Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) C(10)=100+30·10=400 triệu đồng → đúng. b) P(10)=45-0,001·100=44,9 triệu đồng/tấn, doanh thu = 44,9·10=449 triệu đồng ≠ 600 → sai. c) H(x)=x·P(x)-C(x)=45x-0,001x³-100-30x=-0,001x³+15x-100, đề cho -15x+100 (sai dấu) → sai. d) H'(x)=-0,003x²+15=0 ⇒ x²=5000 ⇒ x=√5000≈70,7 tấn; H'(x)>0 khi x<70,7 và <0 khi x>70,7 nên lợi nhuận lớn nhất tại x≈70,7 tấn → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(10)=100+30·10=400 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(10)=44,9 triệu đồng/tấn nên doanh thu là 449 triệu đồng, không phải 600.
c) (AI giải đề cho tôi)
H(x)=xP(x)-C(x)=-0,001x³+15x-100, không phải -0,001x³-15x+100.
d) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=-0,003x²+15=0 ⇒ x=√5000≈70,7 tấn, là điểm cực đại lợi nhuận.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x\ge 1$, nguyên). Thời gian sản xuất là $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Tổng chi phí (nghìn đồng): $C(x)=200x+192\cdot \frac{8000}{30x}=200x+\frac{51200}{x}$. Theo AM-GM, $C(x)\ge 2\sqrt{200\cdot 51200}=2\cdot 3200=6400$, dấu bằng khi $200x=\frac{51200}{x}\Rightarrow x^2=256\Rightarrow x=16$. Vậy công ty nên dùng 16 máy, chi phí thấp nhất 6400 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm cầu: giảm 0,5 triệu đồng thì tăng 100 ti vi, nên p = 14 - 0,005(x-1000) = 19 - x/200, tức $p(x)=-\frac{x}{200}+19$ → a đúng. Doanh thu $R(x)=x\cdot p(x)=19x-\frac{x^2}{200}$; $R^{\prime }(x)=19-\frac{x}{100}=0\Rightarrow x=1900$, giá bán $p=19-9,5=9,5$ triệu đồng, tức giảm $14-9,5=4,5$ triệu đồng → b đúng. Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)=19x-\frac{x^2}{200}-12000+3x=22x-\frac{x^2}{200}-12000$; $P^{\prime }(x)=22-\frac{x}{100}=0\Rightarrow x=2200$ (không phải 2300) → c sai. Tại $x=2200$, giá bán $p=19-\frac{2200}{200}=8,5$ triệu đồng → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giảm 0,5 triệu đồng (500 nghìn) cho 100 ti vi tăng thêm: hệ số $-0,5/100=-1/200$. Với $x=1000$, $p=14$: $p(x)=14-\frac{1}{200}(x-1000)=19-\frac{x}{200}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R(x)=19x-\frac{x^2}{200}$, $R^{\prime }(x)=19-\frac{x}{100}=0\Rightarrow x=1900$. Giá $p=19-9,5=9,5$ triệu đồng, giảm $14-9,5=4,5$ triệu đồng. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=22x-\frac{x^2}{200}-12000$, $P^{\prime }(x)=22-\frac{x}{100}=0\Rightarrow x=2200$, không phải 2300. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận lớn nhất tại $x=2200$, giá bán $p=19-\frac{2200}{200}=8,5$ triệu đồng. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bể: V = chiều dài × chiều rộng × chiều cao = 2x·x·h = 36, nên h = 18/x². a) Đúng: chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên chiều dài là 2x (m). b) Đúng: h = 36/(2x²) = 18/x² (m). c) Đúng: bể không có nắp, diện tích cần xây gồm đáy 2x·x = 2x² và 4 mặt xung quanh: 2(2x·h) + 2(x·h) = 6x·h = 6x·(18/x²) = 108/x. Tổng: S(x) = 2x² + 108/x. d) Sai: xét S(x) = 2x² + 108/x trên (0;4], S'(x) = 4x − 108/x² = 0 ⟹ x³ = 27 ⟹ x = 3. Với x = 3 thì chiều cao h = 18/9 = 2 (m), và S(3) = 18 + 36 = 54 nhỏ nhất (S'(x) < 0 khi x < 3, S'(x) > 0 khi x > 3). Vậy chi phí nhỏ nhất khi chiều cao bể bằng 2 m chứ không phải 3 m.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chiều dài gấp hai lần chiều rộng x nên chiều dài là 2x (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
V = 2x·x·h = 36 ⟹ h = 36/(2x²) = 18/x² (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích = đáy 2x² + 4 mặt xung quanh 6x·h = 6x·(18/x²) = 108/x, tổng 2x² + 108/x.
d) (AI giải đề cho tôi)
S'(x) = 4x − 108/x² = 0 ⟹ x = 3, khi đó h = 18/9 = 2 (m). Chi phí nhỏ nhất khi chiều cao bể bằng 2 m, không phải 3 m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (m), chiều dài đáy $2x$, chiều cao $h$. Thể tích $2x^{2}h=10\Rightarrow h=\frac{5}{x^2}$.

Chi phí:
- Đáy: diện tích $2x^2$, giá $75000/m^2$ nên chi phí $150000x^2$.
- Xung quanh: chu vi $6x$, diện tích $6xh=\frac{30}{x}$, giá $55000/m^2$ nên chi phí $\frac{1650000}{x}$.

Tổng: $f(x)=150000x^2+\frac{1650000}{x}$, $x>0$.

$f^{\prime }(x)=300000x-\frac{1650000}{x^2}=0\Rightarrow x^3=5,5\Rightarrow x=\sqrt[3]{5,5}\approx 1,7652$.

$f(x{)}_{min}=150000\cdot (5,5{)}^{2/3}+\frac{1650000}{(5,5{)}^{1/3}}\approx 467373+934746\approx 1402119$ đồng.

Làm tròn đến hàng nghìn: $1402000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang cân ABCD có AB = AD = BC = 12 m, đáy DC nằm trên bờ sông (không rào). Gọi góc ở đáy D là θ (0<θ<90°). Chiều cao h = 12sinθ, đáy lớn DC = AB + 2·12cosθ = 12 + 24cosθ. Diện tích: S = (AB + DC)/2 · h = (12 + 12cosθ)·12sinθ = 144(1+cosθ)sinθ. Đặt c = cosθ, S = 144(1+c)√(1−c²). S' = 0 ⇔ (1+c)·(−c) + (1−c²) = 0 ⇔ 2c² + c − 1 = 0 ⇔ c = 1/2 (nhận) ⇒ θ = 60°. Khi đó S_max = 144·(3/2)·(√3/2) = 108√3 ≈ 187,06 m².

(AI giải đề cho tôi)
Hiện tại: mật độ 20 con/m², ao 50 m² nên tổng số cá là 20·50 = 1000 con, tổng khối lượng 1,5 tấn = 1500 kg, vậy mỗi con nặng 1500/1000 = 1,5 kg.

Gọi x (con/m²) là lượng mật độ giảm đi so với vụ trước (0 ≤ x ≤ 20). Vì cứ giảm 8 con/m² thì mỗi con tăng thêm 0,5 kg nên mỗi con tăng thêm (x/8)·0,5 = x/16 (kg), tức khối lượng mỗi con là 1,5 + x/16 (kg).

Tổng khối lượng cá thành phẩm:
$$P(x)=50(20-x)\left(1,5+\frac{x}{16}\right)=50\left(30-2x-\frac{x^2}{16}\right)$$

Xét hàm $f(x)=30-2x-\frac{x^2}{16}$ trên $[0;20]$: $f^{\prime }(x)=-2-\frac{x}{8}<0$ với mọi $x\ge 0$, nên hàm số nghịch biến trên $[0;20]$.

Vậy $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, tức là bác Tôm không cần giảm mật độ, giữ nguyên mật độ 20 con/m². Khi đó số cá giống cần mua là $20\cdot 50=1000$ con, cho tổng khối lượng 1500 kg (1,5 tấn) — lớn nhất.

(Kiểm tra: nếu giảm 8 con/m² thì tổng khối lượng là 50·12·2 = 1200 kg < 1500 kg, xác nhận việc giảm mật độ chỉ làm giảm tổng sản lượng.)

Đáp số: 1000 con cá giống.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ trên bờ với $BD=x$ (km), $0\le x\le 40$. Người đó đi đường bộ từ $A$ đến $D$ dài $40-x$ km, rồi đường thủy từ $D$ đến $C$ dài $\sqrt{x^2+10^2}$ km (vì $BC\perp$ bờ, $BC=10$). Kinh phí: $f(x)=3(40-x)+5\sqrt{x^2+100}$.

$f^{\prime }(x)=-3+\frac{5x}{\sqrt{x^2+100}}=0\Rightarrow 5x=3\sqrt{x^2+100}\Rightarrow 25x^2=9x^2+900\Rightarrow 16x^2=900\Rightarrow x=7,5$ km.

Kiểm tra: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<7,5$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>7,5$, nên $f$ đạt nhỏ nhất tại $x=7,5$.

Vậy quãng đường bộ phải đi là $40-7,5=32,5$ km. (Kinh phí nhỏ nhất $f(7,5)=3\cdot 32,5+5\cdot 12,5=97,5+62,5=160$ USD.)

(AI giải đề cho tôi)
Cắt bỏ ở mỗi góc hình vuông cạnh 6 một tam giác vuông cân với hai cạnh góc vuông bằng $x$ ($0<x<3$), sau đó gập các phần hình chữ nhật phía ngoài lên theo các cạnh hình vuông trong, ta được hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông cạnh $6-2x$ và chiều cao $x$.

Thể tích: $V(x)=x(6-2x{)}^2$.

$V^{\prime }(x)=(6-2x{)}^2+x\cdot 2(6-2x)(-2)=(6-2x)(6-2x-4x)=(6-2x)(6-6x)$.

$V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1$ (nhận, vì $0<x<3$; $x=3$ loại).

Với $0<x<1$: $V^{\prime }(x)>0$; với $1<x<3$: $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $x=1$.

$V_{\max }=1\cdot (6-2{)}^2=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Cá bơi ngược dòng nên vận tốc thực theo dòng phải lớn hơn vận tốc nước: v > 6 (km/h). Thời gian để vượt 300 km là t = 300/(v−6). Do đó E(v) = c v³ · 300/(v−6) = 300c·v³/(v−6), với v > 6. Xét E'(v) = 300c · [3v²(v−6) − v³]/(v−6)² = 300c·v²(2v−18)/(v−6)². Với v > 6, E'(v) < 0 khi 2v − 18 < 0, tức 6 < v < 9; E'(v) > 0 khi v > 9. Vậy E(v) nghịch biến (năng lượng tiêu hao giảm) trên khoảng (6; 9), và đạt giá trị nhỏ nhất tại v = 9 km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ (cm) là hai cạnh đáy, chiều cao $h=60$ cm, thể tích $V=ab\cdot 60=96.000$ nên $ab=1.600$ cm².
Diện tích mặt bên: $2(a+b)\cdot 60=120(a+b)$ cm${}^2=0,012(a+b)$ m²; diện tích đáy: $1.600$ cm${}^2=0,16$ m².
Chi phí: $C=70.000\cdot 0,012(a+b)+100.000\cdot 0,16=840(a+b)+16.000$ (đồng).
Vì $ab=1.600>0$ nên theo AM–GM, $a+b\ge 2\sqrt{ab}=2\cdot 40=80$, dấu bằng khi $a=b=40$ cm.
Vậy chi phí thấp nhất: $C_{\min }=840\cdot 80+16.000=67.200+16.000=83.200$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-6x^2+9x-1$ trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Trên $[-1;1)$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(1;3)$: $y^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$. Do đó GTNN chỉ có thể đạt tại $x=-1$, $x=1$ hoặc $x=3$. Tính: $f(-1)=-1-6-9-1=-17$; $f(1)=1-6+9-1=3$; $f(3)=27-54+27-1=-1$. Vậy ${\min }_{[-1;+\infty )}y=-17$ đạt tại $x=-1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;0)$; $f^{\prime }(0)=0$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$; $f^{\prime }(1)=0$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$; hàm số không liên tục tại $x=-1$ (dấu ||).
- A: Trên $[-1;1]$, hàm giảm trên $[-1;0]$ rồi tăng trên $[0;1]$ nên $f(0)$ là GTNN, không phải GTLN. A sai.
- B: Trên $(0;+\infty )$, hàm tăng trên $(0;1)$ rồi giảm trên $(1;+\infty )$ nên đạt GTLN tại $x=1$: $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$. B đúng.
- C: Trên khoảng mở $(-\infty ;-1)$ hàm giảm nên không đạt GTNN. C sai.
- D: Trên $(-1;+\infty )$, $x=0$ chỉ là điểm cực tiểu, sau $x=1$ hàm lại giảm nên không thể kết luận $f(0)$ là GTNN. D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, hàm số thành $g(t)=t^2-2t-2=(t-1{)}^2-3$ với $t\ge 0$. a) Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$; khẳng định sai. b) $\min y=g(1)=-3$ đạt tại $x=\pm 1$; khẳng định đúng. c) Tập giá trị là $[-3;+\infty )$; khẳng định đúng. d) Trên $[0;1]$: $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\le 0$ nên hàm nghịch biến; $\max y=y(0)=-2$ tại $A(0;-2)$, $\min y=y(1)=-3$ tại $B(1;-3)$. Độ dài $AB=\sqrt{(1-0{)}^2+(-3+2{)}^2}=\sqrt{2}$; khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, $g(t)=(t-1{)}^2-3$ đạt nhỏ nhất bằng $-3$ tại $t=1$ tức $x=\pm 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\min y=-3$ và $y\to +\infty$, tập giá trị là $[-3;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$ hàm nghịch biến: $A(0;-2)$, $B(1;-3)$, nên $AB=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là $x$ và $y$ (cm), với $x>0$, $y>0$ và $xy=100$. Chu vi $P=2(x+y)$. Theo bất đẳng thức AM-GM: $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{100}=20$, dấu bằng khi $x=y=10$. Vậy chu vi nhỏ nhất bằng $40$ cm khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh $10$ cm, tức mỗi kích thước bằng $10$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh góc vuông, $b$ là cạnh góc vuông còn lại, $c$ là cạnh huyền. Theo đề: $a+c=120$, tức $c=120-a$ với $0<a<60$ (vì $c>a$). Theo định lý Pythagore: $a^2+b^2=(120-a{)}^2\Rightarrow b^2=14400-240a$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}$, nên $S^2=\frac{a^2(14400-240a)}{4}$. Xét $f(a)=a^2(14400-240a)$ trên $(0;60)$. Có $f^{\prime }(a)=28800a-720a^2=720a(40-a)$, nên $f$ đạt cực đại tại $a=40$. Khi đó $b^2=14400-9600=4800\Rightarrow b=40\sqrt{3}$, và cạnh huyền $c=120-40=80$ cm. Kiểm tra: $40^2+(40\sqrt{3}{)}^2=1600+4800=6400=80^2$ đúng. Vậy cạnh huyền của tấm gỗ có diện tích lớn nhất là $80$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{x^2}$ với $x>0$. Diện tích mảnh các tông gồm đáy hình vuông và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+\frac{2000}{x}$. Xét $S^{\prime }(x)=2x-\frac{2000}{x^2}=0\Rightarrow x^3=1000\Rightarrow x=10$ (cm). Với $x=10$ thì $S^{\prime \prime }(10)=2+\frac{4000}{10^3}>0$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy $x=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ cách $A$ một đoạn $x$ km ($0\le x\le 9$), khi đó $C{B}^{\prime }=9-x$ và độ dài ống dưới nước $CB=\sqrt{(9-x{)}^2+6^2}$. Chi phí: $f(x)=50x+130\sqrt{(9-x{)}^2+36}$ (nghìn USD). $f^{\prime }(x)=50-\frac{130(9-x)}{\sqrt{(9-x{)}^2+36}}=0\Rightarrow \frac{9-x}{\sqrt{(9-x{)}^2+36}}=\frac{5}{13}$. Bình phương: $169(9-x{)}^2=25\left((9-x{)}^2+36\right)\Rightarrow 144(9-x{)}^2=900\Rightarrow 9-x=2,5\Rightarrow x=6,5$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>6,5$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<6,5$ nên $x=6,5$ cho chi phí nhỏ nhất. Vậy $C$ cách $A$ một đoạn $6,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=h$, $AD=a$; lưới giăng hết hai cạnh vuông góc nên $a+h=10$. Hình thang vuông có góc $C=60^{\circ }$, cạnh xiên $DC$ tạo với đáy $BC$ góc $60^{\circ }$ nên phần chiếu ngang của $DC$ lên $BC$ bằng $\frac{h}{\tan 60^{\circ }}=\frac{h}{\sqrt{3}}$, do đó $BC=a+\frac{h}{\sqrt{3}}$.
Diện tích: $S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot AB=\frac{1}{2}\left(2a+\frac{h}{\sqrt{3}}\right)h=\frac{1}{2}\left(2(10-h)+\frac{h}{\sqrt{3}}\right)h=10h-h^2\left(1-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.
Hàm bậc hai đạt max tại $h=\frac{5}{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}=\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}\approx 7,03$, khi đó $S_{\max }=\frac{25}{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}=\frac{50\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{300+50\sqrt{3}}{11}\approx 35,1457$.
Vậy diện tích lớn nhất của khu nuôi vịt khoảng $35,1$ m${}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ lục giác đều có 18 cạnh: 12 cạnh đáy (2 đáy × 6) và 6 cạnh bên. Gọi cạnh đáy là $a$, chiều cao là $h$ (cm). Tổng độ dài dây: $12a+6h=54\iff 2a+h=9$, với $0<a<4,5$, $h=9-2a$.

Thể tích: $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2(9-2a)$.

Xét $f(a)=a^2(9-2a)=9a^2-2a^3$, $f^{\prime }(a)=18a-6a^2=6a(3-a)$.
$f^{\prime }(a)=0\iff a=3$ (vì $a>0$), khi đó $h=9-6=3$.
Trên $(0;4,5)$: $f^{\prime }>0$ với $a<3$, $f^{\prime }<0$ với $a>3$ nên $V$ đạt max tại $a=h=3$.

$V_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9\cdot 3=\frac{81\sqrt{3}}{2}\approx 70,148\approx 70,1$ cm${}^3$.