Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1,y=3$ vào từng bất phương trình: A: $x+3y=-1+9=8>0$, không thỏa $x+3y<0$. B: $x-3y=-1-9=-10<0$, không thỏa $x-3y>0$. C: $-3x+2y-4=3+6-4=5>0$, thỏa. D: $2x+y-4=-2+3-4=-3<0$, không thỏa. Vậy điểm $A(-1;3)$ thuộc miền nghiệm của $-3x+2y-4>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(0;-1)$ và $(2;0)$ nên có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1\iff x-2y=2$. Phần gạch chéo là miền nghiệm nằm về một phía của $d$ và theo đề bài không bao gồm đường thẳng $d$, nên bất phương trình phải có dấu nghiêm ngặt (loại C). Miền gạch chéo là miền không chứa gốc tọa độ phía trên đường thẳng, tức là phần thỏa $x-2y<2$ (ví dụ điểm $(0;0)$ thuộc miền: $0-2\cdot 0=0<2$). Kiểm tra các phương án: A có biên $2x-y=0$ không khớp với $d$; D có biên $x-2y=1$ (đường thẳng cắt trục tung tại $-\frac{1}{2}$, cắt trục hoành tại $1$) không khớp với hình vẽ. Vậy đáp án là $x-2y<2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-y=0$ đi qua gốc tọa độ. Trong hình, phần bị gạch gồm: miền phía trên đường thẳng $d$ (vùng $x-y\le 0$) và miền bên trái trục $Oy$ (vùng $x\le 0$). Do đó phần không bị gạch, kể cả biên, là phần nằm dưới đường thẳng $d$ và bên phải trục $Oy$, tức miền thỏa $x-y\ge 0$ và $x\ge 0$. Kiểm tra: điểm $(1;0)$ không bị gạch và thỏa cả hai bất phương trình; điểm $(0;1)$ bị gạch và không thỏa. Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$, tương ứng đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A. $2x+y>5$ có dạng bậc nhất theo hai ẩn $x,y$ — thỏa mãn. B. $2x^2+5y^2>3$ có ẩn bậc hai — không phải. C. $2x^2+3x+1>0$ chỉ có một ẩn và bậc hai — không phải. D. $2x+5y-3z>0$ có ba ẩn — không phải. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào hệ $\{\begin{array}{l}x-3y>5\\ 2x+y<3\end{array}$: A $(3;1)$: $3-3=0>5$ sai. B $(1;-2)$: $1-3(-2)=7>5$ đúng và $2(1)+(-2)=0<3$ đúng → thỏa cả hai. C $(3;-1)$: $3+3=6>5$ đúng nhưng $6-1=5<3$ sai. D $(1;2)$: $1-6=-5>5$ sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $x+3y-6=-6<0$ và $2x+y+4=4>0$. Vậy $O$ thuộc miền nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4>0\end{array}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi mỗi lọ cắm $m$ bông hoa loại 15 000 và $n$ bông hoa loại 20 000 ($m,n\ge 1$). Tổng số tiền chi là $S=3\cdot 15000m+3\cdot 20000n=15000(3m+4n)$, tức $S$ là bội của 15 000. Để tiền dư ít nhất, cần $S$ lớn nhất không vượt quá 200 000. Bội lớn nhất của 15 000 không vượt 200 000 là 195 000 $=15000\cdot 13$. Vì $13=3\cdot 3+4\cdot 1$ (chọn $m=3,n=1$), cách mua này khả thi: mỗi lọ cắm 3 bông loại 15 000 và 1 bông loại 20 000. Khi đó tiền dư $=200000-195000=5000$ đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)\iff -x+2y-2<2-2x\iff x+2y-4<0$. Thử từng điểm: $O(0;0)$: $-4<0$ đúng; $B(1;1)$: $-1<0$ đúng; $C(4;2)$: $4+4-4=4>0$ sai; $D(1;-1)$: $-5<0$ đúng. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng trong hình là $y=\frac{x}{2}$ (tức $x-2y=0$, đi qua gốc $O$ và điểm $(2;1)$) và $y=-\frac{x+2}{3}$ (tức $x+3y=-2$, đi qua $(-2;0)$). Phần không tô đậm (không chứa biên) nằm phía trên cả hai đường thẳng. Thử điểm trắng ví dụ $(0;1)$: $x-2y=-2<0$ và $x+3y=3>-2$. Vậy miền trắng thỏa $x-2y<0$ và $x+3y>-2$. Vì miền không chứa biên nên các bất phương trình phải nghiêm ngặt. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: O(0;0) (giao x=0, y=0), A(0;3) (giao x=0 với 3x+5y=15), B(25/8; 9/8) (giao x−y=2 với 3x+5y=15: x=y+2, 3(y+2)+5y=15 ⟹ y=9/8, x=25/8), C(2;0) (giao y=0 với x−y=2). Vậy A đúng. Trên tứ giác này, x+y đạt GTLN tại B: 25/8+9/8=17/4 (C đúng) và GTNN tại O: 0 (D đúng). Đường thẳng x+y=m cắt tứ giác (kể cả biên) khi và chỉ khi m nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x+y trên tứ giác, tức 0≤m≤17/4. Mệnh đề B cho khoảng −1≤m≤17/4 là sai vì với −1≤m<0 đường thẳng không cắt tứ giác. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo ($x,y\ge 0$). Các ràng buộc: hương liệu $x+4y\le 24$; nước $x+y\le 9$; đường $30x+10y\le 210\iff 3x+y\le 21$. Hàm mục tiêu $P=60x+80y$ cần lớn nhất. Miền nghiệm là ngũ giác với các đỉnh: $(0,0)$, $(7,0)$, giao của $x+y=9$ và $3x+y=21$ là $(6,3)$, giao của $x+4y=24$ và $x+y=9$ là $(4,5)$, và $(0,6)$. Tính $P$: tại $(7,0)$: $420$; tại $(6,3)$: $600$; tại $(4,5)$: $640$; tại $(0,6)$: $480$. Vậy $P_{\max }=640$ đạt tại $x=4,y=5$, tức pha 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cả hai bất phương trình $3-y<0$ và $2x-3y+1>0$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho LÀ hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → mệnh đề a SAI.

b) Tại $B(4;3)$: $3-3=0$ không thỏa $3-y<0$ (cần $y>3$) → $B$ không thuộc miền nghiệm → SAI.

c) Tại $C(7;4)$: $3-4=-1<0$ thỏa; $2\cdot 7-3\cdot 4+1=3>0$ thỏa → $C$ thuộc miền nghiệm → ĐÚNG.

d) Miền nghiệm là phần phía trên đường $(d_1):y=3$ và phía dưới đường $(d_2):y=\frac{2x+1}{3}$. Trong hình vẽ trang 7, vùng không bị gạch (không kể bờ vì các bất phương trình nghiêm ngặt) chính là vùng nằm giữa $(d_1)$ và $(d_2)$, trùng với miền nghiệm của hệ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cả hai bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3-3=0$ không thỏa $3-y<0$ (cần $y>3$), nên $B(4;3)$ không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3-4=-1<0$ và $2\cdot 7-3\cdot 4+1=3>0$, cả hai đều thỏa nên $C(7;4)$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là phần phía trên $(d_1):y=3$ và phía dưới $(d_2):y=\frac{2x+1}{3}$; vùng không gạch (không kể bờ) trong hình đúng là vùng này.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → đúng.
b) Thay (0;0): 2·0+3·0−6=−6≤0; 0≥0; 2·0−3·0−1=−1≤0, thỏa cả ba bất phương trình → (0;0) là nghiệm → đúng.
c) Thay (1;−1): 2·1+3·(−1)−6=−7≤0; 1≥0; nhưng 2·1−3·(−1)−1=4>0, vi phạm bất phương trình thứ ba → (1;−1) không là nghiệm → sai.
d) Miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh: giao của 2x+3y=6 với x=0 là (0;2); giao của 2x−3y=1 với x=0 là (0;−1/3); giao của 2x+3y=6 và 2x−3y=1: cộng hai phương trình được 4x=7, x=7/4, y=5/6, tức (7/4;5/6). Xét L=y−x: tại (0;2) có L=2 (max, a=2); tại (0;−1/3) có L=−1/3; tại (7/4;5/6) có L=5/6−7/4=10/12−21/12=−11/12 (min, b=−11/12). Vậy a+b=2−11/12=24/12−11/12=13/12≠7/2 → mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay (0;0): −6≤0, 0≥0, −1≤0 đều thỏa nên (0;0) là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay (1;−1): 2·1−3·(−1)−1=4>0, vi phạm 2x−3y−1≤0 nên không là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Các đỉnh miền nghiệm: (0;2), (0;−1/3), (7/4;5/6). L=y−x đạt max a=2 tại (0;2), min b=5/6−7/4=−11/12 tại (7/4;5/6). Suy ra a+b=2−11/12=13/12≠7/2 nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (triệu đồng) là số tiền đầu tư vào khoản $X$ và $Y$. Điều kiện: tổng không quá 240 nên $x+y\le 240$; khoản $Y$ đầu tư ít nhất 40 nên $y\ge 40$; khoản $X$ ít nhất gấp 3 lần $Y$ nên $x\ge 3y$ (kèm $x,y\ge 0$).

a) Đúng: hệ $\{\begin{array}{l}x+y\le 240\\ y\ge 40\\ x\ge 3y\end{array}$ mô tả đúng các điều kiện đề bài.

b) Sai: miền nghiệm là tam giác, không phải tứ giác. Các đỉnh: giao $y=40$ với $x=3y$ là $(120;40)$; giao $y=40$ với $x+y=240$ là $(200;40)$; giao $x=3y$ với $x+y=240$ cho $4y=240\Rightarrow y=60$, tức $(180;60)$.

c) Sai: $C(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình: $200+40=240\le 240$, $40\ge 40$, $200\ge 3\cdot 40=120$, nên $C$ thuộc miền nghiệm.

d) Đúng: từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $3y+y\le 240\Rightarrow y\le 60$. Điểm có tung độ lớn nhất là giao của $x=3y$ và $x+y=240$, tức $A(180;60)$ với $y=60$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình mô tả đúng: tổng không quá 240, y ít nhất 40, x ít nhất gấp 3 lần y.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh (120;40), (200;40), (180;60), không phải tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(200;40) thỏa cả ba bất phương trình (200+40=240, y=40, 200≥120) nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ x≥3y và x+y≤240 suy ra 4y≤240⇒y≤60; điểm có tung độ lớn nhất là A(180;60).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (m${}^2$) là diện tích trồng cà chua, $y$ (m${}^2$) là diện tích gieo rau ($x,y\ge 0$). Vì trồng trên toàn bộ mảnh vườn $8{\text{ m}}^2$ nên $x+y=8$. Điều kiện công: $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$. Thay $y=8-x$: $2x+3(8-x)\le 18\iff 24-x\le 18\iff x\ge 6$. Vậy $6\le x\le 8$, $y=8-x$. Số tiền thu được (nghìn đồng): $T=300x+400y=300x+400(8-x)=3200-100x$. Vì $T$ giảm theo $x$ nên $T$ lớn nhất khi $x=6$, khi đó $y=2$, $T=3200-600=2600$ (nghìn đồng). Kiểm tra: công $=20\cdot 6+30\cdot 2=180\le 180$ thỏa mãn. Kết luận: trồng cà chua trên $6{\text{ m}}^2$ và gieo rau trên $2{\text{ m}}^2$ để thu được nhiều tiền nhất, thu được $2600000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số chậu loại nhỏ và loại lớn ($x,y\in \mathbb{N}$). Điều kiện: $x+y\ge 10$ (ít nhất 10 chậu), $x+2y\le 18$ (không quá 18 giờ), $x\ge 0,y\ge 0$. Tổng tiền: $P=200x+500y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(10;0)$, $(0;9)$, $(2;8)$ (giao của $x+y=10$ và $x+2y=18$). Tính $P$: tại $(10;0)$: $P=2000$; tại $(0;9)$: $P=4500$; tại $(2;8)$: $P=400+4000=4400$. Vậy $P$ lớn nhất bằng $4500$ nghìn đồng khi $x=0,y=9$: bạn Lan cần làm 9 chậu loại lớn và không làm chậu loại nhỏ.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi $x,y$ (lít) là số nước mắm loại I và loại II sản xuất, $x,y\ge 0$. Ràng buộc về cá: $3x+2y\le 230$; ràng buộc về công lao động: $2x+3y\le 220$. Vậy hệ điều kiện ràng buộc là $$\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ 3x+2y\le 230\\ 2x+3y\le 220\end{array}$$ b) Lợi nhuận (đồng): $P=45000x+35000y$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A\left(\frac{230}{3};0\right)$, $B(50;40)$ (giao của $3x+2y=230$ và $2x+3y=220$: giải hệ được $x=50,y=40$), $C\left(0;\frac{220}{3}\right)$. Vì $P$ là hàm tuyến tính nên giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh: $P(O)=0$; $P(A)=45000\cdot \frac{230}{3}=3450000$; $P(B)=45000\cdot 50+35000\cdot 40=2250000+1400000=3650000$; $P(C)=35000\cdot \frac{220}{3}\approx 2566667$. Vậy lợi nhuận cao nhất là $3650000$ đồng khi xưởng sản xuất $x=50$ lít nước mắm loại I và $y=40$ lít nước mắm loại II (khi đó dùng hết 230kg cá và 220 giờ công).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. A có ẩn $x^2$ (bậc hai, một ẩn); C có hạng tử $xy$ (bậc hai); D là phương trình (dấu bằng), không phải bất phương trình. Chỉ có $2x+y\le 1$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A: $2(-2)+1=-3<1$ (là nghiệm); B: $2(3)+(-7)=-1<1$ (là nghiệm); C: $2(0)+1=1\nless 1$ (không là nghiệm); D: $2(0)+0=0<1$ (là nghiệm). Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án:
- A: $3x-y\le 0$ có dạng $ax+by+c\le 0$ với $a=3,b=-1$ (không đồng thời bằng 0), ẩn chỉ bậc nhất → là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- B: $x^2+2x-1>0$ chứa $x^2$ và chỉ có một ẩn → không phải.
- C: $x^2-6y>1$ chứa $x^2$ (bậc hai) → không phải.
- D: $xy+4y<3$ chứa hạng tử $xy$ bậc hai → không phải.
Vậy đáp án là A.