Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9\Rightarrow a=3$. Theo định nghĩa hypebol, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên $(H)$ đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2a=2\cdot 3=6$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $p>0$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục đối xứng là Ox, parabol hướng về phía dương của Ox). Trong các phương trình: $x^2=2y$ có trục đối xứng là Oy (không phải dạng chính tắc chuẩn trong SGK); $y^2=-4x$ và $y^2=-8x$ có $p<0$ (parabol hướng về phía âm của Ox, không phải dạng chính tắc). Vậy phương trình chính tắc là $y^2=6x$ với $2p=6\Rightarrow p=3>0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=\frac{1}{4}x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{8}$. Tiêu điểm là $F(p;0)=F\left(\frac{1}{8};0\right)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét từng phương trình: A) $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$ có đúng dạng chính tắc với $a^2=2,b^2=4$, thỏa mãn. B) $4x^2+8y^2=32\iff \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ là elip nhưng chưa ở dạng chính tắc (cần biến đổi). C) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=-1$ vô nghiệm vì vế trái không âm, không phải elip. D) $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình chính tắc của hyperbol, không phải elip. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=4,b^2=1$ nên $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ có $a^2=4,b^2=1$ nên $c^2=a^2+b^2=5$, $c=\sqrt{5}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$), tiêu cự $2c$ thỏa mãn $c^2=a^2-b^2$, suy ra $a^2=b^2+c^2$. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a\ge b>0$. Xét các phương án: A) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ có $a^2=4\ge b^2=2>0$, là phương trình chính tắc của elip. B) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ là hyperbol. C) $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$ tuy là elip nhưng $a^2=2<b^2=4$, không đúng dạng chính tắc với $a\ge b$. D) $y^2=x$ là parabol. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (dấu trừ giữa hai số hạng, vế phải bằng 1). Xét các phương án: A: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ có dấu trừ và vế phải bằng 1 nên là phương trình chính tắc của hypebol. B và C có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là phương trình chính tắc của elip. D: $y^2=x$ là phương trình chính tắc của parabol. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$. Trong các đáp án: A là $y^2=2x$ (parabol với $2p=2$); B là hyperbol; C là elip; D là $y=2x^2$ không phải dạng chính tắc. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1$ có $a^2=9$, $b^2=5$, nên $c^2=a^2+b^2=9+5=14$, suy ra $c=\sqrt{14}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{14}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{8}=1$ có $a^2=10$, $b^2=8$ nên $c^2=a^2-b^2=2$, $c=\sqrt{2}$. Vì $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-\sqrt{2};0)$, $F_2(\sqrt{2};0)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16$, $b^2=9$ nên $c^2=a^2+b^2=25$, $c=5$. Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-5;0)$, $F_2(5;0)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế của $5x^2-3y^2=1$ cho 1, ta được $\frac{x^2}{1/5}-\frac{y^2}{1/3}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $p>0$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục đối xứng là Ox, bề lõm hướng về phía dương). Xét các phương trình: $x^2=6y$ và $x^2=-6y$ có trục đối xứng là Oy (dạng $x^2=2py$), không phải dạng chính tắc chuẩn theo Ox; $y^2=-6x$ có $2p=-6<0$ nên không thỏa mãn $p>0$. Riêng $y^2=6x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=6\Rightarrow p=3>0$, đúng là phương trình chính tắc của parabol với bề lõm hướng theo chiều dương của trục hoành. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$. Theo đề, $\frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10$, nên phương trình chính tắc là $y^2=20x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$. So sánh với $y^2=x$ ta được $2p=1$, suy ra $p=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy đường cong gồm hai nhánh đối xứng qua gốc tọa độ, mỗi nhánh mở về hai phía của trục hoành (dạng hai cung cong hướng ra ngoài, tiệm cận hai đường thẳng qua gốc) — đây là đặc trưng của hypebol. Elip và đường tròn là đường cong khép kín, parabol chỉ có một nhánh. Vậy đường cong trong hình là hypebol.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=4$ vào phương trình hypebol $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$: $\frac{16}{16}-\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow -\frac{y^2}{9}=0\Rightarrow y=0$. Vậy điểm thuộc hypebol là $M(4;0)$, đáp án C. Kiểm tra các điểm khác: $M(4;3)$: $1-1=0\ne 1$; $M(4;2)$: $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\ne 1$; $M(4;1)$: $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\ne 1$.