Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1012: a) D, b) S, c) D, d) S.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1011: a) D, b) S, c) S, d) D.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề ĐÚNG.

Ta có đẳng thức quen thuộc:
$$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2.$$

Vì $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt nên các hiệu $a-b,b-c,c-a$ là các số chẵn khác $0$, do đó mỗi bình phương $(a-b{)}^2,(b-c{)}^2,(c-a{)}^2$ đều $\ge 4$. Suy ra
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 12,$$
tức là $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge \frac{12}{2}=6$, hay $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.

Về dấu bằng: dấu bằng trong ước lượng trên đòi hỏi $(a-b{)}^2=(b-c{)}^2=(c-a{)}^2=4$, tức $|a-b|=|b-c|=|c-a|=2$. Điều này không thể xảy ra vì $a-b+b-c+c-a=0$ trong khi tổng của ba số mỗi số bằng $\pm 2$ không thể bằng $0$ (tổng của ba số lẻ là số lẻ). Thật vậy, với ba số lẻ phân biệt, trong ba hiệu có đúng hai hiệu bằng $\pm 2$ và hiệu còn lại bằng $\pm 4$; chẳng hạn với $a=1,b=3,c=5$:
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=4+4+16=24,$$
khi đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=12>6$.

Kết luận: mệnh đề đúng; thực tế bất đẳng thức luôn chặt, tức $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca+6$, nhưng dạng $\ge$ trong mệnh đề vẫn được thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $|x^2-2x-3|=x^2+|2x+3|$ với $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

- Với $x\le -\frac{3}{2}$: khi đó $2x+3\le 0$ nên $|2x+3|=-2x-3$; đồng thời $(x-3)(x+1)\ge 0$ nên $|x^2-2x-3|=x^2-2x-3$. Phương trình trở thành $x^2-2x-3=x^2-2x-3$, đúng với mọi $x\le -\frac{3}{2}$.
- Với $-\frac{3}{2}<x<-1$: $|2x+3|=2x+3$, $|x^2-2x-3|=x^2-2x-3$, phương trình cho $-2x-3=2x+3\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ (loại).
- Với $-1\le x<\frac{3}{2}$: $|x^2-2x-3|=-x^2+2x+3$, phương trình cho $-x^2+2x+3=x^2+2x+3\Rightarrow x=0$, thỏa mãn (kiểm tra $|-3|=0+3$ đúng).
- Với $x\ge \frac{3}{2}$: không có nghiệm (dẫn đến $x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=0$, đều loại).

Vậy tập nghiệm là $x\le -\frac{3}{2}$ hoặc $x=0$. Trong khoảng $-2020\le x\le 2021$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $x\in \{-2020,-2019,\dots ,-2\}$ (2019 giá trị) cùng với $x=0$, tổng cộng $2019+1=2020$ giá trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$: 'Một số tự nhiên là số chính phương', $Q$: 'Chữ số tận cùng của nó là một trong các số 0; 1; 4; 5; 6; 9'. Ta có $P\Rightarrow Q$ đúng (số chính phương chỉ tận cùng bởi 0; 1; 4; 5; 6; 9), còn $Q\Rightarrow P$ sai (ví dụ số 10 tận cùng bằng 0 nhưng không là số chính phương), do đó mệnh đề $P\iff Q$ là mệnh đề sai.
(1) Đúng: vì $P\iff Q$ là mệnh đề sai, nên không thể phát biểu mệnh đề trên bằng thuật ngữ điều kiện cần và đủ.
(2) Đúng: 'Điều kiện cần để $P$ là $Q$' nghĩa là $P\Rightarrow Q$, và điều này đúng.
(3) Đúng: '$P$ là điều kiện đủ để $Q$' nghĩa là $P\Rightarrow Q$, cũng đúng.
(4) Sai: 'Điều kiện cần để $Q$ là $P$' nghĩa là $Q\Rightarrow P$, nhưng điều này sai (số 10 có tận cùng là 0 nhưng không chính phương).
Vậy có 3 phát biểu đúng: (1), (2), (3). Kết quả trùng với đáp số đã cho: 3.

Chọn D
Nếu Dũng nói sai thì Bình hoặc Cường có thể là người thấp nhất dẫn đến có 2 người nói sai.
Nếu Cường nói sai thì Cường có thể cao bằng An dẫn đến có 2 người nói sai.
Nếu Bình nói sai thì Bình có thể thấp nhất dẫn đến Dũng nói sai.

Nếu An nói sai thì ta có một thứ tự sắp từ lớn tới bé để chỉ An nói sai là Bình, An, Cường và
Dũng.

A ( 0;0;3) B ( 2;3;5 ) ( P ) là mặt phẳng chứa