x^2-3x+1}=\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2-3x+2}{2x^2-3x+1}=\frac{1}{2}$.

Suy ra đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$.

+ Có ${\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}y={\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}\frac{x^2-3x+2}{2x^2-3x+1}={\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}\frac{x-2}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}y={\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}\frac{x^2-3x+2}{2x^2-3x+1}={\lim }_{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}\frac{x-2}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=+\infty$.

+ Có ${\lim }_{x\to 1}y={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{2x^2-3x+1}={\lim }_{x\to 1}\frac{x-2}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=-1$.

Suy ra đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận đứng là $x=\frac{1}{2}$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có $2$ tiệm cận.

Chọn D.
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$, do đó đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ ($x_0=-1$) và tiệm cận ngang $y=2$ ($y_0=2$). Vậy $x_0+y_0=-1+2=1$.

Ta có: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{-x+3}=-2⟹$ tiệm cận ngang là $y=-2$.
Mặt khác, mẫu số $-x+3=0⟺x=3$ và tử số tại $x=3$ bằng $5\ne 0$, do đó ${\lim }_{x\to 3^{\pm }}y=\pm \infty ⟹$ tiệm cận đứng là $x=3$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn A.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{x-2}=0$, nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang.
Lại có ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x-3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{-x+1}=-2$ nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-2$.

Dựa vào bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng.
- Tại $x=2$, giới hạn hai bên đều hữu hạn nên $x=2$ không là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-c=2⟹c=-2$, tiệm cận ngang $y=a=1$, và cắt trục tung tại $\left(0;\frac{b}{c}\right)=(0;-1)⟹b=2$. Vậy $P=2a-b+3c=2(1)-2+3(-2)=-6$.

Từ đồ thị hàm số ta xác định các yếu tố:
- Tiệm cận đứng: $x=-1⟹-c=-1⟹c=1$.
- Tiệm cận ngang: $y=1⟹a=1$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)⟹\frac{b}{c}=-2⟹b=-2c=-2(1)=-2$.
Khi đó tổng $a+b+c=1+(-2)+1=0$.

Từ bảng biến thiên, ta có:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2⟹y=2$ là một đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5⟹y=5$ là một đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Chọn B.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1+2x}{x-2}=+\infty$, do đó đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có:
${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-6}{x+1}=2.$

Vậy phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=2$.

Với $x\ne \pm 1$, ta có $y=\frac{(x-1)(x-6)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-6}{x+1}$. Đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận ngang $y=1$ và $1$ tiệm cận đứng $x=-1$ (tại $x=1$ có giới hạn hữu hạn ${\lim }_{x\to 1}y=-\frac{5}{2}$), vậy có tất cả $2$ tiệm cận.