Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(8;10;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+60+24=116$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{64+100+9}=\sqrt{173}$. Do đó $\cos \widehat{BAC}=\frac{116}{\sqrt{116\cdot 173}}=\sqrt{\frac{116}{173}}\approx 0,8189$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 35^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D. (Hình minh họa drone chỉ mang tính minh họa, không ảnh hưởng đến phép tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ vuông góc với cả hai vectơ là tích có hướng: $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$. Với $\vec{a}=(1;0;2)$, $\vec{b}=(-2;1;0)$: thành phần thứ nhất $=0\cdot 0-2\cdot 1=-2$; thành phần thứ hai $=2\cdot (-2)-1\cdot 0=-4$; thành phần thứ ba $=1\cdot 1-0\cdot (-2)=1$. Vậy $\vec{c}=(-2;-4;1)$. Kiểm tra: $\vec{c}\cdot \vec{a}=-2+0+2=0$, $\vec{c}\cdot \vec{b}=4-4+0=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=(-1)(0)+(1)(-1)+(0)(0)=-1$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0}=\sqrt{2}$, $|\vec{v}|=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+0}=1$. Vậy $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot 1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ là $135^0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) ABCE là hình bình hành (theo thứ tự đỉnh) thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$, tức $E=A+C-B=(1+1-(-1);1+4-0;3+5-1)=(3;5;7)$ → đúng.
b) $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$ → đúng.
c) Phân giác trong từ $B$ cắt $AC$ tại $D$ với $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, nên $D=\frac{2A+C}{3}=\left(1;2;\frac{11}{3}\right)$, vậy $x_D=1$ → đúng.
d) Với $\overrightarrow{AB}=(-2;-1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(0;3;2)$ thì $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4;4;-6)$, $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}=\sqrt{17}\approx 4,12\ne 2\sqrt{17}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
ABCE là hình bình hành thì E = A + C - B = (3;5;7).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
AB = √(4+1+4) = 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
AD/DC = AB/BC = 3/6 = 1/2, D = (2A+C)/3 = (1;2;11/3), nên x_D = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với AB = (-2;-1;-2), AC = (0;3;2) thì AB×AC = (4;4;-6), |AB×AC| = √(16+16+36) = 2√17, diện tích = ½·2√17 = √17 ≈ 4,12 ≠ 2√17 → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn $MN$ có tọa độ $I=\left(\frac{3+0}{2};\frac{4+1}{2};\frac{6+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};2\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OM}=-3\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$ ta có $M(-3;2;-1)$. Điểm đối xứng của $M(x_0;y_0;z_0)$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ là $M^{\prime }(x_0;y_0;-z_0)$, nên $M^{\prime }(-3;2;1)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}$ nên tồn tại $k$ sao cho $\vec{b}=k\vec{a}$. Từ hoành độ: $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$. Suy ra $m-1=3k=6\Rightarrow m=7$; và $2n+3=-2k=-4\Rightarrow n=-\frac{7}{2}$. Vậy $S=m-2n=7-2\left(-\frac{7}{2}\right)=7+7=14$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{a}+\vec{b}=(2+1;3+1;2+(-1))=(3;4;1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; −2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm có cùng hoành độ và tung độ với M, còn tung độ z = 0. Vậy hình chiếu là H(2; −2; 0). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A là trọng tâm tam giác BCE nên $\vec{A}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{E}}{3}$, suy ra $E=3A-B-C$. Tính: $x_E=3\cdot 5-(-2)-0=17$; $y_E=3\cdot (-2)-3-2=-11$; $z_E=3\cdot 0-0-3=-3$. Vậy $E(17;-11;-3)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A gốc, AB, AD, AA' là các vectơ đơn vị theo ba phương (cạnh 3, dùng vectơ đơn vị). a) DC' = C' − D = C'D (do C'D song song cùng chiều A'B'), nên A'B' − DC' = A'B' − A'B'... xét kỹ: DC' = A'B' nên hiệu bằng 0? Kiểm tra: C' = D + AA' + DC, nên DC' = AA' + DC = AA' + AB = A'B'. Vậy A'B' − DC' = 0, độ dài bằng 0 ≠ 3 → sai. b) AB + AC + AA' = AB + (AB + AD) + AA' = 2AB + AD + AA' ≠ AC' = AB + AD + AA' → sai. c) B'C = BC − BB' (vì B'C = C − B' = (C − B) + (B − B')). AB ⊥ BC và AB ⊥ BB' nên AB·B'C = 0 ≠ −9 → sai. d) C'N = 2NB' ⇒ N = (C' + 2B')/3 ⇒ AN = (AC' + 2AB')/3 = (AB + AD + AA' + 2AB + 2AA')/3 = AB + (1/3)AD + AA' → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì DC' = A'B' (hai vectơ cùng phương, cùng chiều, bằng nhau), nên A'B' − DC' = 0, độ dài bằng 0 ≠ 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB + AC + AA' = 2AB + AD + AA' ≠ AC' = AB + AD + AA'.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'C = BC − BB', mà AB ⊥ BC và AB ⊥ BB' nên AB·B'C = 0 ≠ −9.
d) (AI giải đề cho tôi)
C'N = 2NB' ⇒ N chia C'B' theo tỉ số 2 ⇒ AN = (AC' + 2AB')/3 = AA' + AB + (1/3)AD.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;-1;3), B(1;2;-1), C(-4;7;5).
a) $\overrightarrow{AB}=(-1;3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8;2)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(-6)+3\cdot 8+(-4)\cdot 2=6+24-8=22\ne 6$ → sai.
b) M trung điểm AC: $M(-1;3;4)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1;5)$, $BM=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}$ → đúng.
c) Hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $D=B+C-A=(-5;10;1)$, $a+b+c=6\ne 10$ → sai.
d) $AB=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ nên $\frac{IB}{IC}=\frac{1}{2}$, $I=\frac{2B+C}{3}=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$, $O{I}^2=\frac{4}{9}+\frac{121}{9}+1=\frac{134}{9}$, $OI=\frac{\sqrt{134}}{3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8;2)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(-6)+3\cdot 8+(-4)\cdot 2=6+24-8=22\ne 6$ → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$M(-1;3;4)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1;5)$, $BM=\sqrt{30}$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$D=B+C-A=(-5;10;1)$ nên $a+b+c=6\ne 10$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{26}$, $AC=2\sqrt{26}$, $\frac{IB}{IC}=\frac{1}{2}$, $I=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$, $OI=\frac{\sqrt{134}}{3}$ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên p = 0. Vecto AB = (-10; 4; -2). Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên C = A + t·AB, tức (m; n; 0) = (2 - 10t; 3 + 4t; -1 - 2t). Từ hoành độ z: -1 - 2t = 0 ⟹ t = -1/2. Suy ra m = 2 - 10·(-1/2) = 7, n = 3 + 4·(-1/2) = 1. Vậy m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vectơ đường chéo của hình hộp).
- B đúng: trong mặt phẳng $(ABCD)$, theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
- C đúng: vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$.
- D sai: trong hình lập phương, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng với $\overrightarrow{DC}$), còn $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, tức hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}$.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $MN$: $x=\frac{-3+1}{2}=-1$, $y=\frac{0+2}{2}=1$, $z=\frac{1+(-1)}{2}=0$. Vậy trung điểm có tọa độ $(-1;1;0)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $BC$: $M=\left(\frac{3+1}{2};\frac{5+1}{2};\frac{-4-2}{2}\right)=(2;3;-3)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=A-M=(1;-5;6)$ và $\overrightarrow{MB}=B-M=(1;2;-1)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=1-10-6=-15$; $|\overrightarrow{MA}|=\sqrt{1+25+36}=\sqrt{62}$; $|\overrightarrow{MB}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.
$$\cos \widehat{AMB}=\frac{-15}{\sqrt{62}\sqrt{6}}=\frac{-15}{\sqrt{372}}\approx -0,7777.$$
Suy ra $\widehat{AMB}\approx 141,0^{\circ }$, làm tròn đến hàng đơn vị: $141^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 0+1\cdot (-2)+0\cdot 2=-2$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Suy ra $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$. Vì góc giữa hai vectơ thuộc $[0^{\circ };180^{\circ }]$ nên góc bằng $120^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác OBC đều cạnh 2 (OB=OC=BC=2), trọng tâm đáy là $\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;0\right)$, nên $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)$ (SO=2).
a) Sai: $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)\ne \left(\frac{\sqrt{3}}{2};1;\frac{3}{2}\right)$.
b) Điểm cách đều 4 đỉnh nằm trên đường thẳng qua tâm đáy vuông góc đáy: $I=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;c\right)$. IO²=IS² $\Rightarrow \frac{1}{3}+1+c^2=(2-c{)}^2\Rightarrow c=\frac{2}{3}$. Khi đó $2(a+b+c)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+1+\frac{2}{3}\right)=\frac{2(5+\sqrt{3})}{3}\approx 4,49\ne 2+\sqrt{3}\approx 3,73$ → Sai.
c) $M=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $K=(0;1;0)$, $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $\overrightarrow{SK}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};0;-2\right)$. Tích vô hướng $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{1}{2}$ → Đúng.
d) ${\vec{u}}_{OM}=(1;\sqrt{3};0)$, ${\vec{u}}_{SK}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};0;-2\right)$, $\vec{n}={\vec{u}}_{OM}\times {\vec{u}}_{SK}=(-2\sqrt{3};2;1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{17}$, $\overrightarrow{OS}\cdot \vec{n}=-2+2+2=2$. Vậy $d(OM,SK)=\frac{2}{\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}\approx 0,485\ne \frac{2\sqrt{70}}{35}\approx 0,478$ → Sai.
a) Tâm đáy (trọng tâm tam giác đều OBC) là $\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;0\right)$, nên $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)$, khác $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1;\frac{3}{2}\right)$.
b) $I=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;\frac{2}{3}\right)$ nên $2(a+b+c)=\frac{2(5+\sqrt{3})}{3}\ne 2+\sqrt{3}$.
c) $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{SK}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
d) Khoảng cách thực tế là $\frac{2}{\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}\approx 0,485$, khác $\frac{2\sqrt{70}}{35}\approx 0,478$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M(t;0;0)$ trên trục $Ox$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})-3\vec{M}=(9-3t;6;0)$, nên $4|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=12\sqrt{(t-3{)}^2+4}$. Tương tự $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(4-2t;8;0)$, nên $6|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=12\sqrt{(t-2{)}^2+16}$. Vậy $Q=12\left[\sqrt{(t-3{)}^2+2^2}+\sqrt{(t-2{)}^2+4^2}\right]$. Biểu thức trong ngoặc là tổng khoảng cách từ điểm $(t;0)$ đến $(3;2)$ và $(2;-4)$ (lấy điểm đối xứng qua trục hoành), theo bất đẳng thức tam giác giá trị nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa $(3;2)$ và $(2;-4)$: $\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}$, đạt khi $(t;0)$ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm. Do đó $Q_{\min }=12\sqrt{37}$, với $a=12$, $b=37$ (nguyên tố), nên $a+b=49$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\iff \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}$, đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}$? Xét lại: $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, nên đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\iff \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}$, đúng.
- D: Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (chứng minh: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AM}$ với $M$ trung điểm $CD$, mà $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$, do đó tổng bằng $3\overrightarrow{AG}$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\ne 3\overrightarrow{GA}$, khẳng định D là sai.