Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $D(0;24;0)$, $E(0;0;7)$, $F(10;0;7)$, $G(10;24;7)$, $H(0;24;7)$. Nhà kho cao $9m$ nên đỉnh mái nằm trên mặt phẳng $z=9$. Mái $EFIK$ là hình chữ nhật với $EF=10$, nên cạnh $IK$ song song với $EF$ và $I,K$ là trung điểm các cạnh $AD,BC$ nâng lên độ cao $9$: $I(0;12;9)$, $K(10;12;9)$. Khi đó $\overrightarrow{FI}=(-10;12;2)$, $\overrightarrow{FG}=(0;24;0)$.

$$\cos (\overrightarrow{FI},\overrightarrow{FG})=\frac{\overrightarrow{FI}\cdot \overrightarrow{FG}}{|\overrightarrow{FI}||\overrightarrow{FG}|}=\frac{0+288+0}{\sqrt{100+144+4}\cdot 24}=\frac{288}{\sqrt{148}\cdot 24}=\frac{12}{\sqrt{148}}=\frac{6}{\sqrt{37}}.$$

Vậy $\cos \widehat{IFG}=\frac{6}{\sqrt{37}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba vectơ đồng phẳng khi định thức ma trận hệ số theo $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ bằng 0 (vì $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng nên là cơ sở).

A: các hàng $(1,1,2),(2,-3,-6),(-1,3,6)$:
$\det =1(-18+18)-1(12-6)+2(6-3)=0-6+6=0$ → đồng phẳng. Thực tế $\vec{y}+2\vec{z}=(2,-3,-6)+2(-1,3,6)...$ kiểm tra: $\vec{y}+\vec{z}=(1,0,0)$, và $\vec{x}-\vec{z}=(2,-2,-4)$... cách nhanh nhất là định thức bằng 0 như trên.

B: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 3& -3& 2\\ 2& -3& -3\end{array}\right)=1(9+6)+2(-9-4)+4(-9+6)=15-26-12=-23\ne 0$.

C: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -3& 1\\ -1& 3& 3\end{array}\right)=1(-9-3)-1(6+1)+1(6-3)=-16\ne 0$.

D: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& 3\\ -1& -1& 2\end{array}\right)=1(-2+3)-1(4+3)-1(-2-1)=1-7+3=-3\ne 0$.

Vậy chỉ khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ với $|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{u}|=a$, $\vec{b}\cdot \vec{u}=a^2\cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$, $\vec{c}\cdot \vec{u}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.

a) $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{u}$ nên $x=y=\frac{1}{2},z=-1$, khi đó $x+y=1\ne z=-1$ → sai.

b) $\overrightarrow{NB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ nên $-2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{NB}$ → đúng.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{u}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ → đúng.

d) $\overrightarrow{C^{\prime }N}=\vec{b}-\vec{c}-\frac{1}{3}\vec{u}$. Khi đó
$\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-\vec{c})-\frac{1}{6}(\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{b}+\vec{u}\cdot \vec{c}+\frac{1}{3}|\vec{u}{|}^2$.
Số hạng đầu bằng $\frac{1}{2}(|\vec{b}{|}^2-|\vec{c}{|}^2)=0$; $\frac{1}{6}(\vec{b}\cdot \vec{u}+\vec{c}\cdot \vec{u})=0$. Còn lại: $\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $x=y=\frac{1}{2},z=-1$, do đó $x+y=1\ne -1=z$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, nên $-2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\overrightarrow{NB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overrightarrow{C^{\prime }N}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tính tích có hướng có dụng các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\frac{a^2}{2}$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{a^2}{2}$, được $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn thẳng AB với A(2;2;3), B(0;-4;1) có tọa độ $x=\frac{2+0}{2}=1$, $y=\frac{2+(-4)}{2}=-1$, $z=\frac{3+1}{2}=2$. Vậy trung điểm là $(1;-1;2)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\vec{a}-\vec{b}=(2;4;6)-(0;-1;1)=(2;5;5)$. Độ dài $|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2^2+5^2+5^2}=\sqrt{54}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;5;0), C(0;5;0), E(0;0;3), F(4;0;3), H(0;5;3), G(4;5;3), P(2;0;4), Q(2;5;4).
a) A nằm trên trục Ox với OA = 4 nên A(4;0;0). Đúng.
b) $\overrightarrow{AH}=H-A=(0-4;5-0;3-0)=(-4;5;3)\ne (4;5;3)$. Sai.
c) Thể tích = khối hộp $4\times 5\times 3=60$ cộng khối mái (lăng trụ tam giác, cạnh đáy tam giác trong mặt phẳng Oyz là 5, chiều cao 1, chiều dài 4): $\frac{5\cdot 1}{2}\cdot 4=10$. Tổng $V=70m^3$. Đúng.
d) Điểm M trên BG: $M(4;5;t)$, $0\le t\le 3$; điểm N trên OE: $N(0;0;s)$, $0\le s\le 3$. Tổng chiều dài $f=\sqrt{41+t^2}+\sqrt{41+(t-s{)}^2}+\sqrt{41+(3-s{)}^2}$. Đặt $u=t,v=3-s$: $f=\sqrt{41+u^2}+\sqrt{41+(u+v-3{)}^2}+\sqrt{41+v^2}$. Do tính đối xứng, xét $u=v$: $f(u)=2\sqrt{41+u^2}+\sqrt{41+(2u-3{)}^2}$; $f^{\prime }(u)=\frac{2u}{\sqrt{41+u^2}}+\frac{2(2u-3)}{\sqrt{41+(2u-3{)}^2}}=0\iff u=1$ (khi đó hai số hạng đối nhau). Kiểm tra biên (u=0 hoặc v=0) cho giá trị lớn hơn (~19,53). Vậy $f_{min}=2\sqrt{42}+\sqrt{41}\approx 19,3645$ m, chi phí $\approx 19,3645\times 50000\approx 968226$ đồng, làm tròn đến hàng nghìn là 970 000 đồng. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(4;0;0) vì A nằm trên trục Ox, OA = 4 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
H(0;5;3), A(4;0;0) nên $\overrightarrow{AH}=(-4;5;3)$, không phải (4;5;3).
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=4\cdot 5\cdot 3+\frac{5\cdot 1}{2}\cdot 4=60+10=70m^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều dây ngắn nhất $2\sqrt{42}+\sqrt{41}\approx 19,3645$ m, chi phí $\approx 968226\approx 970000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi) Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(4;0;0)$, $D=(0;3;0)$, $A^{\prime }=(0;0;2\sqrt{3})$. Thể tích nước $12\sqrt{3}$, đáy diện tích $12$ nên mặt nước là mặt phẳng $z=\sqrt{3}$; do đó $M=(0;0;\sqrt{3})$, $E=(4;3;\sqrt{3})$, và máy bơm $I=M+\frac{2}{5}(E-M)=\left(\frac{8}{5};\frac{6}{5};\sqrt{3}\right)$ (tọa độ theo khối bể). Khi nghiêng bể quanh trục $Oy$ một góc $\alpha$ (quay trong mặt phẳng $Oxz$): điểm $(x;y;z)$ của khối bể có tọa độ mới $x^{\prime }=x\cos \alpha -z\sin \alpha$, $z^{\prime }=x\sin \alpha +z\cos \alpha$. Mặt nước nằm ngang và chứa cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$, tức là mặt phẳng $z^{\prime }=2\sqrt{3}\cos \alpha$. Trong tọa độ khối bể, tại vị trí $x$ mực nước đạt $z=2\sqrt{3}-x\tan \alpha$. Bảo toàn thể tích: $3{\int }_0^4(2\sqrt{3}-x\tan \alpha )dx=24\sqrt{3}-24\tan \alpha =12\sqrt{3}$, suy ra $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{7}}$, $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ (khi đó mực nước tại $x=4$ bằng $0$, tức $E\equiv C$, $M\equiv A^{\prime }$, $N\equiv D^{\prime }$ như hình vẽ). Tọa độ máy bơm sau khi nghiêng: $x_o=\frac{8}{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{1}{5\sqrt{7}}$, $y_o=\frac{6}{5}$, $z_o=\frac{8}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}+\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{18\sqrt{21}}{35}$. Vậy $\frac{x_o}{\sqrt{7}}+5y_o+\frac{5z_o}{\sqrt{21}}=\frac{1}{35}+6+\frac{90}{35}=\frac{43}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $CD$: $M=\left(\frac{1-5}{2};\frac{1+5}{2};\frac{2-12}{2}\right)=(-2;3;-5)$. Đường trung tuyến đỉnh $O$ đi qua $O(0;0;0)$ và $M$, nên một vector chỉ phương là $\overrightarrow{OM}=(-2;3;-5)$, tỉ lệ với $(4;-6;10)$ (nhân với $-2$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(x;y;z)$ đến gốc tọa độ là $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{10}$, tức $x^2+y^2+z^2=10$. Kiểm tra: A: $1^2+(-1{)}^2+2^2=6\ne 10$. B: $1^2+(-2{)}^2+2^2=9\ne 10$. C: $3^2+(-1{)}^2+0^2=10$ thỏa mãn. D: $2^2+(-1{)}^2+3^2=14\ne 10$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B$. Thay tọa độ: $x_D=1+(-1)-3=-3$, $y_D=-1+(-2)-3=-6$, $z_D=2+2-3=1$. Vậy $D(-3;-6;1)$, khớp đáp án D của đề (theo bảng đáp án Mã đề 2102, trang 28).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=-2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ nên tọa độ của vectơ là các hệ số tương ứng theo các vectơ đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$: $\vec{a}=(-2;-1;3)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, sau đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo hình hộp xuất phát từ $A$). Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;6;0), S(0;0;7), C = B + D − A = (2;6;0).
a) S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7). ĐÚNG.
b) SB = (2;0;−7), CD = D − C = (−2;0;0), tích vô hướng = −4. ĐÚNG.
c) Trung điểm BD = (1;3;0), không phải (1;3;7). SAI.
d) SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); cos = 32/√3560 ≈ 0,5364 nên góc ≈ 57,6° < 60°. SAI.
Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 2102 (a Đ, b Đ, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−7), CD = (−2;0;0), tích vô hướng = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BD là (1;3;0), không phải (1;3;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(SC, BD) = 32/√3560 ≈ 0,5364 nên góc ≈ 57,6° < 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động thẳng đều nên vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 10 phút tiếp theo (cùng khoảng thời gian), vị trí $D=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Suy ra $x-y+z=1080-600+9=489$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 3: 489).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác OAB: $G=\left(\frac{0+1+(-1)}{3};\frac{0+2+4}{3};\frac{0+(-1)+(-5)}{3}\right)=(0;2;-2)$. Vậy $a+b-c=0+2-(-2)=4$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 5: 4).

Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Phần I, Câu 5, Mã đề 2102): C. Nguồn chỉ cung cấp đáp án, không có lời giải chi tiết.

Theo bảng đáp án các mã đề (trang 28), câu 6 của Mã đề 2102 có đáp án D. Kiểm tra: $d_1=AB=\sqrt{(6-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-2{)}^2}=\sqrt{110}\approx 10,5$; $d_2=AC=\sqrt{(8-1{)}^2+(11-1{)}^2+(14-2{)}^2}=\sqrt{293}\approx 17,1$; $d_3=BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{45}\approx 6,7$. Vậy $d_1+d_2+d_3\approx 34,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(ABCD)$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Sau đó, vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính các khoảng cách: $AB=\sqrt{(6-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-2{)}^2}=\sqrt{25+36+49}=\sqrt{110}\approx 10,49$; $AC=\sqrt{(8-1{)}^2+(11-1{)}^2+(14-2{)}^2}=\sqrt{49+100+144}=\sqrt{293}\approx 17,12$; $BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}\approx 6,71$. Vậy $d_1+d_2+d_3\approx 10,49+17,12+6,71\approx 34,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 12, Mã đề 2101: A).

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;6;0), S(0;0;7), C(2;6;0).
a) Trung điểm BD = ((2+0)/2; (0+6)/2; 0) = (1;3;0) ≠ (1;3;7) → Sai.
b) SB = B−S = (2;0;−7), CD = D−C = (−2;0;0), SB·CD = −4 → Đúng.
c) S thuộc Oz, SA = 7 nên S(0;0;7) → Đúng.
d) SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); SC·BD = −4+36+0 = 32, |SC| = √89, |BD| = √40, cos = 32/√3560 ≈ 0,536 → góc ≈ 57,6° < 60° → Sai.
Khớp đáp án mã đề 2101 (trang 28): S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), D(0;6;0) nên trung điểm BD là (1;3;0), không phải (1;3;7).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−7), CD = (−2;0;0), tích vô hướng SB·CD = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); cos = 32/(√89·√40) ≈ 0,536 nên góc ≈ 57,6° < 60°.