Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(m-4)x^2+2(m-4)x+(m-5)$. Để $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$:
- Nếu $m=4$: $f(x)=-1<0$ với mọi $x$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 4$: cần $a=m-4<0$ và $\Delta <0$. Ta có $\Delta =4(m-4{)}^2-4(m-4)(m-5)=4(m-4)$. Khi đó $\Delta <0\iff m<4$, kết hợp $a<0$ cho $m<4$.
Vậy $f(x)$ luôn âm với mọi $x$ khi và chỉ khi $m\le 4$, tức $m\in (-\infty ;4]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-2mx-2m+3$ với $a=1,b=-2m,c=-2m+3$.
(a) Với $m=1$: $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, nên $x=1$ là nghiệm (nghiệm kép). Mệnh đề đúng.
(b) Biệt thức thu gọn ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=m^2-(-2m+3)=m^2+2m-3\ne m^2+2m+3$. Mệnh đề sai.
(c) $f(x)>0\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2+2m-3<0\iff -3<m<1$. Vậy với mọi $m\in (-3;1)$ tam thức luôn dương. Mệnh đề đúng.
(d) Hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff m^2+2m-3>0\iff m<-3$ hoặc $m>1$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2m$, $x_1{x}_2=-2m+3$. Khi đó $P=x_1^2+x_2^2+8x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2+6x_1{x}_2=4m^2+6(-2m+3)=4m^2-12m+18=4(m-\frac{3}{2}{)}^2+9$. Hàm $P(m)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $m=\frac{3}{2}$, nhưng $\frac{3}{2}\notin (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ nên trên miền xác định $P$ không đạt giá trị nhỏ nhất (trên $m>1$, $P$ giảm trên $(1;\frac{3}{2})$ rồi tăng, không đạt min tại đầu mút mở; trên $m<-3$, $P$ giảm nên không đạt min). Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=1: f(x)=x²−2x+1=(x−1)², có nghiệm x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ' = m² − (−2m+3) = m²+2m−3, không phải m²+2m+3.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)>0 ∀x ⇔ Δ'<0 ⇔ m²+2m−3<0 ⇔ −3<m<1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm phân biệt ⇔ m<−3 hoặc m>1. P=(x₁+x₂)²+6x₁x₂=4m²−12m+18=4(m−3/2)²+9, đỉnh m=3/2 không thuộc miền xác định nên P không đạt GTNN tại m=3/2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=-3x^2-2mx+m-2$ với hệ số $a=-3<0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng xuống và không cắt trục hoành, tức $\Delta \le 0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(-2m{)}^2-4(-3)(m-2)=4m^2+12m-24=4(m^2+3m-6).$$

Yêu cầu $\Delta \le 0$ tương đương:
$$m^2+3m-6\le 0.$$

Phương trình $m^2+3m-6=0$ có nghiệm $m=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{2}$, nên:
$$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}\le m\le \frac{-3+\sqrt{33}}{2}.$$

Vậy $m\in \left[\frac{-3-\sqrt{33}}{2};\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $-x^2+x+4m^2-5m+1=0$ tương đương $x^2-x-(4m^2-5m+1)=0$ với $a=1,b=-1,c=-(4m^2-5m+1)$. Hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm: $x_1{x}_2=c/a=-(4m^2-5m+1)<0$, tức $4m^2-5m+1>0$. Tam thức có hai nghiệm $m=\frac{1}{4}$ và $m=1$, nên $4m^2-5m+1>0\iff m<\frac{1}{4}$ hoặc $m>1$. Khi đó $\Delta =1+4(4m^2-5m+1)>0$ luôn thỏa, phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy $m\in (-\infty ;\frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+2(m+1)x-m^2+m$. Vì hệ số $a=-1<0$, parabol có bề lõm hướng xuống nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức ${\Delta }^{\prime }<0$.

Ta có: $b^{\prime }=m+1$, $c=-m^2+m$.
$${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(-1)(-m^2+m)=m^2+2m+1-(m^2-m)=3m+1.$$

Yêu cầu $f(x)<0$ với mọi $x$ tương đương với $x^2-2(m+1)x+m^2-m>0$ với mọi $x$ (nhân hai vế với $-1$), tức ${\Delta }^{\prime }<0$:
$$3m+1<0⟺m<-\frac{1}{3}.$$

Vậy $m<-\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=F(x)-xG(x)=-0,01x^2+300x-(30000+200x)=-0,01x^2+100x-30000$ (nghìn đồng). Yêu cầu $P(x)>100000$ (nghìn đồng) vì 100 triệu = 100000 nghìn đồng: $-0,01x^2+100x-130000>0\iff x^2-10000x+13000000<0$. Nghiệm: $x=5000\pm 2000\sqrt{3}$, với $2000\sqrt{3}\approx 3464,1$ nên $1535,9<x<8464,1$. Kết hợp $1\le x\le 4500$, $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, giá trị nhỏ nhất là $x=1536$. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{m{x}^2-2mx+5m+2}$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)=m{x}^2-2mx+5m+2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

- Nếu $m=0$: $f(x)=2>0$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 0$: cần $m>0$ và $\Delta <0$. Ta có $\Delta =4m^2-4m(5m+2)=4m(m-5m-2)=-4m(4m+2)$. Với $m>0$ thì $-4m(4m+2)<0$ luôn đúng, nên mọi $m>0$ đều thỏa mãn.

Vậy điều kiện là $m\ge 0$. Các giá trị nguyên $m$ không lớn hơn 2025 là $m\in \{0,1,2,\dots ,2025\}$, gồm $2026$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-2(m+3)x-4m+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol (có hệ số $a=1>0$) không cắt trục hoành, tức phương trình $x^2-2(m+3)x-4m+2=0$ vô nghiệm: ${\Delta }^{\prime }<0$ với ${\Delta }^{\prime }=(m+3{)}^2-(-4m+2)=m^2+6m+9+4m-2=m^2+10m+7$. Giải $m^2+10m+7<0$: $m\in \left(-5-3\sqrt{2};-5+3\sqrt{2}\right)\approx (-9,243;-0,757)$. Các giá trị nguyên của $m$: $m\in \{-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$, gồm 9 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-2(m+2)x-5m+9$ là tam thức bậc hai với hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì điều kiện cần và đủ là $\Delta <0$.

$\Delta =4(m+2{)}^2-4(-5m+9)=4\left[(m+2{)}^2+5m-9\right]=4(m^2+9m-5)$.

$\Delta <0\iff m^2+9m-5<0\iff \frac{-9-\sqrt{101}}{2}<m<\frac{-9+\sqrt{101}}{2}$.

Vì $\sqrt{101}\approx 10,05$ nên $m\in (-9,52;0,52)$. Các giá trị nguyên của $m$: $-9,-8,\dots ,0$, tức là 10 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Cửa hàng không bị lỗ khi $F(x)\ge 0$, tức $-x^2+135x-3800\ge 0\iff x^2-135x+3800\le 0$. Xét phương trình $x^2-135x+3800=0$ có $\Delta =135^2-4\cdot 3800=18225-15200=3025=55^2$, nên hai nghiệm là $x=\frac{135-55}{2}=40$ và $x=\frac{135+55}{2}=95$. Vậy đoạn cần tìm là $[a,b]=[40;95]$, suy ra $b-a=95-40=55$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (55).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số khách ($x>80$). Giá vé mỗi người là $500000-5000(x-80)=900000-5000x$ (đồng). Doanh thu: $x(900000-5000x)$. Công ty không lỗ khi $x(900000-5000x)\ge 40480000$, tức $5000x^2-900000x+40480000\le 0\iff x^2-180x+8096\le 0$. Phân biệt $\Delta =180^2-4\cdot 8096=32400-32384=16$, nghiệm $x=\frac{180\pm 4}{2}=88$ hoặc $92$. Vậy $88\le x\le 92$, số khách nhiều nhất là $92$. Kiểm tra: $92\cdot (900000-460000)=92\cdot 440000=40480000$ đồng, đúng bằng chi phí.

(AI giải đề cho tôi)
Thay số vào phương trình quỹ đạo: $\alpha =30^{\circ }$, $v_0=8$, $y_0=0,75$, $g=9,8$:
$$y=\frac{-9,8x^2}{2\cdot 64\cdot {\cos }^{2}30^{\circ }}+\tan 30^{\circ }x+0,75=\frac{-9,8x^2}{96}+\frac{x}{\sqrt{3}}+0,75.$$
Tầm bay xa là hoành độ điểm chạm đất ($y=0$):
$$\frac{9,8}{96}{x}^2-\frac{x}{\sqrt{3}}-0,75=0\Rightarrow 9,8x^2-\frac{96}{\sqrt{3}}x-72=0.$$
Với $\frac{96}{\sqrt{3}}\approx 55,4256$, giải phương trình bậc hai (lấy nghiệm dương):
$$x=\frac{55,4256+\sqrt{55,4256^2+4\cdot 9,8\cdot 72}}{2\cdot 9,8}=\frac{55,4256+\sqrt{5894,39}}{19,6}\approx \frac{55,4256+76,775}{19,6}\approx 6,7449.$$
Vậy tầm bay xa của quả cầu xấp xỉ $6,74$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ tức là $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên; điều kiện cần và đủ là $f^{\prime }(x)=0$ vô nghiệm, tức $\Delta <0$ với $\Delta =(m+3{)}^2-16$. Suy ra $(m+3{)}^2<16⟺-4<m+3<4⟺-7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$. Kiểm tra: với $m=0$, $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+2$ có $\Delta =9-16=-7<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x$ — thỏa mãn; với $m=8$, $f^{\prime }(x)=2x^2-11x+2$ có hai nghiệm phân biệt nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức bậc hai $2x^2-(m+3)x+2$ dương với mọi $x$, tức là $a=2>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =(m+3{)}^2-16<0\iff -4<m+3<4\iff -7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log \left(x^2-4x-m-3\right)$ xác định khi và chỉ khi $x^2-4x-m-3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Xét tam thức $f(x)=x^2-4x-m-3$ với hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ thì phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức biệt thức $\Delta <0$: $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-m-3)=16+4m+12=4m+28<0\Rightarrow m<-7$. Vậy $m\in (-\infty ;-7)$. Kiểm tra: với $m=-7$, $f(x)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ bằng $0$ tại $x=2$, hàm không xác định tại $x=2$, nên $m=-7$ không thỏa mãn; với $m<-7$ thì $\Delta <0$ và $f(x)>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đỉnh parabol: x = -b/(2a) = -2/(-2) = 1, y = -1 + 2 - 5 = -4 nên I(1; -4). Đúng.
b) g(x) = 2x² + 6x - 20 có hệ số a = 2 ≠ 0 nên là tam thức bậc hai. Đúng.
c) 2x² + 6x - 20 < 0 ⟺ x² + 3x - 10 < 0 ⟺ (x+5)(x-2) < 0 ⟺ -5 < x < 2. Tập nghiệm là (-5; 2), không phải (-2; 5). Sai.
d) Diện tích trồng rau: x² (m²), diện tích hồ: x(10 - x) (m²). Tổng chi phí: 50000x² + 250000x(10 - x) ≤ 6800000 ⟺ 5x² + 25x(10 - x) ≤ 680 ⟺ -20x² + 250x - 680 ≤ 0 ⟺ 2x² - 25x + 68 ≥ 0. Phương trình 2x² - 25x + 68 = 0 có nghiệm x = (25 ± 9)/4, tức x = 4 hoặc x = 8,5. Vậy điều kiện là x ∈ (0; 4] ∪ [8,5; 10), không phải dạng [a; b] với a + 2b = 21. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh: x = -2/(2·(-1)) = 1, y = -1 + 2 - 5 = -4, nên I(1; -4). Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x) = 2x² + 6x - 20 có a = 2 ≠ 0 nên là tam thức bậc hai. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
2x² + 6x - 20 < 0 ⟺ (x+5)(x-2) < 0 ⟺ x ∈ (-5; 2), không phải (-2; 5). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí: 50000x² + 250000x(10-x) ≤ 6800000 ⟺ 2x² - 25x + 68 ≥ 0 ⟺ x ∈ (0; 4] ∪ [8,5; 10), không phải [a; b] với a + 2b = 21. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3x^2+2mx-2m-3$, parabol hướng lên nên trên khoảng $(-3;1)$ giá trị lớn nhất của $f$ đạt tại một trong hai đầu mút. Điều kiện $f(x)<0$ với mọi $x\in (-3;1)$ là $f(-3)\le 0$ và $f(1)\le 0$. Ta có $f(-3)=27-6m-2m-3=24-8m\le 0\Rightarrow m\ge 3$; $f(1)=3+2m-2m-3=0\le 0$ luôn đúng. Vậy $m\ge 3$, các giá trị nguyên $m\in (-10;10)$ là $3,4,5,6,7,8,9$: tổng cộng 7 giá trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(1)=1-(m-1)+m+2=4≥0 với mọi m nên x=1 là nghiệm của f(x)≥0 → Đúng. b) Phương trình f(x)=0 có nghiệm khi Δ=(m-1)²-4(m+2)=m²-6m-7=(m-7)(m+1)≥0 ⟺ m≤-1 hoặc m≥7 → Đúng. c) Với m=-2: f(x)=x²+3x, f(3)=18 nên √f(3)=√18=3√2≠2 → Sai. d) f(x)≥0 ∀x∈ℝ khi Δ≤0 ⟺ -1≤m≤7, có 9 giá trị nguyên m∈{-1,0,...,7} chứ không phải 8 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(1)=1-(m-1)+m+2=4≥0 với mọi m, nên x=1 là nghiệm của f(x)≥0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ=(m-1)²-4(m+2)=m²-6m-7=(m-7)(m+1)≥0 ⟺ m≤-1 hoặc m≥7, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với m=-2, f(x)=x²+3x; f(3)=18 nên √f(3)=3√2≠2, x=3 không phải nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(x)≥0 ∀x khi Δ≤0 ⟺ -1≤m≤7, có 9 giá trị nguyên (từ -1 đến 7), không phải 8.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-(m-1)x+m+2$.

a) $f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ thỏa $f(x)\ge 0$ với mọi $m$. Đúng.

b) $f(x)=0$ có nghiệm $\iff \Delta =(m-1{)}^2-4(m+2)=m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$. Điều kiện $m\ge 7$ chỉ là một phần, thiếu $m\le -1$. Sai.

c) Với $m=-2$: $f(x)=x^2+3x$. Phương trình $\sqrt{x^2+3x}=3x-5$ cần $3x-5\ge 0$. Bình phương: $x^2+3x=9x^2-30x+25\iff 8x^2-33x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{25}{8}$. Với $x=1$: $3x-5=-2<0$ (loại); với $x=\frac{25}{8}$: thỏa mãn. Vậy chỉ có 1 nghiệm, không phải hai nghiệm phân biệt. Sai.

d) Mẫu $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$, nên cần $f(x)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff \Delta =m^2-6m-7\le 0\iff -1\le m\le 7$. Các giá trị nguyên: $-1,0,1,2,3,4,5,6,7$ — có 9 giá trị, không phải 8. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ là nghiệm của $f(x)\ge 0$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$; khẳng định thiếu nhánh $m\le -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-2$: $8x^2-33x+25=0$ cho $x=1$ (loại vì $3x-5<0$) và $x=25/8$ (thỏa). Chỉ có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta \le 0\iff -1\le m\le 7$, có 9 giá trị nguyên, không phải 8.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số khách ($n>50$). Giá vé mỗi người là $300000-5000(n-50)=550000-5000n$ (đồng). Doanh thu $f(n)=n(550000-5000n)$. Yêu cầu $f(n)\ge 15080000$, chia hai vế cho 5000: $n(110-n)\ge 3016$, tức $n^2-110n+3016\le 0$. Phương trình $n^2-110n+3016=0$ có $\Delta =110^2-4\cdot 3016=12100-12064=36$, nghiệm $n=\frac{110\pm 6}{2}$, tức $n=52$ hoặc $n=58$. Vậy $52\le n\le 58$, số khách ít nhất là $52$. Kiểm tra: với $n=52$, giá vé $=300000-5000\cdot 2=290000$, doanh thu $=52\cdot 290000=15080000$ đồng, đúng bằng chi phí nên công ty không lỗ.