Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $OAB$ với $O(0;0;0)$, $A(1;2;-1)$, $B(-1;4;-5)$ là $G=\left(\frac{0+1-1}{3};\frac{0+2+4}{3};\frac{0-1-5}{3}\right)=(0;2;-2)$. Suy ra $a+b-c=0+2-(-2)=4$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2101, Phần III Câu 6: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=-2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ nên tọa độ của vectơ là $\vec{a}=(-2;-1;3)$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và đáp án B của Mã đề 2101, Câu 4 trong bảng đáp án chính thức (trang 28).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{a}+\vec{b}=(2+1;-1+0;3+(-2))=(3;-1;1)$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề và bảng đáp án (Câu 7, Mã đề 2101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;-1;2)$, $B(3;3;3)$, $C(-1;-2;2)$: $$D=(1+(-1)-3;-1+(-2)-3;2+2-3)=(-3;-6;1).$$ Vậy tọa độ điểm $D$ là $(-3;-6;1)$, khớp với đáp án B (bảng đáp án mã đề 2101, Câu 8: B).

Ta có:
$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}$.
$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{57}$.
$d_3=CA=\sqrt{(1-9{)}^2+(1-11{)}^2+(1-14{)}^2}=3\sqrt{37}$.
Vậy $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+3\sqrt{37}\approx 36,6$.

Lời giải gốc (trang 12) kết luận "Chọn C" vì trong bản in lời giải, thứ tự phương án khác: B là 37,1 và C là 36,6. Trong đề thi (trang 5, mã đề 2102), phương án có giá trị $36,6$ là B, nên đáp án cho câu này là B.

Vì $\vec{a}=-2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$ nên tọa độ của vecto là $\vec{a}=(-2;1;3)$, tương ứng với hệ số của $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;4;0), S(0;0;6), C(2;4;0).
a) Trung điểm BD = ((2+0)/2;(0+4)/2;(0+0)/2) = (1;2;0) ≠ (1;2;3) → sai.
b) S thuộc Oz và SA = 6 nên S(0;0;6) → đúng.
c) SB = (2;0;−6), CD = (−2;0;0), SB·CD = −4 → đúng.
d) SC = (2;4;−6), BD = (−2;4;0); SC·BD = −4+16+0 = 12; |SC| = √56, |BD| = √20; cos = 12/√1120 ≈ 0,3586 → góc ≈ 69,0° < 70° → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BD = (1;2;0), không phải (1;2;3) → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 6 nên S(0;0;6) → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−6), CD = (−2;0;0), tích vô hướng = −4 → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(SC,BD) = 12/√1120 ≈ 0,3586 nên góc ≈ 69,0° < 70° → sai.

Trọng tâm tam giác $OAB$: $G=\left(\frac{0+1-1}{3};\frac{0+2+4}{3};\frac{0-1-5}{3}\right)=(0;2;-2)$. Vậy $a-b^2+c=0-2^2+(-2)=-6$.

Xét tam giác OCM vuông tại C. Ta có: $OC=OM\cos 60^{\circ }=6=p$; $CM=OM\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}=ON$.
Xét tam giác OBN vuông tại B. Ta có: $OB=ON\cos 30^{\circ }=9=3n$; $BN=ON\sin 30^{\circ }=3\sqrt{3}=OA=m\sqrt{3}$.
Ta có tọa độ $M(3\sqrt{3};9;6)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(3\sqrt{3};9;6)=(\sqrt{3}m;3n;p)$.
Vậy $m+n+p=3+3+6=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án là C.

Gọi $D(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+1;z-2)$, $\overrightarrow{BC}=(-4;-5;-1)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-1=-4\\ y+1=-5\\ z-2=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-6\\ z=1\end{array}$. Vậy $D(-3;-6;1)$. Chọn C.

Ta có $2\vec{b}=(2;0;-4)$ nên $\vec{a}-2\vec{b}=(2-2;-1-0;3-(-4))=(0;-1;7)$. Chọn D. (Nguồn: lời giải trang 10–11, đáp án khớp bảng đáp án Mã đề 2102 Câu 6 = D ở trang 28.)

Áp dụng quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Chọn C

Ta có:
$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}$.
$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{57}$.
$d_3=CA=\sqrt{(1-9{)}^2+(1-11{)}^2+(1-14{)}^2}=3\sqrt{37}$.
Vậy $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+3\sqrt{37}\approx 36,6$. Chọn C

a) $\overrightarrow{SB}=(2;0;-6)$, $\overrightarrow{CD}=(-2;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=2.(-2)=-4$. » Chọn ĐÚNG.
b) Tọa độ của điểm $S$ là $(0;0;6)$. » Chọn ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{SC}=(2;4;-6),\overrightarrow{BD}=(-2;4;0)$ $\Rightarrow \cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=\frac{2.(-2)+4.4+(-6).0}{\sqrt{2^2+4^2+(-6{)}^2}\sqrt{(-2{)}^2+4^2+0^2}}=\frac{3\sqrt{70}}{70}$ $\Rightarrow (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=68.99^{\circ }$. » Chọn SAI.
d) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $BD$ là $(1;2;0)$. » Chọn SAI.
a) $\overrightarrow{SB}=(2;0;-6)$, $\overrightarrow{CD}=(-2;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=2.(-2)=-4$. » Chọn ĐÚNG.
b) Tọa độ của điểm $S$ là $(0;0;6)$. » Chọn ĐÚNG.
c) $$\overrightarrow{SC}=(2;4;-6),\overrightarrow{BD}=(-2;4;0)$$ $$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=\frac{2.(-2)+4.4+(-6).0}{\sqrt{2^2+4^2+(-6{)}^2}\sqrt{(-2{)}^2+4^2+0^2}}=\frac{3\sqrt{70}}{70}$$ $$\Rightarrow (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=68.99^{\circ }$$ » Chọn SAI.
d) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $BD$ là $(1;2;0)$. » Chọn SAI.

Xét tam giác $OCM$ vuông tại $C$: $OC=OM.\cos 60^{\circ }=6=p$; $CM=OM.\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}=ON$. Xét tam giác $OBN$ vuông tại $B$: $OB=ON.\cos 30^{\circ }=9=3n$; $BN=ON.\sin 30^{\circ }=3\sqrt{3}=OA=m\sqrt{3}$. Ta có tọa độ $M\left(3\sqrt{3};9;6\right)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(3\sqrt{3};9;6\right)=\left(\sqrt{3}m;3n;p\right)$. Vậy $m+n+p=3+3+6=12$.

$G(a;b;c)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$. Ta được $G=(0;2;-2)$. Vậy $a-b^2+c=0-2^2+(-2)=-6$.

$\vec{a}=-2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=(-2;1;3)$. Chọn C

$2\vec{b}=(2;0;-4)$
$$\vec{a}-2\vec{b}=\left(2-2;-1-0;3-(-4)\right)=(0;-1;7).$$ Chọn D

Gọi $D(x;y;z)$. Ta có: $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+1;z-2)$, $\overrightarrow{BC}=(-4;-5;-1)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-1=-4\\ y+1=-5\\ z-2=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-6\\ z=1\end{array}$$
Vậy $D(-3;-6;1)$. Chọn C