Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi hình chữ nhật là 40/2 = 20, nên nếu một kích thước là x thì kích thước kia là 20 - x (với 0 < x < 20). Diện tích không nhỏ hơn 96 m² nghĩa là x(20 - x) ≥ 96, tức -x² + 20x - 96 ≥ 0, tương đương x² - 20x + 96 ≤ 0. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(m-4)x^2+2(m-4)x+(m-5)$. Để $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$:
- Nếu $m=4$: $f(x)=-1<0$ với mọi $x$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 4$: cần $a=m-4<0$ và $\Delta <0$. Ta có $\Delta =4(m-4{)}^2-4(m-4)(m-5)=4(m-4)$. Khi đó $\Delta <0\iff m<4$, kết hợp $a<0$ cho $m<4$.
Vậy $f(x)$ luôn âm với mọi $x$ khi và chỉ khi $m\le 4$, tức $m\in (-\infty ;4]$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng lên ($a>0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại đỉnh, không thỏa $f(x)>0$ với mọi $x$, nên loại phương án B. Vậy điều kiện cần và đủ là $a>0$ và $\Delta <0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-2mx-2m+3$ với $a=1,b=-2m,c=-2m+3$.
(a) Với $m=1$: $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, nên $x=1$ là nghiệm (nghiệm kép). Mệnh đề đúng.
(b) Biệt thức thu gọn ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=m^2-(-2m+3)=m^2+2m-3\ne m^2+2m+3$. Mệnh đề sai.
(c) $f(x)>0\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2+2m-3<0\iff -3<m<1$. Vậy với mọi $m\in (-3;1)$ tam thức luôn dương. Mệnh đề đúng.
(d) Hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff m^2+2m-3>0\iff m<-3$ hoặc $m>1$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2m$, $x_1{x}_2=-2m+3$. Khi đó $P=x_1^2+x_2^2+8x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2+6x_1{x}_2=4m^2+6(-2m+3)=4m^2-12m+18=4(m-\frac{3}{2}{)}^2+9$. Hàm $P(m)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $m=\frac{3}{2}$, nhưng $\frac{3}{2}\notin (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ nên trên miền xác định $P$ không đạt giá trị nhỏ nhất (trên $m>1$, $P$ giảm trên $(1;\frac{3}{2})$ rồi tăng, không đạt min tại đầu mút mở; trên $m<-3$, $P$ giảm nên không đạt min). Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=1: f(x)=x²−2x+1=(x−1)², có nghiệm x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ' = m² − (−2m+3) = m²+2m−3, không phải m²+2m+3.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)>0 ∀x ⇔ Δ'<0 ⇔ m²+2m−3<0 ⇔ −3<m<1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm phân biệt ⇔ m<−3 hoặc m>1. P=(x₁+x₂)²+6x₁x₂=4m²−12m+18=4(m−3/2)²+9, đỉnh m=3/2 không thuộc miền xác định nên P không đạt GTNN tại m=3/2.

(AI giải đề cho tôi)
Bóng cao hơn xà ngang khi $k(x)>0$, tức $-0,2x^2+3x-3>0\iff x^2-15x+15<0$. Phương trình $x^2-15x+15=0$ có nghiệm $x=\frac{15\pm \sqrt{165}}{2}$ với $\sqrt{165}\approx 12,8452$. Suy ra $x_1\approx \frac{15-12,8452}{2}\approx 1,08$ và $x_2\approx \frac{15+12,8452}{2}\approx 13,92$. Vì parabol hướng lên nên $x^2-15x+15<0$ khi $x\in (x_1;x_2)$. Vậy bóng nằm cao hơn xà ngang khi $x\in (1,08;13,92)$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=-3x^2-2mx+m-2$ với hệ số $a=-3<0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng xuống và không cắt trục hoành, tức $\Delta \le 0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(-2m{)}^2-4(-3)(m-2)=4m^2+12m-24=4(m^2+3m-6).$$

Yêu cầu $\Delta \le 0$ tương đương:
$$m^2+3m-6\le 0.$$

Phương trình $m^2+3m-6=0$ có nghiệm $m=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{2}$, nên:
$$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}\le m\le \frac{-3+\sqrt{33}}{2}.$$

Vậy $m\in \left[\frac{-3-\sqrt{33}}{2};\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-2x+3>0$. Tam thức có $a=1>0$ và biệt thức $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$, nên tam thức luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ (không có nghiệm của $x^2-2x+3=0$). Vậy tập nghiệm là $\mathbb{R}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-(m+2)x+5m+1$ (với $a=1>0$) không âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$. Ta có $\Delta =(m+2{)}^2-4(5m+1)=m^2+4m+4-20m-4=m^2-16m=m(m-16)$. Điều kiện $m(m-16)\le 0$ cho $0\le m\le 16$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+2x+3>0$ tương đương $x^2-2x-3<0$, tức $(x-3)(x+1)<0$, suy ra $-1<x<3$. Vậy tập nghiệm là $(-1;3)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 6 là parabol có bề lõm hướng xuống dưới (a < 0) và tiếp xúc trục hoành tại x = 3 (nghiệm kép). Do đó f(x) < 0 với mọi x ≠ 3 và f(3) = 0, tức f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. a) $3x+7$ chỉ có bậc nhất (không có $x^2$) nên sai. b) $-x^2+3$ có $a=-1\ne 0$ nên là tam thức bậc hai, đúng. c) $3x(x-1)=3x^2-3x$ có $a=3\ne 0$ nên đúng. d) $(x-1)(x+1)-x^2=x^2-1-x^2=-1$ không còn $x^2$ nên không phải tam thức bậc hai, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$3x+7$ là đa thức bậc nhất, không có số hạng $x^2$, nên không phải tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2+3$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=-1\ne 0$, $b=0$, $c=3$, nên là tam thức bậc hai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3x(x-1)=3x^2-3x$ có $a=3\ne 0$, nên là tam thức bậc hai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1)(x+1)-x^2=x^2-1-x^2=-1$, số hạng $x^2$ triệt tiêu, nên không phải tam thức bậc hai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, hệ số $a=1>0$ nên $f(x)<0$ trên $(-1;2)$. Khẳng định đúng.
b) $f(x)=-x^2+2x-5=-(x-1{)}^2-4<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (vì $\Delta =4-20=-16<0$, $a<0$). Vậy $f(x)>0$ với mọi $x$ là sai.
c) $f(x)=-4x^2+16x-16=-4(x-2{)}^2\le 0$, bằng 0 chỉ tại $x=2$ và âm với mọi $x\ne 2$. Bảng xét dấu với dấu $-$, $0$ tại $x=2$, $-$ là đúng.
d) $f(x)=-4x^2+3x-5$ có $\Delta =9-80=-71<0$ và $a=-4<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, vô nghiệm. Bảng xét dấu có các nghiệm $x=-1$, $x=2$ và dấu $+$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2)(x+1)<0$ trên $(-1;2)$ vì $a=1>0$ và hai nghiệm $-1,2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-(x-1{)}^2-4<0$ với mọi $x$ ($\Delta =-16<0$, $a<0$), nên không thể $f(x)>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-4(x-2{)}^2\le 0$, dấu $-$ hai bên, $0$ tại $x=2$: bảng đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-80=-71<0$, $a<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x$, vô nghiệm; bảng có nghiệm $-1,2$ và dấu $+$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $-x^2+x+4m^2-5m+1=0$ tương đương $x^2-x-(4m^2-5m+1)=0$ với $a=1,b=-1,c=-(4m^2-5m+1)$. Hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm: $x_1{x}_2=c/a=-(4m^2-5m+1)<0$, tức $4m^2-5m+1>0$. Tam thức có hai nghiệm $m=\frac{1}{4}$ và $m=1$, nên $4m^2-5m+1>0\iff m<\frac{1}{4}$ hoặc $m>1$. Khi đó $\Delta =1+4(4m^2-5m+1)>0$ luôn thỏa, phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy $m\in (-\infty ;\frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích ban đầu: $S_0=30\cdot 20=600{\text{cm}}^2$. Diện tích sau khi uốn: $S(x)=(30-x)(20+x)=600+10x-x^2$. Diện tích tăng lên khi $S(x)>S_0$, tức $10x-x^2>0\iff x(10-x)>0\iff 0<x<10$. Đồng thời điều kiện kích thước dương: $30-x>0\iff x<30$ và $20+x>0\iff x>-20$, nên điều kiện $0<x<10$ thỏa mãn. Vậy với $0<x<10$ thì diện tích khung tăng lên.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+2(m+1)x-m^2+m$. Vì hệ số $a=-1<0$, parabol có bề lõm hướng xuống nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức ${\Delta }^{\prime }<0$.

Ta có: $b^{\prime }=m+1$, $c=-m^2+m$.
$${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(-1)(-m^2+m)=m^2+2m+1-(m^2-m)=3m+1.$$

Yêu cầu $f(x)<0$ với mọi $x$ tương đương với $x^2-2(m+1)x+m^2-m>0$ với mọi $x$ (nhân hai vế với $-1$), tức ${\Delta }^{\prime }<0$:
$$3m+1<0⟺m<-\frac{1}{3}.$$

Vậy $m<-\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-2x^2-3x+2>0\iff 2x^2+3x-2<0$. Phương trình $2x^2+3x-2=0$ có nghiệm $x=-2$ và $x=\frac{1}{2}$. Vì parabol hướng lên, bất phương trình $<0$ nghiệm trong $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$. Vậy tập nghiệm là $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-2x^2-3x+2>0$ tương đương $2x^2+3x-2<0$. Tam giác $2x^2+3x-2$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=\frac{1}{2}$ (vì $\Delta =9+16=25$, $x=\frac{-3\pm 5}{4}$). Hệ số $a=2>0$ nên tam giác âm giữa hai nghiệm, do đó tập nghiệm là $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$: $f(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>2$; $f(1)=f(2)=0$; $f(x)<0$ khi $1<x<2$. Vậy $f(x)<0$ khi $x\in (1;2)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên ($a>0$) cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=2$. Với parabol hướng lên, $f(x)<0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $x\in (1;2)$. Vậy tập nghiệm của $f(x)<0$ là $S=(1;2)$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức luôn âm khi a < 0 và Δ < 0. Xét f(x) = -x² + x - 2: có a = -1 < 0, Δ = 1² - 4·(-1)·(-2) = 1 - 8 = -7 < 0, nên f(x) < 0 với mọi x. Các đáp án khác: A có Δ = 9 > 0 (hai nghiệm, đổi dấu); C có a = 2 > 0; D có Δ = 1 + 24 = 25 > 0 (đổi dấu). Vậy chọn B.