Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 6: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 1$ và khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 3$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=3$. Khi $x\to 0^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ (giá trị $-\infty$ tại cột $x=0$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Lưu ý tại $x=0^{+}$ hàm số nhận giá trị hữu hạn $2$, không tạo thêm tiệm cận đứng nào khác. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $2y+1=0$ tức $y=-\frac{1}{2}$, nên ta tìm hàm số có tiệm cận ngang $y=-\frac{1}{2}$.
- A: $y=\frac{x+1}{2x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$ → TCN $y=\frac{1}{2}$, sai.
- B: bậc tử trên (2) lớn hơn bậc mẫu (1) → có tiệm cận xiên, không có TCN, sai.
- C: $y=\frac{2x+1}{1-x}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ → TCN $y=-2$, sai.
- D: $y=\frac{3-x^2}{2x^2-3x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{-1}{2}$ → TCN $y=-\frac{1}{2}$, đúng.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=2x-1$, tức đường thẳng $2x-y-1=0$. Khoảng cách từ $M(2;-1)$ đến đường thẳng này là $d=\frac{|2\cdot 2-(-1)-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$. Đáp án B (phương án in dạng $y=\frac{4}{\sqrt{5}}$, giá trị đúng là $\frac{4}{\sqrt{5}}$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+m+\frac{3}{m-x}$ có tiệm cận xiên là $y=x+m$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{m-x}=0$). Để tiệm cận xiên đi qua $M(1;2)$ thì $2=1+m\Rightarrow m=1$. Với $m=1$, hàm số xác định với $x\ne 1$, tiệm cận xiên $y=x+1$ đi qua $M(1;2)$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{m{x}^2+6x-2}{x+2}$. Tại $x=-2$: tử số bằng $4m-14$, nên khi $m\ne \frac{7}{2}$ thì $x=-2$ là tiệm cận đứng. Khi $m=0$, hàm số trở thành $y=\frac{6x-2}{x+2}$: bậc tử bằng bậc mẫu nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=6$ (không có tiệm cận xiên), đồng thời $x=-2$ vẫn là tiệm cận đứng vì tử số tại $x=-2$ bằng $-14\ne 0$. Vậy $m=0$ thỏa mãn: đồ thị có tiệm cận đứng và không có tiệm cận xiên. (Với $m\ne 0$ và $m\ne \frac{7}{2}$, đồ thị có cả tiệm cận đứng và tiệm cận xiên; với $m=\frac{7}{2}$, tử số chia hết cho $x+2$ nên không có tiệm cận đứng.)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+3}{x+1}=x-3+\frac{6}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$ (mệnh đề a đúng). Vì mẫu bằng 0 tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$ (mệnh đề b sai). Vậy đồ thị có đúng hai đường tiệm cận: $x=-1$ và $y=2$ (mệnh đề c đúng). Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; thay vào $(\Delta ):x+2y-3=0$ ta được $-1+2\cdot 2-3=0$, đúng (mệnh đề d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có hai đường tiệm cận: đứng $x=-1$ và ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; $-1+2\cdot 2-3=0$ nên $I\in (\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{10}{x+2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$. a) Đúng: đồ thị có đúng hai đường tiệm cận ($x=-2$ và $y=x-4$). b) Đúng: giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=-2-4=-6$ nên $I(-2;-6)$. c) Sai: khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$. d) Đúng: với $x=0$, $y=x-4=-4$ nên tiệm cận xiên đi qua $M(0;-4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-4+\frac{10}{x+2}$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$: đúng hai đường tiệm cận.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ là $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, không phải $4\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=x-4$ tại $x=0$ có $y=-4$, nên đi qua $M(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$. Chia đa thức: $x^2-x+1=(x-1)\cdot x+1$, do đó $f(x)=x+\frac{1}{x-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là $y=x$, tức $a=1,b=0$. Khi đó $P=5a+2024b=5\cdot 1+2024\cdot 0=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $x^2-x+2=(x-2)(x+1)+4$, nên $f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x-1\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận: đường thẳng đứng $x=2$ và đường tiệm cận xiên $y=x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua điểm $(0;-2)$, tại $x=1$ có tung độ $-3$, tức tiệm cận xiên $y=-x-2$. Loại A vì có tiệm cận đứng $x=-1$. Xét các phương án còn lại:
- B: $y=\frac{-x^2+x+2}{x-1}=-x+\frac{2}{x-1}$, tiệm cận xiên $y=-x$ (loại).
- C: $y=\frac{x^2-x+1}{-x+1}=-x+\frac{1}{1-x}$, tiệm cận xiên $y=-x$ (loại).
- D: $y=\frac{-x^2-x+1}{x-1}=-x-2-\frac{1}{x-1}$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x-2$ — khớp đồ thị.
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $c\cdot (-2)+2=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận xiên: chia đa thức, $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{4a-2b+1}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)$. Theo hình, tiệm cận xiên là $y=x+1$ (hệ số góc 1, cắt trục tung tại 1), suy ra $a=1$ và $b-2a=1\Rightarrow b=3$. Khi đó $T=2a+3b-c=2+9-1=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+b=0\iff b=-1$. Khi đó $y=\frac{x^2+a}{x-1}=x+1+\frac{a+1}{x-1}$, tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường nét đứt cắt trục tung tại điểm có tung độ $1$, đúng như hình vẽ). Phân số dư $\frac{a+1}{x-1}$ dương với $x>1$ nên nhánh phải nằm trên tiệm cận xiên và có cực tiểu. Theo hình, điểm cực tiểu của nhánh phải có tung độ $2$ (được đánh dấu bằng $2$ trên trục tung). $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-a}{(x-1{)}^2}=0$; với $a=0$ thì $x^{\prime }=0$ hoặc $x=2$, và $y(2)=\frac{4}{1}=2$ đúng bằng giá trị cực tiểu đã đánh dấu. Kiểm tra: với $a=0,b=-1$, hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+1$ cắt trục tung tại $(0;1)$, nhánh phải có cực tiểu $(2;2)$ — khớp hoàn toàn hình vẽ. Vậy $a=0,b=-1\Rightarrow T=a+b=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=\frac{(-x-6)(x-3)-14}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x-6)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-14}{x-3}=0$.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=-x-6$.

b) Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

- Tiệm cận đứng: $x=3$.
- Tiệm cận xiên: $y=-x-6$.

Giao điểm: thay $x=3$ vào $y=-x-6$ ta được $y=-3-6=-9$.

Kiểm tra bằng định nghĩa tâm đối xứng $I(3;b)$: với $t\ne 0$,
$f(3+t)+f(3-t)=\left(-3-t-6-\frac{14}{t}\right)+\left(-3+t-6+\frac{14}{t}\right)=-18=2b$, suy ra $b=-9$.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(3;-9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2+4x-1\ge 0$, tức $x\le -2-\sqrt{5}$ hoặc $x\ge -2+\sqrt{5}$. Xét $x\to +\infty$:
$$\sqrt{x^2+4x-1}=\sqrt{(x+2{)}^2-5}=|x+2|\sqrt{1-\frac{5}{(x+2{)}^2}}=(x+2)\sqrt{1-\frac{5}{(x+2{)}^2}}\to x+2.$$
Do đó $y=x+\sqrt{x^2+4x-1}\to 2x+2$ khi $x\to +\infty$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+2$, tức $a=2$, $b=2$. Vậy $a^2+b^2=4+4=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $y=\frac{x^2+x-2}{x+4}=x-3+\frac{10}{x+4}$. Tiệm cận đứng: $x=-4$; tiệm cận xiên: $y=x-3$. Hình thang giới hạn bởi $x=-4$, $y=x-3$ và hai trục (phần gạch chéo ở góc phần tư thứ ba): các đỉnh $(-4;0)$, $(0;0)$, $(0;-3)$, $(-4;-7)$. Hai cạnh song song là hai đoạn thẳng đứng có độ dài $7$ và $3$, chiều cao (khoảng cách giữa hai cạnh) bằng $4$. Diện tích $S=\frac{7+3}{2}\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$, $c=-2b$. Khi đó $f(x)=\frac{bx+1}{b(x-2)}$.

Xét giới hạn khi $x\to 2^{-}$ phải bằng $+\infty$: khi $x\to 2^{-}$ thì $x-2\to 0^{-}$, nên mẫu số $b(x-2)\to 0$ với dấu là dấu của $-b$.

Trường hợp $b>0$: mẫu số $\to 0^{-}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1<0$, vô lý vì $b>0$. Loại.

Trường hợp $b<0$: mẫu số $\to 0^{+}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1>0$, tức $b>-\frac{1}{2}$. Kết hợp $b<0$ ta được $-\frac{1}{2}<b<0$ (thỏa mãn).

Vậy $a=b<0$ và $c=-2b>0$. Trong ba số $a,b,c$ có đúng $1$ số dương (số $c$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$ (chú ý tiệm cận ngang là đường thẳng dạng $y=k$, không phải $x=k$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}=1$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$ xác định khi $x\ne 3$. Tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-1}{x-3}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{x-1}{x-3}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Đáp án D.