Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(0;-1)$ và $(2;0)$ nên có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1\iff x-2y=2$. Phần gạch chéo là miền nghiệm nằm về một phía của $d$ và theo đề bài không bao gồm đường thẳng $d$, nên bất phương trình phải có dấu nghiêm ngặt (loại C). Miền gạch chéo là miền không chứa gốc tọa độ phía trên đường thẳng, tức là phần thỏa $x-2y<2$ (ví dụ điểm $(0;0)$ thuộc miền: $0-2\cdot 0=0<2$). Kiểm tra các phương án: A có biên $2x-y=0$ không khớp với $d$; D có biên $x-2y=1$ (đường thẳng cắt trục tung tại $-\frac{1}{2}$, cắt trục hoành tại $1$) không khớp với hình vẽ. Vậy đáp án là $x-2y<2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-y=0$ đi qua gốc tọa độ. Trong hình, phần bị gạch gồm: miền phía trên đường thẳng $d$ (vùng $x-y\le 0$) và miền bên trái trục $Oy$ (vùng $x\le 0$). Do đó phần không bị gạch, kể cả biên, là phần nằm dưới đường thẳng $d$ và bên phải trục $Oy$, tức miền thỏa $x-y\ge 0$ và $x\ge 0$. Kiểm tra: điểm $(1;0)$ không bị gạch và thỏa cả hai bất phương trình; điểm $(0;1)$ bị gạch và không thỏa. Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$, tương ứng đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)\iff -x+2y-2<2-2x\iff x+2y-4<0$. Thử từng điểm: $O(0;0)$: $-4<0$ đúng; $B(1;1)$: $-1<0$ đúng; $C(4;2)$: $4+4-4=4>0$ sai; $D(1;-1)$: $-5<0$ đúng. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng trong hình là $y=\frac{x}{2}$ (tức $x-2y=0$, đi qua gốc $O$ và điểm $(2;1)$) và $y=-\frac{x+2}{3}$ (tức $x+3y=-2$, đi qua $(-2;0)$). Phần không tô đậm (không chứa biên) nằm phía trên cả hai đường thẳng. Thử điểm trắng ví dụ $(0;1)$: $x-2y=-2<0$ và $x+3y=3>-2$. Vậy miền trắng thỏa $x-2y<0$ và $x+3y>-2$. Vì miền không chứa biên nên các bất phương trình phải nghiêm ngặt. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cả hai bất phương trình $3-y<0$ và $2x-3y+1>0$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho LÀ hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → mệnh đề a SAI.

b) Tại $B(4;3)$: $3-3=0$ không thỏa $3-y<0$ (cần $y>3$) → $B$ không thuộc miền nghiệm → SAI.

c) Tại $C(7;4)$: $3-4=-1<0$ thỏa; $2\cdot 7-3\cdot 4+1=3>0$ thỏa → $C$ thuộc miền nghiệm → ĐÚNG.

d) Miền nghiệm là phần phía trên đường $(d_1):y=3$ và phía dưới đường $(d_2):y=\frac{2x+1}{3}$. Trong hình vẽ trang 7, vùng không bị gạch (không kể bờ vì các bất phương trình nghiêm ngặt) chính là vùng nằm giữa $(d_1)$ và $(d_2)$, trùng với miền nghiệm của hệ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cả hai bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3-3=0$ không thỏa $3-y<0$ (cần $y>3$), nên $B(4;3)$ không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3-4=-1<0$ và $2\cdot 7-3\cdot 4+1=3>0$, cả hai đều thỏa nên $C(7;4)$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là phần phía trên $(d_1):y=3$ và phía dưới $(d_2):y=\frac{2x+1}{3}$; vùng không gạch (không kể bờ) trong hình đúng là vùng này.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (triệu đồng) là số tiền đầu tư vào khoản $X$ và $Y$. Điều kiện: tổng không quá 240 nên $x+y\le 240$; khoản $Y$ đầu tư ít nhất 40 nên $y\ge 40$; khoản $X$ ít nhất gấp 3 lần $Y$ nên $x\ge 3y$ (kèm $x,y\ge 0$).

a) Đúng: hệ $\{\begin{array}{l}x+y\le 240\\ y\ge 40\\ x\ge 3y\end{array}$ mô tả đúng các điều kiện đề bài.

b) Sai: miền nghiệm là tam giác, không phải tứ giác. Các đỉnh: giao $y=40$ với $x=3y$ là $(120;40)$; giao $y=40$ với $x+y=240$ là $(200;40)$; giao $x=3y$ với $x+y=240$ cho $4y=240\Rightarrow y=60$, tức $(180;60)$.

c) Sai: $C(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình: $200+40=240\le 240$, $40\ge 40$, $200\ge 3\cdot 40=120$, nên $C$ thuộc miền nghiệm.

d) Đúng: từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $3y+y\le 240\Rightarrow y\le 60$. Điểm có tung độ lớn nhất là giao của $x=3y$ và $x+y=240$, tức $A(180;60)$ với $y=60$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình mô tả đúng: tổng không quá 240, y ít nhất 40, x ít nhất gấp 3 lần y.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh (120;40), (200;40), (180;60), không phải tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(200;40) thỏa cả ba bất phương trình (200+40=240, y=40, 200≥120) nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ x≥3y và x+y≤240 suy ra 4y≤240⇒y≤60; điểm có tung độ lớn nhất là A(180;60).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $3(x-1)+2y<5\iff 3x+2y<8$. Thử từng điểm: $A(-2;4)$: $3(-2)+2(4)=2<8$ (thỏa); $B(3;0)$: $3(3)+2(0)=9>8$ (không thỏa); $C(1;1)$: $3+2=5<8$ (thỏa); $D(0;0)$: $0<8$ (thỏa). Vậy miền nghiệm không chứa điểm $(3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $x+y=2$ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;2)$. Thay gốc $O(0;0)$: $0+0=0<2$, nên miền nghiệm $x+y\ge 2$ là nửa mặt phẳng phía trên-phải của đường thẳng (phía không chứa $O$), kể cả bờ vì dấu $\ge$. Theo đề, miền nghiệm là phần KHÔNG bị gạch.
- Hình A: đường thẳng qua $(0;2)$ và $(2;0)$, phần gạch ở trên-trái, phần không gạch ở dưới-phải (chứa $O$) → biểu diễn $x+y\le 2$, sai.
- Hình B: đường thẳng qua $(0;2)$ và $(2;0)$, phần gạch ở dưới-trái, phần không gạch ở trên-phải (không chứa $O$) → đúng miền nghiệm của $x+y\ge 2$.
- Hình C và D: đường thẳng đi qua $(-2;0)$ và $(0;2)$, tức $y=x+2$, không phải $x+y=2$ → sai.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước thống nhất với Câu 9.2, miền nghiệm là phần KHÔNG bị gạch chéo trong hình vẽ.

Đường thẳng $3x+2y=6$ đi qua $(0;3)$ và $(2;0)$. Vì dấu '$>$' nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không kể bờ. Thử $O(0;0)$: $0>6$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ (phía trên-phải của đường thẳng, ví dụ $(2;2)$: $6+4=10>6$ đúng).

Hình A: đường thẳng qua $(0;3)$ và $(2;0)$, phần gạch chéo nằm phía dưới-trái (chứa $O$), nên phần không gạch là phía trên-phải, không chứa $O$ — đúng miền nghiệm của $3x+2y>6$.

Hình B: đường thẳng qua $(-2;0)$ và $(0;3)$ (tức $y=\frac{3}{2}x+3$), không phải bờ $3x+2y=6$, sai. Hình C: cùng đường thẳng với B, sai. Hình D: đường thẳng qua $(-2;0)$ và $(0;-3)$, sai.

Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bờ đi qua hai điểm $(\frac{3}{2};0)$ và $(0;-3)$, nên có phương trình $y=2x-3$, tức $2x-y=3$. Trong hình vẽ (trang 5), miền tô đậm màu xám nằm về phía phải đường thẳng, còn phần không tô đậm nằm về phía trái. Thử điểm $(0;0)$ thuộc miền không tô đậm: $2\cdot 0-0=0<3$, thỏa mãn. Vậy phần không tô đậm (không kể bờ) là biểu diễn tập nghiệm của $2x-y<3$.

Đường thẳng biên trong hình đi qua điểm (2;0) trên trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nhỏ (2/3), tương ứng với đường thẳng x + 3y - 2 = 0 (khi x = 2 thì y = 0, khi x = 0 thì y = 2/3). Nửa mặt phẳng không bị gạch (miền màu tím) nằm phía trên đường thẳng, chứa ví dụ điểm (0;2): thay vào vế trái x + 3y - 2 = 0 + 6 - 2 = 4 > 0. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của bất phương trình x + 3y - 2 ≥ 0. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $2x-y-2=0$ (đi qua $(0;-2)$ và $(1;0)$) và $x+y-1=0$ (đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$) cắt nhau tại $(1;0)$. Trong hình, các miền tô đậm là góc trên (tím), góc dưới (cam) và góc trái (đỏ); miền không tô đậm là góc phía bên phải giữa hai đường thẳng, chứa điểm $(2;0)$. Thử $(2;0)$: $2\cdot 2-0-2=2>0$ và $2+0-1=1>0$. Vậy miền không tô đậm là miền nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}2x-y-2>0\\ x+y-1>0\end{array}$, tương ứng đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(0;-3)$ vào từng hệ. Với bất phương trình $2x-y$: $2\cdot 0-(-3)=3$, nên $3\le 3$ đúng (dấu $\le$), $3>3$ sai, $3\ge 3$ đúng. Với bất phương trình $2x+5y$ so với $12x+8$: $2\cdot 0+5\cdot (-3)=-15$ và $12\cdot 0+8=8$, nên $-15\le 8$ đúng, $-15\ge 8$ sai. Chỉ hệ ở phương án A thỏa mãn cả hai bất phương trình: $3\le 3$ và $-15\le 8$. Vậy $M$ thuộc miền nghiệm của hệ ở đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường biên là $x-2y=0$ (đi qua gốc $O$) và $x+3y+2=0$ (cắt trục hoành tại $x=-2$), chúng cắt nhau tại điểm $(-0,8;-0,4)$. Phần không gạch sọc là góc hình nêm nằm giữa hai đường, phía trên giao điểm. Thử điểm $(0;0)$ thuộc miền không gạch sọc (nằm trên biên $x-2y=0$ và trong nêm): $x-2y=0\le 0$ và $x+3y+2=2>0$ tức $x+3y\ge -2$. Miền gạch sọc phía trên đường $x-2y=0$ (thử $(2;1)$: $2-2=0$... thử $(2;0)$: $2>0$ thuộc phần gạch bên phải) nên miền không gạch thỏa $x-2y\le 0$; miền gạch phía trên đường $x+3y+2=0$ (thử $(-2;1)$: $-2+3+2=3>0$ thuộc phần gạch trên trái) nên miền không gạch thỏa $x+3y+2\ge 0$. Vì đề nói 'kể bờ' nên dùng dấu không nghiêm ngặt. Vậy hệ là $\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x+3y\ge -2\end{array}$: đáp án A. Loại B (ngược dấu bất phương trình thứ nhất), C (ngược dấu thứ hai), D (dấu nghiêm ngặt sai vì kể bờ).

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tiền gọi nội mạng: $x$ phút × 1 nghìn đồng/phút = $x$ nghìn đồng; gọi ngoại mạng: $y$ phút × 2 nghìn đồng/phút = $2y$ nghìn đồng. Vì số phút gọi là số tự nhiên nên $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$. → Đúng.
b) Tổng tiền phải trả là $x+2y$ (nghìn đồng) và phải thấp hơn 100 nghìn đồng nên $x+2y<100$. → Đúng.
c) Thay $x=50,y=20$: $50+2\cdot 20=90<100$, thỏa mãn. → Đúng.
d) Miền nghiệm của $x+2y<100$ với $x,y\in \mathbb{N}$ (tức $x\ge 0,y\ge 0$) là phần nửa mặt phẳng bờ $x+2y=100$ nằm về phía gốc tọa độ, giới hạn bởi hai trục $Ox,Oy$ và đường thẳng $x+2y=100$ — đây là một tam giác (với các điểm nguyên), không phải hình vuông. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền nội mạng là $x$ nghìn đồng, ngoại mạng là $2y$ nghìn đồng; số phút là số tự nhiên nên $x,y\in \mathbb{N}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền $x+2y<100$ (nghìn đồng) đúng theo đề bài.
c) (AI giải đề cho tôi)
$50+2\cdot 20=90<100$ nên $(50;20)$ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác giới hạn bởi $x\ge 0$, $y\ge 0$ và $x+2y=100$, không phải hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $2x+y=1$. Đường thẳng này đi qua hai điểm: $(0;1)$ (giao với trục $Oy$) và $\left(\frac{1}{2};0\right)$ (giao với trục $Ox$). Vì bất phương trình có dấu $>$ (không bao gồm dấu bằng) nên đường thẳng $2x+y=1$ được vẽ bằng nét đứt và không thuộc miền nghiệm. Bước 2: Lấy một điểm kiểm tra, chẳng hạn gốc tọa độ $O(0;0)$: thay vào bất phương trình ta được $2\cdot 0+0=0>1$ sai. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Bước 3: Gạch chéo (biểu diễn) nửa mặt phẳng nằm phía trên (và bên phải) đường thẳng nét đứt $2x+y=1$, tức là tập hợp các điểm $(x;y)$ thỏa mãn $2x+y>1$. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng mở bờ $2x+y=1$ không chứa điểm $O(0;0)$, với bờ vẽ nét đứt.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng lãi từ bán $x$ tạ gạo loại I và $y$ tạ gạo loại II là $200000x+150000y$ (đồng). Để số lãi lớn hơn $10000000$ đồng ta cần $$200000x+150000y>10000000.$$ Chia hai vế cho $50000$ ta được bất phương trình đơn giản hơn: $$4x+3y>200.$$ Ngoài ra vì $x,y$ là số tạ gạo nên $x\ge 0,y\ge 0$. Biểu diễn miền nghiệm: - Vẽ đường thẳng $4x+3y=200$: đi qua hai điểm $(0,\frac{200}{3})$ và $(50,0)$ (vẽ đường thẳng nét đứt vì bất phương trình là strict $>$). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O(0,0)$ (vì $4\cdot 0+3\cdot 0=0<200$), tức là phần nằm phía trên phải của đường thẳng $4x+3y=200$. - Kết hợp điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$, miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng nét đứt $4x+3y=200$ nằm trong góc phần tư thứ nhất (bao gồm hai trục $Ox$, $Oy$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua các điểm $(2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $x+y=2$, và trên hình nó được vẽ nét đứt nên bất phương trình phải là bất đẳng thức ngặt (không lấy dấu bằng). Miền không bị tô (miền nghiệm) là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì $0+0=0<2$ nên miền nghiệm thỏa $x+y<2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+5y-3\le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Với mỗi giá trị của $x$ (ví dụ $x=0$), ta được $5y\le 3$, tức $y\le \frac{3}{5}$, có vô số giá trị $y$ thỏa mãn. Tập nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x+5y-3=0$ (kể cả bờ), chứa vô số điểm nhưng không phải toàn bộ mặt phẳng ${\mathbb{R}}^2$ (ví dụ điểm $(10;10)$ không thỏa mãn vì $10+50-3=57>0$). Vậy bất phương trình luôn có vô số nghiệm, khẳng định đúng là C. Các khẳng định A, B, D đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x-y\ge -2$ có đường biên $x-y=-2$, tức $y=x+2$, đi qua $(-2;0)$ và $(0;2)$, hệ số góc $1$ (đường thẳng đi lên từ trái sang phải). Thử điểm $O(0;0)$: $0-0=0\ge -2$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, tức phần phía dưới (bên phải) đường thẳng $y=x+2$. Trong các hình, chỉ có hình D vẽ đường thẳng qua $(-2;0)$ và $(0;2)$ với phần tô đậm phía dưới đường thẳng (chứa $O$). Các hình A, B có đường biên hệ số góc âm; hình C tô phần phía trên đường thẳng. Vậy đáp án là D.