Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 40: đường nét đứt ngang $y=1$ là tiệm cận ngang vì hai nhánh đồ thị tiến tới $1$ khi $x\to \pm \infty$; đường nét đứt đứng $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ của Câu 70: đồ thị có đường thẳng đứng $x=x_0$ mà khi $x\to x_0^{+}$ và $x\to x_0^{-}$ thì $f(x)\to \pm \infty$, nên đồ thị có một đường tiệm cận đứng. Ngoài ra, khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến gần đến một đường thẳng nghiêng (nhánh đồ thị ở hai đầu bám theo một đường thẳng có hệ số góc khác 0), tức là có một đường tiệm cận xiên. Đồ thị không có tiệm cận ngang (vì $f(x)$ không tiến tới hằng số khi $x\to \pm \infty$). Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=2$ (đường đứt nét dọc qua $x=2$) và tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét ngang qua $y=1$). Giao điểm của hai tiệm cận là $I(2;1)$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+5}{x+2}=\frac{(x+2)(x+1)+3}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$ nên $y\to 2x-1$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 74: Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng nét liền đi qua điểm $(-1;0)$ (cắt trục hoành tại $-1$) và cắt trục tung tại $(0;1)$. Hệ số góc $a=\frac{1-0}{0-(-1)}=1$, nên phương trình đường thẳng là $y=x+1$. Kiểm tra điểm $(-2;-1)$: $-2+1=-1$ đúng. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$.
a) ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$ → Đúng.
b) Khi $x\to \pm \infty$, $y\to x+3$ nên tiệm cận xiên là $y=x+3$ → Đúng.
c) Điểm nguyên trên $(C)$: $y=x+3+\frac{2}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 2$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 2\}$, cho $x\in \{-1,0,2,3\}$ với tọa độ $(-1;-2),(0;1),(2;7),(3;8)$ — đúng 4 điểm → Đúng.
d) Phương trình hoành độ giao điểm: $m(x-1{)}^2=x^2+2x-1\iff (m-1)x^2-(2m+2)x+(m+1)=0$. Có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta =8(m+1)>0\iff m>-1,m\ne 1$. Với $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$, $y=m(x-1)$, tam giác vuông tại $C(2;0)$: $(x_A-2)(x_B-2)+y_A{y}_B=0$. Ta có $x_A{x}_B=\frac{m+1}{m-1}$, $x_A+x_B=\frac{2m+2}{m-1}$, nên $(x_A-2)(x_B-2)=\frac{m-7}{m-1}$ và $(x_A-1)(x_B-1)=\frac{-2}{m-1}$. Điều kiện trở thành $\frac{m-7}{m-1}-\frac{2m^2}{m-1}=0\iff 2m^2-m+7=0$, vô nghiệm ($\Delta =1-56<0$). Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn, khẳng định 'tổng các giá trị $m$ bằng 9' là Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu $x-1$ triệt tiêu tại $x=1$ và tử khác 0 tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$, nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}\to x+3$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{2}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 2$: $x-1\in \{\pm 1,\pm 2\}$ cho $x\in \{-1,0,2,3\}$, tức 4 điểm nguyên $(-1;-2),(0;1),(2;7),(3;8)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $(m-1)x^2-(2m+2)x+(m+1)=0$ với $m>-1,m\ne 1$. Điều kiện vuông tại $C(2;0)$: $(x_A-2)(x_B-2)+m^2(x_A-1)(x_B-1)=0$ dẫn đến $\frac{m-7-2m^2}{m-1}=0\iff 2m^2-m+7=0$, vô nghiệm vì $\Delta =-55<0$. Không có giá trị $m$ nào, nên tổng bằng 9 là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = x/(x²−9). a) Điều kiện: x²−9≠0 ⟺ x≠±3, nên D = ℝ\{−3;3}: đúng. b) y=0 ⟺ x=0, và x=0 thuộc tập xác định, đồ thị cắt trục hoành tại (0;0): sai. c) Bậc tử < bậc mẫu nên lim y = 0 khi x→±∞, tiệm cận ngang y=0: đúng. d) Đồ thị có 2 tiệm cận đứng x=±3 và 1 tiệm cận ngang y=0, tổng cộng 3 đường tiệm cận: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x²−9=0 ⟺ x=±3 nên D = ℝ\{−3;3}.
b) (AI giải đề cho tôi)
y=0 khi x=0, điểm (0;0) thuộc đồ thị nên đồ thị cắt trục hoành.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên lim_{x→±∞} y = 0, tiệm cận ngang y=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng x=−3, x=3 và 1 tiệm cận ngang y=0, tức 3 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên (-∞;-2) f giảm từ 4 đến 1; trên (-2;1) f giảm từ +∞ đến 2; trên (1;+∞) f tăng từ -∞ đến m².
a) Khi x → -2⁺, f → +∞ và khi x → 1⁻, f → -∞ (đồng thời x → 1⁺, f → -∞), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1. Đúng.
b) Tiệm cận ngang: y = 4 (khi x → -∞) và y = m² (khi x → +∞). Để có đúng 1 tiệm cận ngang cần m² = 4, tức m = ±2: có 2 giá trị, không 'duy nhất'. Sai.
c) Đồ thị có 4 tiệm cận khi 2 TCĐ (x = -2, x = 1) và 2 TCN phân biệt, tức m² ≠ 4. Với m nguyên ∈ [-4;4], loại m = ±2, còn lại {-4,-3,-1,0,1,3,4}: 7 giá trị, không phải 9. Sai.
d) y = 1/(2f(x)+3) có TCĐ khi f(x) = -3/2. Trên (-∞;-2): f ∈ [1;4] không đạt -3/2; trên (-2;1): f giảm từ +∞ đến 2, không đạt -3/2; trên (1;+∞): f tăng liên tục từ -∞ đến m² > 0 nên f = -3/2 có đúng một nghiệm. Vậy có đúng một tiệm cận đứng. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f → +∞ khi x → -2⁺ và f → -∞ khi x → 1, nên có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCN là y = 4 và y = m². Cần m² = 4 ⟹ m = ±2, có 2 giá trị nên không duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m² ≠ 4; các giá trị nguyên m ∈ [-4;4] thỏa mãn là -4,-3,-1,0,1,3,4: chỉ 7 giá trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình f(x) = -3/2 chỉ có nghiệm trên (1;+∞) vì f tăng từ -∞ đến m² > 0, nên y = 1/(2f(x)+3) có đúng một tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $f(x)=\frac{x^2-5x+2}{x-2}=x-3-\frac{4}{x-2}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Đúng: ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=2$.
b) Sai: bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên).
c) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x-3)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(-\frac{4}{x-2}\right)=0$ nên TCX là $y=x-3$.
d) Sai: Với $M(x;x-3-\frac{4}{x-2})$ trên đồ thị, đặt $t=|x-2|>0$. Khi đó $d_1=t$ (khoảng cách tới $x=2$) và $d_2=\frac{\left|\frac{-4}{x-2}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}t}$ (khoảng cách tới $y=x-3$). Vậy $d_1+d_2=t+\frac{2\sqrt{2}}{t}\ge 2\sqrt{2\sqrt{2}}=2\sqrt[4]{8}\approx 3,36<4\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt[4]{8}$, không phải $4\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên đồ thị có TCĐ $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang, chỉ có tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-3-\frac{4}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(-\frac{4}{x-2}\right)=0$ nên TCX là $y=x-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=|x-2|$: $d_1+d_2=t+\frac{2\sqrt{2}}{t}\ge 2\sqrt[4]{8}\approx 3,36\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$, xác định với $x\ne -2$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=-2$, không phải $x=2$ → a sai.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+2)\right]=\lim \frac{1}{x+2}=0$ nên TCX là $y=x+2$, không phải $y=x-1$ → b sai.
- Vậy $x=-2$ và $y=x+2$ lần lượt là TCĐ và TCX của $(C)$ → c đúng.
- Giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=0$, tức $I(-2;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x+4y+1=0$ là $\frac{|3(-2)+4(0)+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-5|}{5}=1$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-2$ (do mẫu $x+2=0$), không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ nên TCX là $y=x+2$, không phải $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-2$ và TCX là $y=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;0)$; $d(I,\Delta )=\frac{|-6+1|}{5}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x-3}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3/2\}$. a) Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0 và tử khác 0 nên TCĐ là $x=\frac{3}{2}$: đúng. TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$, nên $y=\frac{1}{2}$; giao điểm $I=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, thay vào $x-y-1=0$: $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0$ nên b) đúng. c) Giao với TCĐ: $A=\left(\frac{3}{2},-4\right)$; giao với TCN: $B=\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$. Tam giác $IAB$ vuông tại $I$ với $IA=\left|-4-\frac{1}{2}\right|=\frac{9}{2}$, $IB=\left|\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\right|=\frac{9}{4}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{81}{16}\ne \frac{25}{4}$: sai. d) $y^{\prime }=-\frac{1}{(2x-3{)}^2}$. Đặt $t=2x_0-3\ne 0$, tiếp tuyến tại $x_0$: $x+t^{2}y-x_0-t^2{y}_0=0$ với $x_0=\frac{t+3}{2}$, $y_0=\frac{t+1}{2t}$. Khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến: $d=\frac{|x_0+t^2{y}_0-\frac{3}{2}-\frac{t^2}{2}|}{\sqrt{1+t^4}}=\frac{|t|}{\sqrt{1+t^4}}$. Xét $d^2=\frac{t^2}{1+t^4}$, đạt max bằng $\frac{1}{2}$ khi $t^2=1$, nên $d_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2}}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $2x-3=0$ tại $x=\frac{3}{2}$, tử $x-1=\frac{1}{2}\ne 0$ nên TCĐ là $x=\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCN là $y=\frac{1}{2}$, giao điểm $I=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ thỏa $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A=\left(\frac{3}{2},-4\right)$, $B=\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$, $IA=\frac{9}{2}$, $IB=\frac{9}{4}$, $S=\frac{81}{16}\ne \frac{25}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=2x_0-3$, khoảng cách $d=\frac{|t|}{\sqrt{1+t^4}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}$, dấu bằng khi $t=\pm 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y=\frac{x^2+x-2}{x+3}=\frac{(x+2)(x-1)}{x+3}$. Phép chia: $x^2+x-2=(x+3)(x-2)+4$, nên $y=x-2+\frac{4}{x+3}$.
- a) Bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên không có tiệm cận ngang → Đúng.
- b) Tiệm cận đứng $x=-3$ → Đúng.
- c) Tiệm cận xiên $y=x-2$ → Đúng.
- d) Tổng quát: $y=\frac{m{x}^2+(3m^2-2)x-2}{x+3m}=mx-2+\frac{6m-2}{x+3m}$. Tiệm cận đứng $x=-3m$ (thẳng đứng), tiệm cận xiên $y=mx-2$ có hệ số góc $m$. Góc giữa đường thẳng hệ số góc $m$ và đường thẳng đứng bằng $45^{\circ }$ khi $\arctan (m)=45^{\circ }$, tức $m=1$ (khi đó góc giữa $y=x-2$ và $x=-3$ đúng bằng $45^{\circ }$). Với $m=2$, góc giữa $y=2x-2$ và $x=-6$ là $90^{\circ }-\arctan 2\approx 26,57^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, mẫu $x+3=0$ tại $x=-3$ và tử khác 0 tại đó, nên tiệm cận đứng là $x=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+x-2=(x+3)(x-2)+4$ nên $y=x-2+\frac{4}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=mx-2$ (hệ số góc $m$), tiệm cận đứng $x=-3m$. Góc giữa hai tiệm cận bằng $45^{\circ }$ khi $\arctan (m)=45^{\circ }$, tức $m=1$, không phải $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{3-x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. a) $y^{\prime }=\frac{4(3-x)+(4x+1)}{(3-x{)}^2}=\frac{13}{(3-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$ → đúng. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\lim \frac{4x+1}{3-x}=-4$, nên tiệm cận ngang là $y=-4$, không phải $y=4$ → sai. c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=3$ → đúng. d) Viết $y=-4+\frac{13}{3-x}$. Với $M(x;y)$ trên (C): khoảng cách đến tiệm cận ngang $y=-4$ là $\left|y+4\right|=\frac{13}{|3-x|}$; khoảng cách đến tiệm cận đứng $x=3$ là $|x-3|=|3-x|$. Tích bằng $\frac{13}{|3-x|}\cdot |3-x|=13\ne 14$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{13}{(3-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{3-x}=-4$, tiệm cận ngang là $y=-4$ chứ không phải $y=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{4x+1}{3-x}=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(x;y)$ trên (C), $y=-4+\frac{13}{3-x}$. Tích khoảng cách $=\frac{13}{|3-x|}\cdot |3-x|=13\ne 14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+3-\frac{5}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Khi $x\to -1^{\pm }$ thì $-\frac{5}{x+1}\to \mp \infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng: đúng.
b) Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không tồn tại giới hạn hữu hạn ${\lim }_{x\to \pm \infty }y$, nên không có tiệm cận ngang: đúng.
c) $y=0\iff x+3-\frac{5}{x+1}=0\iff \frac{(x+3)(x+1)-5}{x+1}=0\iff x^2+4x-2=0\iff x=-2\pm \sqrt{6}$. Với $x=3$ thì $y=6-\frac{5}{4}=\frac{19}{4}\ne 0$, nên đồ thị không cắt trục hoành tại $(3;0)$: sai.
d) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+3)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-5}{x+1}=0$, nên $y=x+3$ là tiệm cận xiên: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -1^{\pm }$, $-\frac{5}{x+1}\to \mp \infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, không tồn tại giới hạn hữu hạn nên không có tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$: $y=6-\frac{5}{4}=\frac{19}{4}\ne 0$. Nghiệm của $y=0$ là $x=-2\pm \sqrt{6}$, không phải $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+3)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-5}{x+1}=0$ nên $y=x+3$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{+}$ và $x\to -1^{-}$). Đồ thị còn tiến gần đường thẳng $y=x-1$ (đi qua điểm $(0;-1)$ với hệ số góc 1) khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x-1$. Vì có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang. Vậy:

a) Đúng - đồ thị không có tiệm cận ngang ($\lim \frac{f(x)}{x}=1\ne 0$).

b) Sai - đồ thị có hai đường tiệm cận (một đứng $x=-1$ và một xiên $y=x-1$).

c) Sai - tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $y=-1$ ($y=-1$ là một đường thẳng nằm ngang, không thể là tiệm cận đứng).

d) Đúng - tiệm cận xiên là $y=x-1$.

a) Đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-1$ nên không có tiệm cận ngang.

b) Đồ thị có hai đường tiệm cận: đứng $x=-1$ và xiên $y=x-1$.

c) Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, không phải $y=-1$.

d) Từ hình, đồ thị tiến đến đường thẳng đi qua $(0;-1)$ có hệ số góc 1 khi $x\to \pm \infty$, tức tiệm cận xiên $y=x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$: $y=\frac{-x^2+4x+3}{x-2}=-x+2+\frac{7}{x-2}$. a) Tử số tại $x=2$ là $-4+8+3=7\ne 0$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng → đúng. b) Giao TCĐ $x=2$ với $x-y-1=0$ cho $y=1$, điểm $(2;1)$; thay vào $y=x^2$: $1\ne 4$ → sai. c) $d_1=|x-2|$, $d_2=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}|x-2|}$ (vì $x+y-2=\frac{7}{x-2}$), nên $d_1{d}_2=\frac{7}{\sqrt{2}}\ne 7$ → sai. d) Hàm số không có TCĐ khi tử số chia hết cho $x-2$, tức $-4+8+3+m=0\iff m=-7$, không phải nguyên dương, nên $S=\varnothing$, $|S|=0\ne 1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=-x+2+\frac{7}{x-2}$; tử số tại $x=2$ bằng 7 khác 0 nên TCĐ là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm là $(2;1)$, không thuộc parabol $y=x^2$ vì $1\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d_1{d}_2=|x-2|\cdot \frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\ne 7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không có TCĐ khi $m=-7$ (không nguyên dương), nên $S=\varnothing$ có 0 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$.
a) Khi $m\ne 0$, bậc tử (1) nhỏ hơn bậc mẫu (2) nên $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=0$: hàm số có tiệm cận ngang $y=0$. Đúng.
b) Khi $m=0$: $y=\frac{x-1}{-2x+3}$ có TCĐ $x=\frac{3}{2}$ và TCN $y=-\frac{1}{2}$. Giao điểm $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$: $\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-2=0$, thuộc đường thẳng $x-y-2=0$. Đúng.
c) Khi $m=2$: mẫu $2x^2-2x+3$ có $\Delta =4-24<0$ nên không có tiệm cận đúng; hàm chỉ có tiệm cận ngang $y=0$. Sai.
d) Hàm có ba đường tiệm cận khi có TCN $y=0$ ($m\ne 0$) và mẫu có hai nghiệm phân biệt khác $x=1$: $\Delta =4-12m>0\iff m<\frac{1}{12}$, $m\ne 0$, và $m\ne -1$ (vì $m=-1$ thì $x=1$ là nghiệm của mẫu, khử được với tử, chỉ còn 1 TCĐ). Với $m\in [-5;-1]$ nguyên âm: $m=-5,-4,-3,-2$ thỏa (loại $m=-1$), nên $S$ có 4 phần tử, không phải 1. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bậc mẫu lớn hơn bậc tử nên tiệm cận ngang là $y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=\frac{3}{2}$, TCN $y=-\frac{1}{2}$, giao điểm $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$ thỏa $x-y-2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =4-24<0$ nên không có tiệm cận đúng; chỉ có tiệm cận ngang $y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m<\frac{1}{12}$, $m\ne 0$, $m\ne -1$; các giá trị nguyên âm trong $[-5;-1]$ là $-5,-4,-3,-2$, tức $|S|=4\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-2x+m}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2-2x+m}$.

a) Khi $m=0$: bậc tử và mẫu đều bằng 2, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{1}=1$ nên có TCNG $y=1$. Đúng.

b) Khi $m=0$: mẫu $x^2-2x=x(x-2)$, nghiệm $x=0$, $x=2$ đều khác nghiệm tử (1 và 2) nên có 2 TCĐ $x=0$, $x=2$ cộng TCNG $y=1$: tổng 3 tiệm cận. Đúng.

c) Số TCĐ bằng số nghiệm phân biệt của $x^2-2x+m=0$ không trùng với $x=1$, $x=2$.
- Phương trình có nghiệm kép: $\Delta =4-4m=0\iff m=1$ (khi đó $y=\frac{x+2}{x-1}$, đúng 1 TCĐ $x=1$).
- Nếu một nghiệm trùng nghiệm tử: $x=1\Rightarrow m=1$ (đã xét); $x=2\Rightarrow m=0$ khi đó nghiệm còn lại $x=0$ vẫn là TCĐ → có 2 TCĐ.
Vậy chỉ có duy nhất $m=1$ cho đúng một TCĐ, tức chỉ có MỘT giá trị của $m$, không phải hai. Sai.

d) Hàm số luôn có TCNG $y=1$. Có ba đường tiệm cận ⟺ có 2 TCĐ phân biệt ⟺ $\Delta >0$ và các nghiệm khác 1, 2: $m<1$, $m\ne 0$ (và $m\ne 1$ đã bao gồm). Các giá trị nguyên $m\in [-8;8]$: $m\in \{-8,-7,\dots ,-1\}$, gồm 8 phần tử, không phải 7. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử bằng bậc mẫu, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCNG $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $x(x-2)=0$ cho 2 TCĐ $x=0$, $x=2$ (không trùng nghiệm tử) và TCNG $y=1$: tổng 3 tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng một TCĐ khi và chỉ khi $m=1$ (nghiệm kép $x=1$); $m=0$ cho 2 TCĐ. Vậy chỉ có 1 giá trị $m$, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m<1$ và $m\ne 0$; các giá trị nguyên trong $[-8;8]$ là $\{-8,-7,\dots ,-1\}$: 8 phần tử, không phải 7.