Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi hình chữ nhật là 40/2 = 20, nên nếu một kích thước là x thì kích thước kia là 20 - x (với 0 < x < 20). Diện tích không nhỏ hơn 96 m² nghĩa là x(20 - x) ≥ 96, tức -x² + 20x - 96 ≥ 0, tương đương x² - 20x + 96 ≤ 0. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng lên ($a>0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại đỉnh, không thỏa $f(x)>0$ với mọi $x$, nên loại phương án B. Vậy điều kiện cần và đủ là $a>0$ và $\Delta <0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bóng cao hơn xà ngang khi $k(x)>0$, tức $-0,2x^2+3x-3>0\iff x^2-15x+15<0$. Phương trình $x^2-15x+15=0$ có nghiệm $x=\frac{15\pm \sqrt{165}}{2}$ với $\sqrt{165}\approx 12,8452$. Suy ra $x_1\approx \frac{15-12,8452}{2}\approx 1,08$ và $x_2\approx \frac{15+12,8452}{2}\approx 13,92$. Vì parabol hướng lên nên $x^2-15x+15<0$ khi $x\in (x_1;x_2)$. Vậy bóng nằm cao hơn xà ngang khi $x\in (1,08;13,92)$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-(m+2)x+5m+1$ (với $a=1>0$) không âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$. Ta có $\Delta =(m+2{)}^2-4(5m+1)=m^2+4m+4-20m-4=m^2-16m=m(m-16)$. Điều kiện $m(m-16)\le 0$ cho $0\le m\le 16$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+2x+3>0$ tương đương $x^2-2x-3<0$, tức $(x-3)(x+1)<0$, suy ra $-1<x<3$. Vậy tập nghiệm là $(-1;3)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 6 là parabol có bề lõm hướng xuống dưới (a < 0) và tiếp xúc trục hoành tại x = 3 (nghiệm kép). Do đó f(x) < 0 với mọi x ≠ 3 và f(3) = 0, tức f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, hệ số $a=1>0$ nên $f(x)<0$ trên $(-1;2)$. Khẳng định đúng.
b) $f(x)=-x^2+2x-5=-(x-1{)}^2-4<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (vì $\Delta =4-20=-16<0$, $a<0$). Vậy $f(x)>0$ với mọi $x$ là sai.
c) $f(x)=-4x^2+16x-16=-4(x-2{)}^2\le 0$, bằng 0 chỉ tại $x=2$ và âm với mọi $x\ne 2$. Bảng xét dấu với dấu $-$, $0$ tại $x=2$, $-$ là đúng.
d) $f(x)=-4x^2+3x-5$ có $\Delta =9-80=-71<0$ và $a=-4<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, vô nghiệm. Bảng xét dấu có các nghiệm $x=-1$, $x=2$ và dấu $+$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2)(x+1)<0$ trên $(-1;2)$ vì $a=1>0$ và hai nghiệm $-1,2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-(x-1{)}^2-4<0$ với mọi $x$ ($\Delta =-16<0$, $a<0$), nên không thể $f(x)>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-4(x-2{)}^2\le 0$, dấu $-$ hai bên, $0$ tại $x=2$: bảng đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-80=-71<0$, $a<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x$, vô nghiệm; bảng có nghiệm $-1,2$ và dấu $+$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích ban đầu: $S_0=30\cdot 20=600{\text{cm}}^2$. Diện tích sau khi uốn: $S(x)=(30-x)(20+x)=600+10x-x^2$. Diện tích tăng lên khi $S(x)>S_0$, tức $10x-x^2>0\iff x(10-x)>0\iff 0<x<10$. Đồng thời điều kiện kích thước dương: $30-x>0\iff x<30$ và $20+x>0\iff x>-20$, nên điều kiện $0<x<10$ thỏa mãn. Vậy với $0<x<10$ thì diện tích khung tăng lên.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên ($a>0$) cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=2$. Với parabol hướng lên, $f(x)<0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $x\in (1;2)$. Vậy tập nghiệm của $f(x)<0$ là $S=(1;2)$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức luôn âm khi a < 0 và Δ < 0. Xét f(x) = -x² + x - 2: có a = -1 < 0, Δ = 1² - 4·(-1)·(-2) = 1 - 8 = -7 < 0, nên f(x) < 0 với mọi x. Các đáp án khác: A có Δ = 9 > 0 (hai nghiệm, đổi dấu); C có a = 2 > 0; D có Δ = 1 + 24 = 25 > 0 (đổi dấu). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$, âm trên $(-\infty ;1)$, dương trên $(1;2)$, âm trên $(2;+\infty )$, tức parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số $a<0$). Xét các phương án: B có $f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ với $a=1>0$ nên dương ngoài khoảng, âm trong khoảng — ngược với bảng. C và D có nghiệm không phải 1 và 2. A có $f(x)=(x-1)(-x+2)=-(x-1)(x-2)$ với $a=-1<0$: tại $x=0$, $f(0)=2>0$? Kiểm tra lại: $f(0)=(0-1)(-0+2)=(-1)(2)=-2<0$ đúng; tại $x=1,5$: $(0,5)(0,5)=0,25>0$ đúng; tại $x=3$: $(2)(-1)=-2<0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-7x+6$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=6$ (vì $1+6=7$, $1\cdot 6=6$). Với hệ số $a=1>0$, tam thức âm khi $1<x<6$. Các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $x\in \{2,3,4,5\}$, tức có 4 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2-2x+8>0$ tương đương $x^2+2x-8<0$, tức $(x+4)(x-2)<0$, suy ra $-4<x<2$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{-3,-2,-1,0,1\}$, tổng cộng 5 nghiệm. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2-(m+2)x+5m-1$ có $a=-1<0$. Để $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ cần $\Delta <0$ với $\Delta =(m+2{)}^2-4(-1)(5m-1)=m^2+4m+4+20m-4=m^2+24m=m(m+24)$. Giải $m(m+24)<0$ ta được $-24<m<0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của máng là hình chữ nhật có chiều rộng phần đáy $(32-2x)$ cm và chiều cao $x$ cm (hai bên gập lên vuông góc). Diện tích mặt cắt: $S=x(32-2x)=-2x^2+32x$. Yêu cầu $S\ge 120$: $-2x^2+32x\ge 120\iff x^2-16x+60\le 0\iff 6\le x\le 10$ (thỏa $0<x<16$). Vậy độ cao ít nhất là $6$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-36x^2+12x-1\ge 0$. Nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức): $36x^2-12x+1\le 0$. Vế trái là bình phương đúng: $36x^2-12x+1=(6x-1{)}^2$. Do đó $(6x-1{)}^2\le 0$. Vì bình phương của một số thực luôn không âm, bất đẳng thức chỉ xảy ra khi $(6x-1{)}^2=0$, tức $6x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{6}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{\frac{1}{6}\right\}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{1}{6}$, $-36\cdot \frac{1}{36}+12\cdot \frac{1}{6}-1=-1+2-1=0\ge 0$ (thỏa mãn); với mọi $x\ne \frac{1}{6}$ thì $(6x-1{)}^2>0$ nên $-36x^2+12x-1<0$ (không thỏa mãn).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng ban đầu là $x$ (m), chiều dài ban đầu là $3x$ (m) với $x>0$. Sau khi mở rộng, chiều rộng là $x+5$, chiều dài là $3x+5$. Diện tích không vượt quá $153m^2$: $(3x+5)(x+5)\le 153\iff 3x^2+20x+25\le 153\iff 3x^2+20x-128\le 0$. Giải phương trình $3x^2+20x-128=0$: $\Delta =400+1536=1936$, $\sqrt{\Delta }=44$, nên $x=\frac{-20+44}{6}=4$ (nhận) hoặc $x=\frac{-20-44}{6}<0$ (loại). Vậy $0<x\le 4$. Chiều dài sau khi mở rộng là $3x+5\le 3\cdot 4+5=17$ (m). Chiều dài lớn nhất của vườn rau sau khi mở rộng là $17$ m, khớp với đáp án nguồn 17.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=3$. Do đó $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $x\in (1;3)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì $f(x)<0$ khi $x<1$; B sai vì $f(x)>0$ trên $(1;3)$; C sai vì trên $(1;3)$ thì $f(x)>0$. Vậy khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=3$ (đỉnh tại $x=2$). Do đó $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x\in (1;3)$. Vậy khẳng định đúng là A: $f(x)>0,\forall x\in (1;3)$. Các phương án B, C, D đều sai vì trên $(-\infty ;3)$ và $(1;+\infty )$ hàm số có cả giá trị dương lẫn âm, còn trên $(1;3)$ thì $f(x)>0$ chứ không phải $f(x)<0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2-5x+14$ có hai nghiệm $x=2$ và $x=-7$ (vì $-x^2-5x+14=0\iff x^2+5x-14=0\iff x=2$ hoặc $x=-7$). Vì hệ số $a=-1<0$ nên $f(x)<0\iff x<-7$ hoặc $x>2$. Với $x\in [-10;10]$, các giá trị nguyên thỏa mãn là: $x\in \{-10;-9;-8\}$ (3 giá trị) và $x\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$ (8 giá trị). Tổng cộng $3+8=11$ giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 11).