Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền: $f(x)=\frac{x(40-x{)}^2}{2}$ với $x$ nguyên, $1\le x\le 16$. $f^{\prime }(x)=\frac{(40-x)(40-3x)}{2}=0\Rightarrow x=\frac{40}{3}\approx 13,33$. So sánh $f(13)=\frac{13\cdot 27^2}{2}=4738,5$ và $f(14)=\frac{14\cdot 26^2}{2}=4732$. Vậy max tại $x=13$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $C(v)=\frac{5400}{v}+\frac{3}{2}v$ với $0<v\le 120$. Xét $C^{\prime }(v)=-\frac{5400}{v^2}+\frac{3}{2}$. Cho $C^{\prime }(v)=0\Rightarrow v^2=3600\Rightarrow v=60$ (nhận $v>0$). Với $0<v<60$ thì $C^{\prime }(v)<0$, với $60<v\le 120$ thì $C^{\prime }(v)>0$, nên hàm số đạt cực tiểu (cũng là giá trị nhỏ nhất) tại $v=60$. Vậy tài xế nên lái với tốc độ trung bình $60$ km/h để tiết kiệm tiền xăng nhất. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm $x>0$ để $S(x)=\pi x^2+\frac{20000}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$S^{\prime }(x)=2\pi x-\frac{20000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\Rightarrow 2\pi x^3=20000\Rightarrow x^3=\frac{10000}{\pi }\approx 3183,10\Rightarrow x\approx 14,71$ cm.

Vì $S^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<\sqrt[3]{10000/\pi }$ và $S^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{10000/\pi }$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 14,71$, làm tròn tới hàng phần mười là $14,7$.

Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) C(10)=100+30·10=400 triệu đồng → đúng. b) Số tiền thu được khi bán 10 tấn: 10·P(10)=10(45−0,001·100)=10·44,9=449 triệu đồng, không phải 600 → sai. c) H(x)=x·P(x)−C(x)=x(45−0,001x²)−(100+30x)=−0,001x³+15x−100 → đúng. d) H'(x)=−0,003x²+15=0 ⇒ x²=5000 ⇒ x=50√2≈70,7 (thỏa 0≤x≤100); H”(x)=−0,006x<0 nên lợi nhuận lớn nhất tại x≈70,7 tấn → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(10)=100+30·10=400 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được là 10·P(10)=10(45−0,1)=449 triệu đồng, không phải 600 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
H(x)=x·P(x)−C(x)=45x−0,001x³−100−30x=−0,001x³+15x−100.
d) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=15−0,003x²=0 ⇒ x=√5000≈70,7 tấn; H”<0 nên lợi nhuận lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N(t)=1000+30t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$. Xét $N^{\prime }(t)=60t-3t^2=3t(20-t)$. Trên $[0;30]$, $N^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<20$ và $N^{\prime }(t)<0$ khi $20<t<30$. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t=20$. Khi đó $N(20)=1000+30\cdot 400-8000=5000$. Sau 20 phút số vi khuẩn lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x\ge 1$, nguyên). Mỗi giờ sản xuất $30x$ quả, nên thời gian hoàn thành đơn hàng là $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Chi phí gồm: chi phí thiết lập $200x$ (nghìn đồng) và tiền giám sát $192\cdot \frac{8000}{30x}=\frac{51200}{x}$ (nghìn đồng). Tổng chi phí: $C(x)=200x+\frac{51200}{x}$. Theo AM-GM (hoặc đạo hàm), $C(x)$ đạt nhỏ nhất khi $200x=\frac{51200}{x}\iff x^2=256\iff x=16$. Vậy công ty nên dùng 16 máy, chi phí nhỏ nhất $C(16)=3200+3200=6400$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ mét vải là $220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $$L(x)=220x-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500,1\le x\le 18.$$ Xét đạo hàm: $$L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0⟺x^2-2x-80=0⟺x=10\text{ (nhận, }x=-8\text{ loại)}.$$ Với $1\le x<10$ thì $L^{\prime }(x)>0$, với $10<x\le 18$ thì $L^{\prime }(x)<0$ nên $L$ đạt cực đại (và là max) tại $x=10$. Tính: $$L(10)=-1000+300+2400-500=1200\text{ nghıˋn đoˆˋng}.$$ So sánh hai đầu: $L(1)=-258$, $L(18)=-1040$, đều nhỏ hơn. Vậy lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1200$ nghìn đồng $=1,2$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá thêm 100 nghìn đồng (mỗi căn hộ bị bỏ trống thêm). Giá thuê mỗi căn hộ là $7+0,1x$ (triệu đồng), số căn hộ cho thuê được là $80-x$ với $0\le x\le 80$. Doanh thu: $T(x)=(7+0,1x)(80-x)=560+x-0,1x^2$. Ta có $T^{\prime }(x)=1-0,2x=0\Rightarrow x=5$. Vì $T^{\prime \prime }(x)=-0,2<0$ nên doanh thu lớn nhất tại $x=5$. Giá thuê nên đặt là $7+0,1\cdot 5=7,5$ triệu đồng (khi đó doanh thu $T(5)=562,5$ triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá bán là $30+x$ nghìn đồng/kg ($x\ge 0$, số lần tăng giá 1000 đồng). Số rau thừa mỗi ngày là $20x$ kg, số rau bán tươi là $1000-20x$ kg (với $0\le x\le 50$). Tổng tiền thu được mỗi ngày (nghìn đồng): $$f(x)=(30+x)(1000-20x)+2\cdot 20x=30000+1000x-600x-20x^2+40x=30000+440x-20x^2.$$ $f^{\prime }(x)=440-40x=0\Rightarrow x=11$ (thỏa mãn $0\le x\le 50$), và $f^{\prime \prime }(x)=-40<0$ nên $f$ đạt max tại $x=11$. Vậy giá bán nên là $30+11=41$ nghìn đồng/kg. Kiểm tra: bán tươi $780$ kg giá $41$ nghìn/kg cho $31980$ nghìn, rau thừa $220$ kg giá $2$ nghìn/kg cho $440$ nghìn, tổng $32420$ nghìn, lớn hơn tại $x=10$ ($32400$) và $x=12$ ($32420$... tính lại: $f(12)=30000+5280-2880=32400$; $f(11)=30000+4840-2420=32420$). Xác nhận max tại $x=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ nằm trên bờ đối diện cách $C$ một đoạn $x$ km ($0\le x\le 8$), khi đó $BC=8$ km nên quãng đường chạy bộ là $8-x$ km, quãng đường chèo là $AD=\sqrt{9+x^2}$ km (bề rộng sông $AC=3$ km). Thời gian tổng: $$T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}.$$ Đạo hàm: $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}$. Cho $T^{\prime }(x)=0$: $8x=6\sqrt{9+x^2}\Rightarrow 64x^2=36(9+x^2)\Rightarrow 28x^2=324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,402$ km (thỏa $[0;8]$). Tại đó: $$T=\frac{\sqrt{9+81/7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,3307\text{ giờ}.$$ So sánh: $T(0)=3/6+1=1,5$ giờ; $T(8)=\sqrt{73}/6\approx 1,424$ giờ — đều lớn hơn. Vậy thời gian ngắn nhất $\approx 1,3307\times 60\approx 79,84$ phút, làm tròn thành $80$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích xô: $V=\pi r^{2}h=10000{\text{cm}}^3$ (10 lít), nên $h=\frac{10000}{\pi r^2}$, với $r>0$. Diện tích nguyên vật liệu (xô không có nắp gồm đáy và mặt xung quanh): $S=\pi r^2+2\pi rh=\pi r^2+\frac{20000}{r}$. Ta có $S^{\prime }(r)=2\pi r-\frac{20000}{r^2}$; $S^{\prime }(r)=0\iff 2\pi r^3=20000\iff r^3=\frac{10000}{\pi }\approx 3183,10\iff r\approx 14,71$ cm. Vì $S^{\prime }(r)<0$ khi $r<\sqrt[3]{10000/\pi }$ và $S^{\prime }(r)>0$ khi $r>\sqrt[3]{10000/\pi }$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r\approx 14,71$ cm. Làm tròn đến hàng phần chục: $r\approx 14,7$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính R=4 với cạnh đáy nằm trên đường kính. Gọi x là nửa cạnh đáy (0<x<4), chiều cao y, khi đó x²+y²=16. Diện tích S=2xy. Theo AM-GM: xy ≤ (x²+y²)/2 = 8, dấu bằng khi x=y=2√2. Vậy S_max = 2·8 = 16 dm². Kiểm tra bằng đạo hàm: S=2x√(16−x²), S'=0 tại x=2√2, S”<0, đạt max. Diện tích lớn nhất là 16 dm².

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$, chiều dài $2x$, chiều cao $z$. Thể tích $2x^{2}z=10\Rightarrow z=\frac{5}{x^2}$.

Diện tích cần xây: đáy (trừ đi $20\%$ vì nắp để trống một ô bằng $20\%$ diện tích đáy, tức phần nắp xây chỉ còn $0,8$ đáy) cộng bốn mặt bên:
$$S=0,8\cdot 2x^2+2xz+2(2x)z=1,6x^2+6xz=1,6x^2+\frac{30}{x}.$$

Chi phí nhỏ nhất khi $S$ nhỏ nhất: $S^{\prime }(x)=3,2x-\frac{30}{x^2}=0\Rightarrow x^3=\frac{30}{3,2}=9,375\Rightarrow x\approx 2,1103$ m.

Khi đó $S\approx 1,6(4,4534)+\frac{30}{2,1103}\approx 7,125+14,216=21,341$ m${}^2$.

Số tiền: $21,341\times 500000\approx 10,67$ triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị là $11$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $x^{2}h=4000\Rightarrow h=\frac{4000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích bìa các tông (hộp không nắp, gồm đáy và 4 mặt bên):
$$S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x}.$$

Xét hàm $S(x)=x^2+\frac{16000}{x}$ trên $(0;+\infty )$:
$$S^{\prime }(x)=2x-\frac{16000}{x^2}=0\iff 2x^3=16000\iff x^3=8000\iff x=20.$$

Vì $S^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<20$ và $S^{\prime }(x)>0$ khi $x>20$, hàm $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Khi đó $h=4000/400=10$ cm.

Vậy độ dài cạnh hình vuông cần tìm là $x=20$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh đáy hình vuông của khối chóp ($0<a<9$). Sau khi cắt đi 4 tam giác ở góc, mỗi mặt bên là tam giác cân có đáy $a$ và hai cạnh bên bằng $\frac{18-a}{2}$ (đoạn từ đỉnh - gốc góc hình vuông đến các đỉnh đáy dọc theo cạnh hình vuông).

Đường cao của mặt bên (đường trung bình của mặt bên): $l=\sqrt{{\left(\frac{18-a}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{81-9a}$.

Chiều cao khối chóp: $H=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{81-9a-\frac{a^2}{4}}$.

Thể tích: $V(a)=\frac{a^2}{3}\sqrt{81-9a-\frac{a^2}{4}}$.

Xét $f(a)=a^4\left(81-9a-\frac{a^2}{4}\right)$: $f^{\prime }(a)=a^3\left(324-45a-\frac{3a^2}{2}\right)=0\Rightarrow a^2+30a-216=0\Rightarrow a=6$ (nhận).

Khi $a=6$: $H=\sqrt{81-54-9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, nên $V_{\max }=\frac{36\cdot 3\sqrt{2}}{3}=36\sqrt{2}\approx 50,91\approx 51m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(x,f(x))$ trên đảo đến đường thẳng $9x+y-36=0$ là $d(x)=\frac{|9x+(-x^3+3x^2+4)-36|}{\sqrt{82}}=\frac{|-x^3+3x^2+9x-32|}{\sqrt{82}}$. Đặt $g(x)=-x^3+3x^2+9x-32$, $g^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$: $g(3)=-5$; tại $x=-1$: $g(-1)=-37$. Giá trị nhỏ nhất của $|g(x)|$ là $5$, đạt tại $x=3$ (điểm $(3;4)$ trên đảo). Khoảng cách nhỏ nhất $=\frac{5}{\sqrt{82}}\approx 0,5522$ đơn vị $=55,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $O$, trục $Ox$ là đường thẳng $BC$, trục $Oy$ là đường thẳng $OA$. Khi đó $A(0;40)$, $B(20;0)$. Parabol đỉnh $A$, trục đối xứng $Oy$ đi qua $B$ có dạng $y=40-a{x}^2$; thay $B(20;0)$: $0=40-400a\Rightarrow a=\frac{1}{10}$, vậy bờ $AB$: $y=40-\frac{x^2}{10}$ với $0\le x\le 20$. Tâm vườn $I$ cách $AE$ (trục $Oy$) 40 m và cách $BC$ (trục $Ox$) 30 m nên $I(40;30)$, bán kính 15 m. Độ dài cầu từ điểm $P(x,40-\frac{x^2}{10})$ trên bờ $AB$ đến vườn là $f(x)=PI-15$. Ta có $$P{I}^2=(x-40{)}^2+{\left(10-\frac{x^2}{10}\right)}^2.$$ Đạo hàm theo $x$ bằng 0: $(x-40)-\frac{x}{5}\left(10-\frac{x^2}{10}\right)=0\iff x^3-50x-2000=0\Rightarrow x\approx 13,916$ (nằm trong $[0;20]$). Khi đó $P{I}^2\approx (13,916-40{)}^2+(10-19,365{)}^2\approx 680,37+87,70=768,07$, $PI\approx 27,714$. So sánh với hai đầu $A$: $PI=\sqrt{1700}\approx 41,23$ và $B$: $PI=\sqrt{1300}\approx 36,06$, nên giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 13,916$. Độ dài cầu ngắn nhất $\approx 27,714-15=12,714\approx 12,7$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$: giá trị lớn nhất của $f(x)$ bằng $3$ (đạt tại điểm có hoành độ gần $4$), giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ (đạt tại điểm trong khoảng từ $-1$ đến $2$). Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là $3+(-2)=1$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên nửa khoảng $[-5;7)$, hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần về phía $9$ khi $x\to 7^{-}$ (do $x=7$ không thuộc tập xác định nên giá trị $9$ không đạt được). Do đó $\underset{[-5;7)}{\min }f(x)=f(1)=2$ và $\underset{[-5;7)}{\max }f(x)=f(-5)=6$ vì hàm tăng về 9 nhưng không bao giờ đạt 9, và trên $(-5;1)$ hàm có giá trị nhỏ hơn 6. Vậy mệnh đề đúng là D: $\underset{[-5;7)}{\max }f(x)=6$. Lưu ý B sai vì khoảng lấy là $[-5;7)$ chứ không phải $[-5;7]$ (nếu đóng tại 7 thì max bằng 9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $x=-1$ là điểm không xác định (||), $f^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$.
- A: trên $(-1;1]$ hàm giảm trên $(-1;0)$ rồi tăng trên $(0;1)$, nên $f(1)>f(0)$, max là $f(1)$, không phải $f(0)$ → sai.
- B: trên $(0;+\infty )$ hàm tăng trên $(0;1)$ rồi giảm trên $(1;+\infty )$, nên $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$ → đúng.
- C: trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm, khoảng mở nên không có min → sai.
- D: trên $(-1;+\infty )$ hàm giảm trên $(1;+\infty )$ nên có thể giảm xuống dưới $f(0)$, không kết luận min tại $x=0$ → sai.