Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{(a-1)x+b}{(c-1)x+d}$, $d<0$. Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c-1}>0$, mà $d<0$ nên $c-1>0\Rightarrow c>1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a-1}{c-1}>0$, vì $c-1>0$ nên $a-1>0\Rightarrow a>1$. Tại $x=0$: $y(0)=\frac{b}{d}$, đồ thị đi qua gần gốc tọa độ với $y(0)<0$ (nhánh trái cắt trục hoành ngay sát gốc và đi xuống dưới), mà $d<0$ nên $b>0$. Vậy $a>1,b>0,c>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^4-3x^2+2>0\iff (x^2-1)(x^2-2)>0\iff x^2>2$ hoặc $x^2<1$... thực chất điều kiện mẫu khác 0 và dương: $x^2>2$ hoặc $x^2<1$, tức $x\in (-\infty ;-\sqrt{2})\cup (-1;1)\cup (\sqrt{2};+\infty )$. Tại $x=\pm 1$ và $x=\pm \sqrt{2}$ mẫu bằng 0 nhưng chỉ $x=\pm 1$ là điểm trong lân cận có mẫu dương một phía (hàm xác định gần đó), nên hàm có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=-1$. Khi $x\to \pm \infty$: $y=\frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x^4-3x^2+2}}\to \frac{x^2}{x^2}=1$, nên chỉ có một tiệm cận ngang $y=1$. Vậy: a) đúng ($x=1$ là TCĐ); b) sai (TCN là $y=1$, không phải $y=\sqrt{2}$); c) sai (2 TCĐ nhưng chỉ 1 TCN); d) sai (đồ thị có 3 đường tiệm cận).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định gồm các khoảng $(-\infty ;-\sqrt{2}),(-1;1),(\sqrt{2};+\infty )$. Tại $x=1$: mẫu $\to 0^{+}$ khi $x\to 1$ từ trong khoảng $(-1;1)$ nên $y\to +\infty$; vậy $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\lim \frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x^4-3x^2+2}}=1$, nên tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $y=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng ($x=\pm 1$) nhưng chỉ có 1 tiệm cận ngang ($y=1$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng cộng 3 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+1}{x-2}$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ (mệnh đề a đúng, b sai vì $y=2$ không phải tiệm cận đứng). Phép chia: $2x^2+1=(x-2)(2x+4)+9$, nên $f(x)=2x+4+\frac{9}{x-2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(2x+4)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x-2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+4$ (mệnh đề c đúng, d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$, nên tiệm cận đứng là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng phải có dạng $x=a$, không phải $y=2$; tiệm cận đứng của $(C)$ là $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x+4+\frac{9}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x-2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=2x+4$, không phải $y=2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}=x+1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x-1\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
c) $f(0)=\frac{2}{-2}=-1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $M(0;2)$. Sai.
d) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=0\iff (x-2{)}^2=4\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên nhánh $x<2$: $f$ đạt giá trị lớn nhất $f(0)=-1$; trên nhánh $x>2$: $f$ đạt giá trị nhỏ nhất $f(4)=7$. Đường thẳng $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi $-1<m<7$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x^2-x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{0-0+2}{0-2}=-1\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên nhánh $x<2$: max $f(0)=-1$; trên nhánh $x>2$: min $f(4)=7$. Vậy $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi $-1<m<7$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+3}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. Đúng.
b) $y=\frac{x^2-3x}{x+1}$: tại $x=-1$ tử số bằng $1+3=4\ne 0$, mẫu bằng 0, nên $\underset{x\to -1^{\pm }}{\lim }y=\pm \infty$, tiệm cận đứng $x=-1$. Đúng.
c) Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+2}{x+3}=x-6+\frac{20}{x+3}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-6$. Đúng.
d) $f(x)=\frac{5x+15}{x}=5+\frac{15}{x}$, khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 5$, nên tiệm cận ngang $y=5$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+3}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$ mẫu bằng 0 và tử số bằng $4\ne 0$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2-3x+2}{x+3}=x-6+\frac{20}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=x-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=5+\frac{15}{x}\to 5$ khi $x\to +\infty$, tiệm cận ngang $y=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lim_{x→±∞} (2x−3)/(x+2) = 2 nên TCN là y = 2. b) Sai: x²+5x+4 = (x+1)(x+4), mẫu triệt tiêu tại x = −1 và x = −4 nhưng tử cũng triệt tiêu tại x = −1 (x²−1 = (x−1)(x+1)), nên hàm rút gọn thành g(x) = (x−1)/(x+4) với x ≠ −1; tại x = −1 hàm liên tục (g(−1) = 2/3), chỉ có một tiệm cận đứng x = −4. c) Sai: h(x) = √((x−1)²+1). Khi x → +∞, h(x) − (x−1) = 1/(√(x²−2x+2)+x−1) → 0 nên có tiệm cận xiên y = x−1; tương tự khi x → −∞ có tiệm cận xiên y = −x+1. Vậy đồ thị CÓ tiệm cận xiên, mệnh đề 'không có tiệm cận xiên' là sai. d) Sai: rót dung dịch nồng độ 45% vào bình, khi thời gian rót càng lâu nồng độ trong bình càng tiến gần về 45% (nồng độ dung dịch rót vào), không phải gần nồng độ ban đầu 30%.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→±∞} (2x−3)/(x+2) = 2 nên tiệm cận ngang là y = 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
x²+5x+4 = (x+1)(x+4); tử x²−1 = (x−1)(x+1) triệt tiêu cùng mẫu tại x = −1 nên hàm rút gọn thành (x−1)/(x+4), chỉ có một tiệm cận đứng x = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x) = √((x−1)²+1) có tiệm cận xiên y = x−1 khi x → +∞ và y = −x+1 khi x → −∞, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nồng độ trong bình tiến về 45% (nồng độ dung dịch rót vào), không tiến về nồng độ ban đầu 30%.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 22: a) Đúng. Hàm $y=\frac{x+1}{2x-7}$ có mẫu triệt tiêu tại $x=\frac{7}{2}$ (tử không triệt tiêu) nên có tiệm cận đứng $x=\frac{7}{2}$; vì bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. Vậy đúng 1 TCĐ và 1 TCN.
b) Đúng. $y=\frac{x}{x^2+4}$, mẫu $x^2+4>0$ với mọi $x$ nên không có TCĐ; bậc mẫu lớn hơn bậc tử nên có đúng 1 tiệm cận ngang $y=0$.
c) Sai. $y=\frac{2x^2-6x+2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$; chia đa thức được $y=2x-12+\frac{38}{x+3}$ nên có tiệm cận xiên $y=2x-12$; bậc tử bằng bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị chỉ có 2 đường tiệm cận, không phải 3.
d) Sai. Tập xác định $D=[-5;5]\setminus \{0\}$. Khi $x\to 0^{\pm }$ thì $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x^2}\to \frac{5}{0^{+}}=+\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to \pm 5$ thì $y\to 0$. Hàm không xác định khi $x\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang nào (do đó không thể có $y=1$ và $y=-1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Có TCĐ $x=\frac{7}{2}$ và TCN $y=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu luôn dương, không TCĐ; có 1 TCN $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có TCĐ $x=-3$ và TCX $y=2x-12$, không có TCN nên chỉ có 2 tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định bị chặn $[-5;5]\setminus \{0\}$, không có tiệm cận ngang; $x=0$ là tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Viết lại $y=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$. a) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$: đúng. b) ${\lim }_{x\to -1}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$: sai. c) Đồ thị có đúng hai tiệm cận: $x=-1$ và $y=2$: đúng. d) Giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$. Thay vào $(\Delta )$: $-1+2\cdot 2-3=0$, thỏa mãn: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (mẫu bằng 0), không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có hai tiệm cận: đứng $x=-1$ và ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$; thay vào $(\Delta )$: $-1+4-3=0$ nên $I\in (\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4x-3+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=4x-3$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $I(2;5)$, tức $a=2$, $b=5$. Khi đó $a-3b=2-15=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -2$ và $|x|\ne 2$, tức $x\in [-2;2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: tại $x=2$, mẫu số $|x|-2\to 0$ còn $\sqrt{x+2}\to 2\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ → $x=2$ là TCĐ.
- Tại $x=-2$: với $x$ gần $-2$ thì $|x|=-x$, nên $y=\frac{\sqrt{x+2}}{-x-2}=\frac{-1}{\sqrt{x+2}}\to -\infty$ khi $x\to (-2{)}^{+}$ → $x=-2$ cũng là TCĐ.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$ → $y=0$ là TCN (chỉ xét $x\to +\infty$ vì tập xác định bị chặn dưới bởi $-2$).
Vậy đồ thị có 3 tiệm cận (hai TCĐ: $x=\pm 2$ và một TCN: $y=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $\frac{900}{x}$, nên $P(x)=2\left(x+\frac{900}{x}\right)=2x+\frac{1800}{x}$ với $x>0$. Tiệm cận xiên là $y=2x$ (vì $\frac{1800}{x}\to 0$ khi $x\to +\infty$), suy ra $a=2$, $b=0$. Do đó $T=10a+b=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 16: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{b}=1$ (đường $y=1$ trên hình). Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2$ và đi qua $(2;0)$: $\frac{2+a}{2b+c}=0$. Chọn $b=1$ thì $c=-1$, suy ra $a=-2$. Kiểm tra: $\frac{2-2}{2-1}=0$ đúng. Vậy $a=-2,b=1,c=-1$.

a) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
b) Sai: tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}=1$, không phải $y=0$.
c) Đúng: $y^{\prime }=\frac{b(x+a)-b(x+a{)}^{\prime }}{(bx+c{)}^2}=\frac{bc-ac}{(bx+c{)}^2}=\frac{c-ab}{(bx+c{)}^2}=\frac{-1-(-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng của tập xác định, nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
d) Đúng: $T=a-3b-2c=-2-3-2(-1)=-3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tức $bx+c=0$ tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) TCN là $y=\frac{a}{b}=1$ (vì $b=1$), không phải $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $a=-2,b=1,c=-1$: $y^{\prime }=\frac{c-ab}{(bx+c{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $a=-2,b=1,c=-1$ nên $T=-2-3+2=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 2$. Do đó tiệm cận ngang là $y=2$. Khớp đáp án nguồn (đề 0102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$. Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=2$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1+2x}{x-1}=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x-2}{x+1}=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x-2}{x+1}=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Hai giá trị này khác nhau nên đồ thị có đúng hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên có tiệm cận ngang $y=5$. Khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to +\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng (khi $x\to 1^{+}$, $f(x)\to 3$ hữu hạn, không tạo thêm tiệm cận đứng). Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng, tổng cộng là 3 đường. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x+3}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$ (2 tiệm cận). B) $y=\frac{x^2+3x-2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x$ (2 tiệm cận). C) $y=\frac{4}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=0$ (2 tiệm cận). D) $y=\frac{2x}{x^2+1}$: mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên không có tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có đúng một tiệm cận ngang $y=0$. Vậy hàm số có đúng một tiệm cận là D.