Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nhị thức Newton cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta giải phương trình $(n+1{)}^n=2n^k+3n+1$ với $n,k$ nguyên dương.

**Trường hợp $k=1$:** Phương trình trở thành $(n+1{)}^n=5n+1$. Với $n=1$: $2\ne 6$. Với $n=2$: $9\ne 11$. Với $n=3$: $4^3=64\ne 16=5\cdot 3+1$. Với $n\ge 4$: $(n+1{)}^n\ge (n+1{)}^2=n^2+2n+1>5n+1$ (vì $n^2-3n=n(n-3)>0$ khi $n\ge 4$). Vậy không có nghiệm với $k=1$.

**Trường hợp $k\ge 2$:** Xét phương trình theo modulo $n^2$.
- VT: khai triển nhị thức $(n+1{)}^n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})n^2+\cdots +n^n=1+n^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})n^2+\cdots$, mọi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi đều chia hết cho $n^2$, nên $(n+1{)}^n\equiv 1(\mathrm{mod}{n}^2)$.
- VP: do $k\ge 2$ nên $n^2\mid n^k$, suy ra $2n^k+3n+1\equiv 3n+1(\mathrm{mod}{n}^2)$.

Do đó $3n\equiv 0(\mathrm{mod}{n}^2)$, tức $n^2\mid 3n$, suy ra $n\mid 3$, vậy $n\in \{1,3\}$.

- Với $n=1$: VT $=2^1=2$, VP $=2\cdot 1^k+3+1=6$, loại.
- Với $n=3$: $4^3=64=2\cdot 3^k+9+1=2\cdot 3^k+10\Rightarrow 3^k=27\Rightarrow k=3$. Thử lại: $2\cdot 27+3\cdot 3+1=54+10=64=4^3$. Đúng.

**Kết luận:** Cặp duy nhất thỏa mãn là $(n,k)=(3,3)$.

Ta có:
$${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^5=\sum _{k=0}^5{C}_5^k.{\left(x^2\right)}^{5-k}.{\left(\frac{2}{x}\right)}^k=\sum _{k=0}^5{C}_5^k.2^k.x^{10-3k}$$
Xét phương trình $10-3k=4\iff k=2$. Vậy hệ số đứng trước $x^4$ là $C_5^2.2^2=40$.
Chọn đáp án A

Chọn A

Xét khai triển $(1+x{)}^5=C_5^0+x{C}_5^1+x^2{C}_5^2+x^3{C}_5^3+x^4{C}_5^4+x^5{C}_5^5$.

Cho $x=2$, thay vào kiểm tra ta được: $3^5=C_5^0+2C_5^1+2^2{C}_5^2+2^3{C}_5^3+2^4{C}_5^4+2^5{C}_5^5$.

Vậy $T=3^5$.

(Lưu ý: trang lời giải in lại phương án D là $4^5$, khác với đề gốc $3^6$; đáp án A nhất quán.)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(1+x{)}^{2025}={\sum }_{k=0}^{2025}{C}_{2025}^k{x}^k$. Lấy đạo hàm hai vế: $2025(1+x{)}^{2024}={\sum }_{k=1}^{2025}k{C}_{2025}^k{x}^{k-1}$. Thay $x=1$: $S={\sum }_{k=1}^{2025}k{C}_{2025}^k=2025\cdot 2^{2024}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển $(x-3{)}^5$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)x^4(-3{)}^{5-4}=5\cdot (-3)x^4=-15x^4$. Vậy hệ số của $x^4$ là $-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1$ vào đẳng thức $(3-x{)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$ ta được $(3-(-1){)}^5=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$. Vậy $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=4^5=1024$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển $(3x-4{)}^5$ là $C_5^4(3x{)}^4(-4{)}^1=5\cdot 81\cdot (-4)=-1620$. Vậy hệ số của $x^4$ là $-1620$.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(a+b{)}^8$ có $8+1=9$ số hạng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(2x+1{)}^4$ theo nhị thức Newton: $(2x+1{)}^4={\sum }_{k=0}^4(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k})(2x{)}^{4-k}$. Cụ thể: $k=0$: $16x^4$; $k=1$: $4\cdot 8x^3=32x^3$; $k=2$: $6\cdot 4x^2=24x^2$; $k=3$: $4\cdot 2x=8x$; $k=4$: $1$. Vậy $(2x+1{)}^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-2{)}^5$ với $n=5$ có $n+1=6$ số hạng (các số hạng ứng với $k=0,1,\dots ,5$). Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-2{)}^5$ có số hạng tổng quát $C_5^k(3x{)}^{5-k}(-2{)}^k$. a) Số hạng chứa $x^3$: $k=2$, hệ số $C_5^2\cdot 3^3\cdot (-2{)}^2=10\cdot 27\cdot 4=1080\ne 810$ → Sai. b) Số hạng chứa $x^5$: $k=0$, bằng $3^5{x}^5=243x^5$ → Đúng. c) Khai triển nhị thức bậc 5 có $5+1=6$ số hạng → Đúng. d) Tổng các hệ số bằng $P(1)=(3-2{)}^5=1\ne 5$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 102: S, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=2$: $C_5^2(3x{)}^3(-2{)}^2=1080x^3$, hệ số là 1080 chứ không phải 810.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^5$ ứng với $k=0$: $C_5^0(3x{)}^5=243x^5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(a+b{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số bằng $P(1)=(3-2{)}^5=1\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $P=(3x-2{)}^5$ có số hạng tổng quát $C_5^k(3x{)}^{5-k}(-2{)}^k$. a) Số hạng chứa $x^5$ ứng với $k=0$: $C_5^0(3x{)}^5=243x^5$ → đúng. b) Khai triển $(a+b{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng → đúng. c) Tổng các hệ số bằng $P(1)=(3-2{)}^5=1\ne 5$ → sai. d) Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=2$: $C_5^2(3x{)}^3(-2{)}^2=10\cdot 27\cdot 4x^3=1080x^3$, hệ số là $1080\ne 810$ → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 101, câu 2: Đ Đ S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^5$ ứng với $k=0$: $C_5^0(3x{)}^5(-2{)}^0=243x^5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-2{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số bằng $P(1)=(3-2{)}^5=1\ne 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=2$: $C_5^2(3x{)}^3(-2{)}^2=1080x^3$, hệ số là $1080\ne 810$.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-2{)}^5$ theo nhị thức Newton có $5+1=6$ số hạng (từ $x^5$ đến $(-2{)}^5$). Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã 101.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(2x+1{)}^4$ theo nhị thức Newton: $(2x+1{)}^4={\sum }_{k=0}^4{C}_4^k(2x{)}^{4-k}$. Ta có: $C_4^0(2x{)}^4=16x^4$; $C_4^1(2x{)}^3=4\cdot 8x^3=32x^3$; $C_4^2(2x{)}^2=6\cdot 4x^2=24x^2$; $C_4^3(2x)=4\cdot 2x=8x$; $C_4^4=1$. Vậy $(2x+1{)}^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 101, câu 8 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(1-\frac{4x}{5}{)}^5$ với số hạng tổng quát $C_5^k{\left(-\frac{4x}{5}\right)}^k$:
- $k=0$: $1$; $k=1$: $5\cdot (-\frac{4}{5})x=-4x$; $k=2$: $10\cdot \frac{16}{25}{x}^2=\frac{32}{5}{x}^2$; $k=3$: $10\cdot (-\frac{64}{125})x^3=-\frac{128}{25}{x}^3$; $k=4$: $5\cdot \frac{256}{625}{x}^4=\frac{256}{125}{x}^4$; $k=5$: $-\frac{1024}{3125}{x}^5$.
a) Đa thức có $5+1=6$ số hạng, không phải 5 → Sai.
b) Số hạng không chứa $x$ (ứng với $k=0$) bằng 1 → Đúng.
c) Hai hệ số cuối sai: phải là $\frac{256}{125}{x}^4-\frac{1024}{3125}{x}^5$, không phải $\frac{32}{5}{x}^4-x^5$ → Sai.
d) Tổng các hệ số $={\left(1-\frac{4}{5}\right)}^5={\left(\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{1}{3125}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển nhị thức bậc 5 có $5+1=6$ số hạng, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng ứng với $k=0$ là $C_5^0=1$, không chứa $x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai số hạng cuối đúng phải là $\frac{256}{125}{x}^4-\frac{1024}{3125}{x}^5$, nên đẳng thức đã cho sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số bằng giá trị tại $x=1$: ${\left(1-\frac{4}{5}\right)}^5=\frac{1}{3125}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát: $C_5^k\cdot 2^{5-k}\cdot (3x{)}^k$. Với $k=4$: $C_5^4\cdot 2^1\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$. Vậy hệ số của $x^4$ là $810$.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(1+3x{)}^4=C_4^0+C_4^1(3x)+C_4^2(3x{)}^2+C_4^3(3x{)}^3+C_4^4(3x{)}^4=1+12x+54x^2+108x^3+81x^4$. Theo số mũ tăng dần của $x$, số hạng thứ 2 là $12x$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{2}^k$.
a) Khai triển nhị thức bậc 5 có $5+1=6$ số hạng → Đúng.
b) Số hạng chứa $x^2$ ứng với $k=3$: $C_5^3\cdot 2^3=80$, khác $4\cdot C_5^1=20$ → Sai.
c) Số hạng không chứa $x$ ứng với $k=5$: $2^5=32\ne 1$ → Sai.
d) Trong $(x+2{)}^5$, hệ số của $x^2$ là $C_5^3\cdot 2^3=80$ và hệ số của $x^3$ là $C_5^2\cdot 2^2=40$. Hệ số của $x^3$ trong $(2x+1)(x+2{)}^5$ là $2\cdot 80+40=200\ne 326$ → Sai.
Kết quả Đ – S – S – S khớp đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 16).
a) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^2$ là $C_5^3\cdot 2^3=80$, khác $4\cdot C_5^1=20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng không chứa $x$ là $2^5=32$, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^3$ trong $(2x+1)(x+2{)}^5$ là $2\cdot 80+40=200$, không phải 326.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(x+\frac{1}{x}{)}^4$ là $T_{k+1}=C_4^k{x}^{4-k}\cdot x^{-k}=C_4^k{x}^{4-2k}$. Hạng tử không chứa $x$ khi $4-2k=0\Rightarrow k=2$. Vậy hệ số là $C_4^2=\frac{4!}{2!2!}=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{2}^k$.
a) Đúng: khai triển nhị thức bậc 5 có $5+1=6$ số hạng.
b) Sai: số hạng không chứa $x$ ứng với $k=5$: $C_5^5\cdot 2^5=32\ne 1$.
c) Sai: số hạng chứa $x^2$ ứng với $5-k=2\Rightarrow k=3$: hệ số là $C_5^3\cdot 2^3=10\cdot 8=80$, còn $4.C_5^1=20\ne 80$.
d) Sai: trong $(2x+1)(x+2{)}^5$, hệ số của $x^3$ bằng $2\cdot$ (hệ số $x^2$ của $(x+2{)}^5$) $+$ (hệ số $x^3$ của $(x+2{)}^5$) $=2\cdot 80+C_5^2\cdot 2^2=160+40=200\ne 326$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng không chứa $x$ là $C_5^5\cdot 2^5=32\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^2$ là $C_5^3\cdot 2^3=80$, khác $4.C_5^1=20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^3$ trong $(2x+1)(x+2{)}^5$ là $2\cdot 80+C_5^2\cdot 4=160+40=200\ne 326$.