Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4x(x^2-5)$, $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{5}$. Trên đoạn $[-1;2]$ chỉ có $x=0$ thuộc đoạn. Tính: $f(-1)=1-10+2=-7$; $f(0)=2$; $f(2)=16-40+2=-22$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-22$ tại $x=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ liên tục trên $[2;4]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $[2;4]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=3$; $y^{\prime }<0$ với $x\in [2;3)$ và $y^{\prime }>0$ với $x\in (3;4]$. Tính: $y(2)=\frac{7}{1}=7$, $y(3)=\frac{12}{2}=6$, $y(4)=\frac{19}{3}$. Vậy $\underset{[2;4]}{\min }y=6$ tại $x=3$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^2+\frac{2}{x}$ trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$. Ta có $y^{\prime }=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$. Trên đoạn đã cho, $x>0$ nên $y^{\prime }=0\iff x=1$. Tính giá trị tại các điểm: $y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$; $y(1)=1+2=3$; $y(2)=4+1=5$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $m=3$ tại $x=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ xác định trên $[0;2]$ vì $x=3\notin [0;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x-3)-(3x-1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-8}{(x-3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số nghịch biến trên $[0;2]$. Do đó $M=y(0)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$ và $y(2)=\frac{5}{-1}=-5$ là giá trị nhỏ nhất. Vậy $M=\frac{1}{3}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{\ln x}{x}$ xác định trên $[2;3]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1-\ln x}{x^2}$. Trên $[2;3]$ thì $\ln x>1$ nên $y^{\prime }<0$... kiểm tra lại: với $x\in [2;3]$, $\ln x\in [\ln 2;\ln 3]\approx [0.693;1.099]$. Tại $x=e\approx 2.718$ thì $y^{\prime }=0$; với $x<e$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>e$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $[2;e]$ và nghịch biến trên $[e;3]$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=e$ với $y(e)=\frac{1}{e}$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại một trong hai đầu mút: $y(2)=\frac{\ln 2}{2}\approx 0.3466$, $y(3)=\frac{\ln 3}{3}\approx 0.3662$. So sánh: $\frac{\ln 2}{2}<\frac{\ln 3}{3}$ (vì $3\ln 2\approx 2.079<2\ln 3\approx 2.197$). Vậy $\underset{[2;3]}{\min }y=\frac{\ln 2}{2}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3-\frac{8}{x^3}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$. Với $0<x<\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$. Khi đó $y=3\cdot \frac{2}{\sqrt[3]{3}}+\frac{4}{{\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)}^2}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}+4\cdot \frac{3^{2/3}}{4}=2\cdot 3^{2/3}+3^{2/3}=3\cdot 3^{2/3}=3\sqrt[3]{9}$. Vậy $\underset{(0;+\infty )}{\min }y=3\sqrt[3]{9}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $4-x\ge 0\iff x\le 4$, tức $D=(-\infty ;4]$. Hàm số $y=\sqrt{4-x}+\sqrt{3}$ nghịch biến trên $(-\infty ;4]$ vì $y^{\prime }=-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}<0$ với mọi $x<4$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=4$: $y(4)=\sqrt{0}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên ℝ. Ta có y' = (5−x)/(x²+5)^{3/2}, nên y'>0 khi x<5 và y'<0 khi x>5: hàm đồng biến trên (−∞;5) và nghịch biến trên (5;+∞), đạt giá trị lớn nhất tại x=5 với max y = 6/√30. Vì hàm đồng biến trên (−∞;5) và lim_{x→−∞} y = −1 (không đạt tới), hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Vậy hàm có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, hàm số $f(t)=2t-\frac{4}{3}{t}^3$. Có $f^{\prime }(t)=2-4t^2=0\Rightarrow t=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính: $f(1)=\frac{2}{3}$, $f(-1)=-\frac{2}{3}$, $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vậy $\underset{[0;\pi ]}{\max }y=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, đạt được khi $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (tức $x=\frac{\pi }{4}$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x{e}^{2x}+2(x^2-2)e^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2)=2e^{2x}(x+2)(x-1)$. Trên đoạn $[-1;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=1$ (nghiệm $x=-2$ không thuộc đoạn). Với $x\in [-1;1)$ thì $f^{\prime }<0$, với $x\in (1;2]$ thì $f^{\prime }>0$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tính giá trị: $f(-1)=(1-2)e^{-2}=-e^{-2}\approx -0,135$; $f(1)=(1-2)e^2=-e^2\approx -7,389$; $f(2)=(4-2)e^4=2e^4\approx 109,2$. Vậy ${\min }_{[-1;2]}f(x)=-e^2$, đạt tại $x=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x$, với $x\in [-1;0]$ thì $t\in \left[\frac{1}{2};1\right]$. Khi đó $y=2t-\frac{4}{3}{t}^3$. Xét $f(t)=2t-\frac{4}{3}{t}^3$ trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$: $f^{\prime }(t)=2-4t^2=0\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Tính giá trị: $f\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{5}{6}$; $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,943$; $f(1)=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,667$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $\min \left\{\frac{5}{6},\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2}{3}\right\}=\frac{2}{3}$, đạt tại $x=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm lợi nhuận $y=-x^3+300x^2$ trên đoạn $[0;300]$. Ta có $y^{\prime }=-3x^2+600x=-3x(x-200)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=200$. Trên $(0;200)$ có $y^{\prime }>0$, trên $(200;300)$ có $y^{\prime }<0$, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn tại $x=200$ với $y(200)=-8000000+12000000=4000000$ đồng, phù hợp với đồ thị minh họa (đỉnh tại $x=200$, giá trị $4000000$). Vậy cần sản xuất $200$ sản phẩm để lợi nhuận cao nhất. Lưu ý $4000000$ là giá trị lợi nhuận lớn nhất, không phải số sản phẩm cần sản xuất.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$, với $t\ge 0$. Đây là hàm bậc hai có đồ thị parabol hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{6}{2\cdot (-3/2)}=2$ (giây). Khi đó $v(2)=-\frac{3}{2}\cdot 4+12=6$ (m/s) là vận tốc lớn nhất. Vậy vật đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t=2$ giây, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^{\prime }=6x^2+6x=6x(x+1)=0\Rightarrow x=0,x=-1$. Tính $f(-2)=-16+12-1=-5$; $f(-1)=0$; $f(0)=-1$; $f(1)=4$. Vậy ${\min }_{[-2;1]}y=-5$ tại $x=-2$: khẳng định Đúng.
b) $y^{\prime }=12x^2-24x+9=3(2x-1)(2x-3)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ (thuộc $[0;1]$), $x=\frac{3}{2}$ (ngoại lai). Tính $f(0)=0$; $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-3+\frac{9}{2}=2$; $f(1)=4-12+9=1$. Vậy hàm đạt GTLN trên $[0;1]$ tại $x=\frac{1}{2}$, không phải $x=2$ (ngoài đoạn): khẳng định Sai.
c) Hàm $y=\sqrt{4x-x^2}$ có tập xác định $[0;4]$, $y^2=4x-x^2=4-(x-2{)}^2\in [0;4]$ nên $0\le y\le 2$. GTNN bằng 0 (tại $x=0$ hoặc $x=4$), GTLN bằng 2: khẳng định Sai.
d) Trên $(0;+\infty )$, $y=x+\frac{4}{x}\ge 4$ (AM-GM), đạt tại $x=2$; khi $x\to 0^{+}$ hoặc $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$, nên hàm số không có GTLN: khẳng định Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x(x+1)=0\Rightarrow x=0,-1$; so sánh $f(-2)=-5,f(-1)=0,f(0)=-1,f(1)=4$ nên GTNN trên $[-2;1]$ là $-5$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, điểm duy nhất cho GTLN là $x=\frac{1}{2}$ với $f=2$; $x=2$ không thuộc đoạn nên khẳng định Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ $[0;4]$, $0\le \sqrt{4x-x^2}\le 2$; GTNN là 0 chứ không phải 4. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+\frac{4}{x}\ge 4$ với min tại $x=2$, và $y\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$ hoặc $x\to +\infty$, nên không có GTLN trên $(0;+\infty )$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-3$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-3$ (vì $(x-1{)}^2\ge 0$ và $(x-3)(x+3)>0$ khi $x>3$, $<0$ khi $-3<x<3$, nhưng dấu của $f^{\prime }$ trên $(-3;1)$ và $(1;3)$ đều dương do $(x-1{)}^2>0$ và $(x+3)>0$). Vậy $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$; $f$ đạt cực tiểu (cũng là GTNN trên $\mathbb{R}$) tại $x=-3$, không có GTLN trên $\mathbb{R}$.

a) Trên đoạn $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(-3)$. → Sai.

b) $f$ đồng biến trên $(-3;+\infty )$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (vì $f$ tăng lên vô hạn), nên hàm số không có GTLN trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) $g(x)=f(-2x+3)$, với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Trên $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên $g$ nghịch biến theo $x$ (vì $-2x+3$ giảm). GTNN của $g$ đạt khi $t=-3$, tức $x=3$: $g(3)=f(-3)$. → Đúng.

d) $h(x)=f(-x+5)$, với $x\in [0;8]$ thì $t=-x+5\in [-3;5]$. Vì $f$ đồng biến trên $[-3;5]$ và $-x+5$ nghịch biến, $h$ nghịch biến trên $[0;8]$. Do đó GTLN của $h$ trên $[0;8]$ là $h(0)=f(5)$, còn $h(8)=f(-3)$ là GTNN. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ (tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$) không làm thay đổi tính nghịch biến của $h$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(-3;+\infty )$, $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên không có GTLN trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;3]$, $t=-2x+3\in [-3;3]$; $f$ đồng biến trên $[-3;3]$ nên $g$ nghịch biến, GTNN là $g(3)=f(-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=f(-x+5)$ nghịch biến trên $[0;8]$ (vì $f$ đồng biến trên $[-3;5]$), nên GTLN là $h(0)=f(5)$, còn $h(8)=f(-3)$ là GTNN.

(AI giải đề cho tôi)
Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $y$ và nửa đường tròn đường kính $x$ phía trên. Tổng dây thép gồm: cạnh đáy $x$, hai cạnh dọc $2y$, thanh ngang phân cách $x$ và cung bán nguyệt $\frac{\pi x}{2}$, nên $2x+2y+\frac{\pi x}{2}=8$.

a) Chiều dài cung bán nguyệt đường kính $x$ là $\frac{1}{2}\cdot \pi x=\frac{\pi x}{2}$ → Đúng.

b) Từ $2x+2y+\frac{\pi x}{2}=8$ suy ra $y=4-x-\frac{\pi x}{4}=4-\frac{x(4+\pi )}{4}$ → Đúng.

c) Diện tích: $S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=x\left(4-\frac{x(4+\pi )}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=4x-x^2-\frac{\pi x^2}{8}=4x-\left(1+\frac{\pi }{8}\right)x^2\ne 4x-x^2$ → Sai.

d) $S^{\prime }(x)=4-2\left(1+\frac{\pi }{8}\right)x=0\Rightarrow x=\frac{16}{8+\pi }$. Khi đó $y=4-\frac{4(4+\pi )}{8+\pi }=\frac{4(8+\pi )-4(4+\pi )}{8+\pi }=\frac{16}{8+\pi }$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cung bán nguyệt có đường kính $x$, độ dài $\frac{\pi x}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+2y+\frac{\pi x}{2}=8$ suy ra $y=4-\frac{x(4+\pi )}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\left(1+\frac{\pi }{8}\right)x^2$, không bằng $4x-x^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{16}{8+\pi }$, khi đó $y=\frac{16}{8+\pi }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là chân cột cao 12 m, B là chân cột cao 28 m, AB = 30 m, C là vị trí cọc với AC = x nên BC = 30 − x.

a) Tổng chiều dài dây: $f(x)=\sqrt{144+x^2}+\sqrt{784+(30-x{)}^2}$, với $0\le x\le 30$. Theo bất đẳng thức Minkowski (phản xạ điểm): $f(x)\ge \sqrt{(12+28{)}^2+30^2}=\sqrt{2500}=50$. Dấu bằng khi $\frac{x}{12}=\frac{30-x}{28}\Rightarrow 28x=360-12x\Rightarrow x=10\in (0;30)$. Vậy phát biểu a) đúng.

b) Chiều dài dây từ cọc đến đỉnh cột 28 m là $\sqrt{28^2+(30-x{)}^2}=\sqrt{1684-60x+x^2}$, không phải $\sqrt{1684+x^2}$ → sai.

c) Tổng chiều dài dây là $\sqrt{144+x^2}+\sqrt{1684-60x+x^2}$ → đúng.

d) Giá trị nhỏ nhất của tổng chiều dài dây bằng 50 m (tại $x=10$), không phải 48,5 m → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=√(144+x²)+√(784+(30−x)²) ≥ √(40²+30²)=50, dấu bằng khi x/12=(30−x)/28 ⟹ x=10 ∈ (0;30).
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ cọc đến đỉnh cột 28 m là √(28²+(30−x)²)=√(1684−60x+x²), không phải √(1684+x²).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chiều dài dây là √(144+x²)+√(1684−60x+x²) → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là 50 m (tại x=10), không phải 48,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có đáy hình vuông cạnh $30-2x$ (cm), chiều cao $x$ (cm), với $0<x<15$. Thể tích $V(x)=x(30-2x{)}^2$.
a) Sai: mỗi cạnh của tấm bị cắt đi hai đoạn dài $x$ nên đáy có cạnh $30-2x$, không phải $30-x$.
b) Sai: với $x=3$, $V=3\cdot (30-6{)}^2=3\cdot 576=1728(c{m}^3)\ne 1500(c{m}^3)$.
c) Sai: $V^{\prime }(x)=(30-2x)(30-6x)$; trên $(0;15)$ chỉ có nghiệm $x=5$, $V$ đạt max tại $x=5$. Tại $x=15$ thì $V=0$.
d) Đúng: $V_{max}=V(5)=5\cdot 20^2=2000(c{m}^3)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy hộp là hình vuông cạnh $30-2x$ (cm) vì mỗi cạnh bị cắt hai đoạn dài $x$, không phải $30-x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=3$: $V=3(30-6{)}^2=3\cdot 576=1728(c{m}^3)\ne 1500(c{m}^3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V(x)=x(30-2x{)}^2$, $V^{\prime }(x)=(30-2x)(30-6x)$; trên $(0;15)$ chỉ có nghiệm $x=5$ và $V$ đạt max tại đó. Tại $x=15$ thì $V=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_{max}=V(5)=5\cdot (30-10{)}^2=5\cdot 400=2000(c{m}^3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $t\in [0;1]$. Khi đó $y=\frac{3t+2}{t+1}=\frac{3(t+1)-1}{t+1}=3-\frac{1}{t+1}$. Hàm số này đồng biến trên $[0;1]$ nên $m=y(0)=3-1=2$, $M=y(1)=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy $M^2+m^2=\frac{25}{4}+4=\frac{41}{4}=10,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ xác định trên $[0;4]$. Ta có $y^2=4x-x^2=4-(x-2{)}^2\le 4$, dấu bằng khi $x=2\in [0;4]$. Do đó $\max y=\sqrt{4}=2$ tại $x=2$. Vậy giá trị lớn nhất là 2, chọn đáp án D.