Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{(m+1)x^2+2x-1}{x-1}$.
a) $m=-1$: $y=\frac{2x-1}{x-1}$, bậc tử bằng bậc mẫu nên có TCN $y=\frac{2}{1}=2$. Đúng.
b) $m=0$: $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=(x+3)+\frac{2}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x+3\ne x-1$. Sai.
c) $m=2$: $y=\frac{3x^2+2x-1}{x-1}=(3x+5)+\frac{4}{x-1}$, TCX $y=3x+5$ cắt các trục tại $(-\frac{5}{3};0)$ và $(0;5)$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot 5=\frac{25}{6}\ne \frac{9}{2}$. Sai.
d) $m=1$: $y=\frac{2x^2+2x-1}{x-1}=(2x+4)+\frac{3}{x-1}$, tiệm cận $x=1$ và $y=2x+4$. Với $M(x,2x+4+\frac{3}{x-1})$: $d_1=\frac{|x-1|}{\sqrt{5}}$ (đến $2x-y+4=0$), $d_2=\frac{3}{|x-1|}$ (đến $x=1$), tích $d_1{d}_2=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-1$, $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=(x+3)+\frac{2}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+3$, không phải $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, TCX là $y=3x+5$, tam giác với hai trục có diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot 5=\frac{25}{6}\ne \frac{9}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=(2x+4)+\frac{3}{x-1}$; tích khoảng cách từ điểm trên đồ thị đến $y=2x+4$ và $x=1$ bằng $\frac{|x-1|}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{|x-1|}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+m}{mx-3}$.
a) Với $m=-1$: $y=\frac{2x-1}{-x-3}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{-1}=-2\ne 2$ → sai.
b) Với $m=3$: $y=\frac{2x+3}{3x-3}$, tiệm cận đứng là $x=1$; điểm $A(1;2)$ có hoành độ $1$ nên thuộc đường thẳng $x=1$ → đúng.
c) Với $m=1$: $y=\frac{2x+1}{x-3}$, tiệm cận đứng $x=3$, tiệm cận ngang $y=2$, diện tích hình chữ nhật $=3\cdot 2=6\ne 9$ → sai.
d) Với $m=1$: lấy $M(x;y)$ trên đồ thị, $d_1=|x-3|$, và $y-2=\frac{2x+1-2(x-3)}{x-3}=\frac{7}{x-3}$ nên $d_2=\left|\frac{7}{x-3}\right|$, tích $d_1{d}_2=7$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-1$, $y=\frac{2x-1}{-x-3}$ có tiệm cận ngang $y=-2$, không phải $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=3$, tiệm cận đứng là $x=1$ (mẫu $3x-3=0$), và $A(1;2)$ nằm trên đường thẳng $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: TCĐ $x=3$, TCN $y=2$, diện tích $=3\times 2=6\ne 9$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y-2=\frac{7}{x-3}$, nên $d_1\cdot d_2=|x-3|\cdot \left|\frac{7}{x-3}\right|=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại tử số: $m^2-2m+1=(m-1{)}^2$.

a) Với $m=-1$: $y=\frac{x^2-2x+4}{1-x}$. Chia đa thức: $x^2-2x+4=(1-x)(1-x)+3$, nên $y=1-x+\frac{3}{1-x}$. Tiệm cận xiên là $y=1-x$. Tại $x=2$ thì $y=-1\ne -3$, nên TCX không đi qua $M(2;-3)$ → SAI.

b) Với $m=1$: $y=\frac{x^2}{1-x}=-x-1+\frac{1}{1-x}$ (vì $x^2=(1-x)(-x-1)+1$). TCX: $y=-x-1$, cắt các trục tại $(-1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ → ĐÚNG.

c) Với $m=1$: tâm đối xứng là giao của TCĐ $x=1$ và TCX $y=-x-1$: $I(1;-2)$ → ĐÚNG.

d) Với $m=1$: TCĐ $x=1$, TCX $y=-x-1$ cùng hai trục tạo hình thang vuông với hai đáy $1$ (trên trục hoành từ $0$ đến $1$) và $2$ (đoạn TCX từ $(0;-1)$ đến $(1;-2)$), chiều cao $1$: $S=\frac{(1+2)}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}\ne 3$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=-1, TCX là y=1-x; tại x=2 có y=-1 ≠ -3 nên không đi qua M(2;-3).
b) (AI giải đề cho tôi)
TCX y=-x-1 cắt trục tại (-1;0),(0;-1), diện tích tam giác = 1/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao TCĐ x=1 và TCX y=-x-1: I(1;-2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông có hai đáy 1 và 2, chiều cao 1, diện tích = 3/2 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $f(x)=\frac{x^2+ax+5}{x-1}=x+b+\frac{c}{x-1}$ với $(x-1)(x+b)=x^2+(b-1)x-b$. Suy ra $b-1=a$ và $-b=5\Rightarrow b=-5$, do đó $a=-6$. Tiệm cận xiên là $y=x-5$. Kiểm tra qua $M(3;-2)$: $3-5=-2$ ✓. Vậy $a=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mẫu số $f(x)=x^2-3mx+m$ với $\Delta =9m^2-4m=m(9m-4)$.

- Nếu $\Delta <0$ ($0<m<4/9$): mẫu luôn dương, không có tiệm cận đứng → loại.
- Nếu $\Delta =0$: $m=0$ (nghiệm kép $x=0\ne 2$) hoặc $m=\frac{4}{9}$ (nghiệm kép $x=\frac{3m}{2}=\frac{2}{3}\ne 2$): mỗi giá trị cho đúng một tiệm cận đứng → nhận 2 giá trị.
- Nếu $\Delta >0$: có hai nghiệm phân biệt. Để có đúng một tiệm cận đứng, một nghiệm phải bằng $x=2$ (bị triệt tiêu với tử số) và nghiệm kia khác 2. Thay $x=2$: $4-6m+m=0\iff m=\frac{4}{5}$. Khi đó hai nghiệm là $2$ và $\frac{2}{5}\ne 2$, nên còn đúng một tiệm cận đứng $x=\frac{2}{5}$ → nhận $m=\frac{4}{5}$.

Vậy có 3 giá trị của $m$: $m\in \left\{0;\frac{4}{9};\frac{4}{5}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2}{x-3}=x+1+\frac{5}{x-3}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, tức $\alpha =1$, $b=1$. Suy ra $2{\alpha }^2-b=2-1=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ nên $x=-1$, tức $a=-1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$ nên $y=3$, tức $b=3$. Vậy $a+b=-1+3=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+7}{x-3}=x-2+\frac{1}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1$, $b=-2$. Vậy $a+b=1+(-2)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $\frac{100}{x}$, nên $P(x)=2\left(x+\frac{100}{x}\right)$, xác định trên $(0;+\infty )$. Khi $x\to 0^{+}$ thì $P(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$ thì $P(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao bể là 10 dm = 1 m, thể tích 5 m³ nên đáy có diện tích xy = 5, tức y = 5/x. Diện tích toàn phần (không nắp) gồm mặt đáy xy = 5 và bốn mặt bên có diện tích 2x·1 + 2y·1 = 2x + 2·(5/x) = 2x + 10/x. Vậy S(x) = 2x + 10/x + 5 với x > 0. Khi x → +∞, S(x) − (2x + 5) = 10/x → 0, nên tiệm cận xiên là y = 2x + 5, tức a = 2, b = 5. Do đó P = a² + b² = 4 + 25 = 29.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)$ là hàm bậc bốn, từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$. Đường tiệm cận ngang $y=L$ tồn tại khi ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ hữu hạn. Vì cả hai giới hạn đều là $-\infty$ (vô hạn), đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang nào. Vậy đáp số là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông có đáy nhỏ $x$, đáy lớn $2x$, chiều cao $h$. Diện tích: $\frac{x+2x}{2}h=\frac{3xh}{2}=24\Rightarrow h=\frac{16}{x}$. Cạnh nghiêng $=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}$. Chu vi: $P(x)=3x+\frac{16}{x}+\sqrt{x^2+\frac{256}{x^2}}$, với $x>0$. Khi $x\to 0^{+}$: $P(x)\approx \frac{32}{x}\to +\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$: $P(x)\approx 3x+x=4x$ nên có tiệm cận xiên $y=4x$ (vì $P(x)-4x=\frac{16}{x}+\sqrt{x^2+\frac{256}{x^2}}-x\to 0$). Vậy đồ thị $P(x)$ có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $T(x)=C(x)+4000x=x^2-2000x+10^8+4000x=x^2+2000x+10^8$ (đồng), vì chi phí phát hành mỗi cuốn 4 nghìn đồng $=4000$ đồng và $C(x)$ tính bằng đồng.

Chi phí trung bình:
$$M(x)=\frac{T(x)}{x}=x+2000+\frac{10^8}{x}.$$

Khi $x\to +\infty$, $\frac{10^8}{x}\to 0$ nên $M(x)$ tiệm cận với đường thẳng $y=x+2000$, tức $a=1$, $b=2000$.

Vậy $b=2000$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x^2-8x+m}$ luôn có tiệm cận ngang $y=0$ (bậc tử < bậc mẫu). Để có 3 tiệm cận, mẫu số phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm đó không trùng với $x=1$ (nghiệm của tử). Điều kiện: $\Delta =64-4m>0\iff m<16$; và $x=1$ không là nghiệm mẫu: $1-8+m\ne 0\iff m\ne 7$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1,2,\dots ,15\}\setminus \{7\}$, cho 14 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, chi phí năm tiệm cận với tiệm cận ngang của $f(x)=\frac{2000x-1500}{35x+5}$: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\frac{2000}{35}=\frac{400}{7}\approx 57,142857$ (triệu đồng). Làm tròn đến 1 chữ số thập phân ta được $57,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bể $V=12800\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=0,0128{\mathrm{m}}^3$, chiều cao $h=80\mathrm{cm}=0,8\mathrm{m}$ nên diện tích đáy $=0,0128:0,8=0,016{\mathrm{m}}^2$. Gọi $y$ (m) là chiều rộng đáy thì $xy=0,016\Rightarrow y=\frac{0,016}{x}$.

Diện tích mặt bên $=2(x+y)\cdot 0,8=1,6\left(x+\frac{0,016}{x}\right)$ (m${}^2$), diện tích đáy $=0,016$ (m${}^2$).

Chi phí:
$$f(x)=70000\cdot 1,6\left(x+\frac{0,016}{x}\right)+100000\cdot 0,016=112000x+\frac{1792}{x}+1600,x>0.$$

- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=112000$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\left(f(x)-112000x\right)=1600$, nên tiệm cận xiên là $y=112000x+1600$.

Kết luận: đồ thị $f(x)$ có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên $y=112000x+1600$ (không có tiệm cận ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+3}$ xác định khi $x\ne -3$. Tại $x=-3$: ${\lim }_{x\to -3^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -3^{-}}y=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-3$. (Tiệm cận ngang là $y=2$.) Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-3x-7}{x+2}=x-5+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-5$. Kiểm tra: $(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$, cộng $3$ được $x^2-3x-7$ — đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên A đúng; có tiệm cận xiên $y=x+1$ nên B đúng; khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên C đúng. Trên hình, điểm $A(1;1)$ là điểm cực đại của nhánh bên trái tiệm cận đứng, không nằm trên trục $Ox$; đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ khoảng $x=-1$, không phải tại $A(0;1)$. Vậy khẳng định D SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$) và tiệm cận xiên $y=x$ (đường nét đứt). Xét các đáp án:
- $y=\frac{x-1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ → loại.
- $y=x^4-2x^2$ và $y=x^3-3x^2$: là đa thức, không có tiệm cận đứng hay xiên → loại.
- $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$: có ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$ (tiệm cận đứng $x=0$) và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+4}{x}-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x}=0$ (tiệm cận xiên $y=x$). Nhánh $x>0$ đạt cực tiểu tại $x=2$, $y=4>0$; nhánh $x<0$ đạt cực đại tại $x=-2$, $y=-4<0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ.
Vậy đáp án đúng là C.