Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f(x)$ trên đoạn $[-3;3]$: điểm cao nhất của đồ thị là $4$ (tại đầu mút phải $x=3$, đường nét đứt ứng với $y=4$), điểm thấp nhất là $-2$ (đường nét đứt ứng với $y=-2$). Vậy $M=4$, $m=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$; hàm đồng biến rồi đạt cực đại $f(0)=4$, giảm xuống cực tiểu $f(2)=-5$, rồi tăng trở lại và khi $x\to +\infty$, $y\to 2$. Trên $\mathbb{R}$, giá trị lớn nhất là $\max \{4,2\}=4$ (đạt tại $x=0$) và giá trị nhỏ nhất là $\min \{-5,2\}=-5$ (đạt tại $x=2$). Tổng $\max +\min =4+(-5)=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ $x=2$ với tung độ $y=4$ (đỉnh cao nhất của đồ thị trên đoạn này, cao hơn giá trị tại hai đầu mút). Vậy ${\max }_{[0;3]}f(x)=4$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^3+3x^2-12x+2$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$. Trên đoạn $[-1;2]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ (nghiệm $x=-2$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $y(-1)=2(-1{)}^3+3(-1{)}^2-12(-1)+2=19$; $y(1)=2+3-12+2=-5$; $y(2)=16+12-24+2=6$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-5$ đạt được tại $x_0=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-5;7)$: hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, khi $x$ tiến đến $7$ (không thuộc tập xác định vì khoảng mở phải) thì $f(x)$ tiến đến $9$ nhưng không đạt giá trị $9$. Do đó trên $[-5;7)$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $\min f(x)=2$ tại $x=1$, và giá trị lớn nhất là $\max f(x)=6$ tại $x=-5$ (vì $9$ không đạt được). Vậy mệnh đề đúng là $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^3-3x+4m-1=0$ tương đương $4m=1-x^3+3x=g(x)$ với $x\in [-3;4]$. Xét $g(x)=-x^3+3x+1$ trên $[-3;4]$: $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=0\Rightarrow x=\pm 1$. Ta có $g(-3)=27-9+1=19$, $g(4)=-64+12+1=-51$, $g(1)=-1+3+1=3$, $g(-1)=1-3+1=-1$. Vậy $\min g=-51$, $\max g=19$, nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong $[-3;4]$ khi và chỉ khi $-51\le 4m\le 19$, tức $\frac{-51}{4}\le m\le \frac{19}{4}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$ trên $[0;1]$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}\ge 0$ với mọi $x\in [0;1]$, nên $f$ đồng biến trên $[0;1]$. Do đó ${\min }_{[0;1]}f(x)=f(0)=3$. Bất phương trình $f(x)\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]$ khi và chỉ khi $m\le {\min }_{[0;1]}f(x)=3$. Vậy $m\le 3$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3\left[x^2-2mx+(m^2-1)\right]$, nên $y^{\prime }=0\iff x=m\pm 1$. Hàm số có cực tiểu tại $x=m+1$ và cực đại tại $x=m-1$ (hệ số $a>0$).

Viết lại $y=(x-m{)}^3-3x+m^3+2020$.

Để hàm số có GTNN trên khoảng $(0;+\infty )$ (khoảng mở), cần:
- Điểm cực tiểu thuộc khoảng: $m+1>0\iff m>-1$;
- Giá trị tại điểm cực tiểu phải nhỏ hơn giới hạn của hàm số khi $x\to 0^{+}$ (là $y(0)=2020$), tức $y(m+1)\le 2020$.

Tính $y(m+1)=1^3-3(m+1)+m^3+2020=m^3-3m+2018$.

Điều kiện: $m^3-3m+2018\le 2020\iff m^3-3m-2\le 0\iff (m-2)(m+1{)}^2\le 0\iff m\le 2$.

Kết hợp $-1<m\le 2$, các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{0;1;2\}$: có 3 giá trị.

Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 100.000 đồng (x≥0, x≤30). Giá thuê mỗi căn: p = 2 + 0.1x (triệu đồng); số căn có người thuê: 150 − 5x. Thu nhập T(x) = (2 + 0.1x)(150 − 5x) = 300 + 5x − 0.5x². T'(x) = 5 − x = 0 ⇒ x = 5, khi đó T(5) = 312.5 triệu đồng (max vì T”(x) = −1 < 0).
a) Giá 2.200.000 đồng ⇒ x = 2 ⇒ số căn trống = 5·2 = 10. Đúng.
b) Thu nhập cao nhất khi x = 5, tức giá 2.500.000 đồng, không phải 2.700.000 đồng. Sai.
c) Thu nhập cao nhất T(5) = 2.5 × 125 = 312.5 triệu = 312.500.000 đồng. Đúng.
d) Khi x = 5, số căn có người thuê = 150 − 25 = 125 căn. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 2.200.000 đồng nghĩa là tăng 2 lần 100.000 đồng, nên số căn trống là 5×2 = 10 căn.
b) (AI giải đề cho tôi)
T(x) = (2 + 0.1x)(150 − 5x) đạt max tại x = 5, tức giá 2.500.000 đồng chứ không phải 2.700.000 đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
T(5) = 2.5 × 125 = 312.5 triệu đồng = 312.500.000 đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi x = 5, số căn có người thuê là 150 − 5×5 = 125 căn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên (-∞;-2), nghịch biến trên (-2;0), đồng biến trên (0;+∞) với f(-2)=1 (cực đại), f(0)=-3 (cực tiểu) và tiến tới +∞ khi x→+∞. Trên (-2;+∞), giá trị nhỏ nhất đạt tại x=0 bằng -3.

b) Sai. f(x)=x³-2x²-7x+1, f'(x)=3x²-4x-7=0 cho x=-1 hoặc x=7/3 (loại vì ngoài [-2;1]). Tính: f(-2)=-8-8+14+1=-1; f(-1)=-1-2+7+1=5; f(1)=1-2-7+1=-7. Vậy max trên [-2;1] bằng 5, không phải -1.

c) Sai. y=(x²-x+1)/(x-1), y'=[(2x-1)(x-1)-(x²-x+1)]/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²=x(x-2)/(x-1)². Trên [2;3] có y'≥0 nên hàm đồng biến; y(2)=3, y(3)=7. Vậy max bằng 7, không phải 3.

d) Đúng. Thể tích πR²h=16π nên h=16/R². Diện tích xấp xỉ S=2πR²+2πRh=2πR²+32π/R. S'=4πR-32π/R²=0 ⟺ R³=8 ⟺ R=2 (cm), và S giảm rồi tăng nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy R=2cm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-2;+∞), hàm nghịch biến từ 1 xuống -3 tại x=0 rồi đồng biến lên +∞, nên min = -3.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(-2)=-1, f(-1)=5, f(1)=-7 nên max = 5 ≠ -1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên [2;3] vì y'=x(x-2)/(x-1)²≥0; max = y(3)=7 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S(R)=2πR²+32π/R, S'=4πR-32π/R²=0 cho R=2, là điểm làm S nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(x-m)-(x-m^2-1)}{(x-m{)}^2}=\frac{m^2-m+1}{(x-m{)}^2}>0$ với mọi $x\ne m$ (vì $m^2-m+1={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$). Vậy hàm số đồng biến trên mỗi nhánh của miền xác định $\mathbb{R}\setminus \{m\}$.

Xét các trường hợp:

(1) $m\in [0;4]$: trên $[0;m)$ hàm đồng biến và $y=1+\frac{m-m^2-1}{x-m}$ với $m-m^2-1<0$, khi $x\to m^{-}$ thì $x-m\to 0^{-}$ nên $y\to +\infty$. Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $[0;4]$, không thỏa mãn.

(2) $m<0$ hoặc $m>4$: khi đó $x-m\ne 0$ với mọi $x\in [0;4]$, hàm đồng biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;4]}{\max }y=y(4)=\frac{3-m^2}{4-m}$. Giải $\frac{3-m^2}{4-m}=-6\iff 3-m^2=-24+6m\iff m^2+6m-27=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=3</td></tr><tr><td>m=-9</td></tr></tbody></table>$. Vì $m=3\in [0;4]$ (loại theo trường hợp 2), $m=-9<0$ thỏa mãn và là số nguyên (kiểm tra: với $m=-9$, $y=\frac{x-82}{x+9}$, $y(4)=\frac{-78}{13}=-6$).

Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ nằm trên đoạn $CB$ với $CD=x$ (km), $0\le x\le 8$, khi đó $DB=8-x$. Theo hình vẽ, $AC\perp CB$ nên khoảng cách chèo thuyền $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{9+x^2}$ (km). Thời gian di chuyển: $$T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}.$$ Xét $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}=0⟺8x=6\sqrt{9+x^2}⟺64x^2=36(9+x^2)⟺28x^2=324⟺x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,40$ km (thỏa $0\le x\le 8$). Khi đó $AD=\sqrt{9+\frac{81}{7}}=\frac{12}{\sqrt{7}}$ và $$T=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,3307.$$ So sánh với hai đầu mút: $T(0)=\frac{3}{6}+\frac{8}{8}=1,5$; $T(8)=\frac{\sqrt{73}}{6}\approx 1,424$. Vậy thời gian nhanh nhất là $1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ, đạt được khi anh An chèo đến điểm $D$ với $CD=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,40$ km rồi chạy đến $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền hãng thu về khi đại lí nhập $x$ chiếc điện thoại là $$f(x)=x(6000-3x)=6000x-3x^2\text{ (nghıˋn đoˆˋng)},x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<200.$$ Xét $f(x)=-3x^2+6000x$ trên tập $\{1,2,\dots ,199\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=6000-6x=6(1000-x)>0$ với mọi $x<200$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;200)$. Do đó $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=199$ (giá trị lớn nhất của tập xác định), với $$f(199)=199\cdot (6000-3\cdot 199)=199\cdot 5403=1075197\text{ nghıˋn đoˆˋng}\approx 1,075\text{ tỷ đoˆˋng}.$$ Vậy đại lí nên nhập cùng lúc 199 chiếc điện thoại để hãng thu về nhiều tiền nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=1000({\text{cm}}^3)$ (vì 1 lít $=1000{\text{cm}}^3$), suy ra $h=\frac{1000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích toàn phần:
$$S=2x^2+4xh=2x^2+4x\cdot \frac{1000}{x^2}=2x^2+\frac{4000}{x},x>0.$$

Xét $S^{\prime }(x)=4x-\frac{4000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\iff 4x^3=4000\iff x^3=1000\iff x=10$.

Với $0<x<10$ thì $S^{\prime }(x)<0$; với $x>10$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10$ (khi đó $h=1000/100=10$).

Vậy $x=10\text{cm}$ để diện tích toàn phần của hộp sữa nhỏ nhất (khi đó hộp là hình lập phương cạnh 10 cm, $S_{\min }=600{\text{cm}}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 khi $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$ nên $t\in \{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$, tức có 9 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông bị cắt là $x$ (cm), với $0<x<10,5$. Kích thước hộp: đáy $(21-2x)\times (29,5-2x)$, chiều cao $x$.

Thể tích: $V(x)=x(21-2x)(29,5-2x)=4x^3-101x^2+619,5x$.

$V^{\prime }(x)=12x^2-202x+619,5$. Giải $V^{\prime }(x)=0$: $x=\frac{202\pm \sqrt{202^2-4\cdot 12\cdot 619,5}}{24}=\frac{202\pm \sqrt{11068}}{24}$.

$\sqrt{11068}\approx 105,20$ nên $x_1\approx 4,03$ (nhận, vì $0<x<10,5$) và $x_2\approx 12,80$ (loại).

Bảng biến thiên cho thấy $V$ đạt lớn nhất tại $x\approx 4,03$: $V_{max}=V(4,03)\approx 4\cdot (4,03{)}^3-101\cdot (4,03{)}^2+619,5\cdot 4,03\approx 1118,06$ cm³.

Vậy cần cắt hình vuông cạnh khoảng $x\approx 4,03$ cm để hộp có thể tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt ở bốn góc, với $0<x<10,5$ (vì cạnh nhỏ của tấm bìa là 21 cm). Sau khi cắt và gập, hộp không nắp có kích thước đáy $(21-2x)\times (29,5-2x)$ và chiều cao $x$.

Thể tích hộp: $$V(x)=x(21-2x)(29,5-2x)=4x^3-101x^2+619,5x,0<x<10,5.$$

Ta có $$V^{\prime }(x)=12x^2-202x+619,5.$$
Giải $V^{\prime }(x)=0$: $$x=\frac{202\pm \sqrt{202^2-4\cdot 12\cdot 619,5}}{24}=\frac{202\pm \sqrt{11068}}{24}.$$
Với $\sqrt{11068}\approx 105,20$ ta được $x_1\approx 4,03$ và $x_2\approx 12,80$ (loại vì $x_2>10,5$).

Bảng biến thiên: $V^{\prime }(x)>0$ trên $(0;x_1)$ và $V^{\prime }(x)<0$ trên $(x_1;10,5)$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_1$. Khi đó $V_{\max }\approx 4,03\cdot (21-8,07)\cdot (29,5-8,07)\approx 4,03\cdot 12,93\cdot 21,43\approx 1116,27{\text{cm}}^3$.

Vậy cạnh hình vuông cần cắt là $x\approx 4,03$ cm để được hộp có thể tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí phát hành mỗi cuốn là 4 nghìn đồng = 0,4 vạn đồng, nên tổng chi phí cho $x$ cuốn là:
$$T(x)=C(x)+0,4x=0,0001x^2-0,2x+10000+0,4x=0,0001x^2+0,2x+10000\text{ (vạn đoˆˋng)}.$$
Chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí:
$$M(x)=\frac{T(x)}{x}=0,0001x+\frac{10000}{x}+0,2,0<x\le 30000.$$
Xét đạo hàm: $M^{\prime }(x)=0,0001-\frac{10000}{x^2}$. Cho $M^{\prime }(x)=0\iff x^2=10^8\iff x=10000$ (thỏa điều kiện $0<x\le 30000$).
Trên khoảng $(0;10000)$ ta có $M^{\prime }(x)<0$, trên khoảng $(10000;30000]$ ta có $M^{\prime }(x)>0$, nên $M(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10000$.
Vậy cần xuất bản $10000$ cuốn tạp chí để chi phí trung bình thấp nhất. Khi đó:
$$M(10000)=0,0001\cdot 10000+\frac{10000}{10000}+0,2=1+1+0,2=2,2\text{ (vạn đoˆˋng)}.$$
Vậy chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí là $2,2$ vạn đồng, tức $22000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền bán được: $B(x)=220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$, với $1\le x\le 18$.

$x=0$ không thuộc miền xác định nên bỏ. Xét $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x^2-2x-80)=-3(x-10)(x+8)$.

Trên $[1;18]$: $L^{\prime }(x)>0$ khi $1\le x<10$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $10<x\le 18$. Vậy hàm số đồng biến trên $[1;10]$ và nghịch biến trên $[10;18]$, nên $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=10$.

$L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ (nghìn đồng).

Kết luận: Hộ dệt cần sản xuất và bán mỗi ngày $10$ mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa là $1200000$ đồng (1,2 triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi đơn vị: $V=30{\mathrm{dm}}^3$, đáy hình vuông cạnh $x$ dm nên chiều cao $h=\frac{30}{x^2}$ dm. Diện tích đáy và nắp: $2x^2{\mathrm{dm}}^2$. Diện tích mặt xung quanh: $4xh=4x\cdot \frac{30}{x^2}=\frac{120}{x}{\mathrm{dm}}^2$. Đổi giá sang đơn vị nghìn đồng trên $1{\mathrm{dm}}^2$: giá đáy và nắp $120000$ đồng/m${}^2=1,2$ nghìn đồng/dm${}^2$; giá mặt xung quanh $100000$ đồng/m${}^2=1$ nghìn đồng/dm${}^2$. Chi phí (nghìn đồng): $f(x)=1,2\cdot 2x^2+1\cdot \frac{120}{x}=\frac{12}{5}{x}^2+\frac{120}{x}$. Vậy đáp án A.